鲁教版 (五四制)七年级上册3 简单的轴对称图形第2课时学案设计

3 简单的轴对称图形

第2课时

学习目标

1. 经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．探索并了解“三线合一”有关性质，应用“三线合一”的性质解决一些实际问题．

2.探索并了解线段垂直平分线的有关性质，应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．

3.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力，初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.

学习策略

1.先精读一遍教材第48页到51页，用红笔进行勾画“三线合一”有关性质, 线段垂直平分线的有关性质；再针对课前预习二次阅读教材，并回答问题.

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑.

3.再精读一遍教材第48页到51页，用红笔进行勾画角的平分线的方法；再针对课前预习二次阅读教材，并回答问题.

4.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑.

学习过程 

一.复习回顾：

1、什么样的图形叫做轴对称图形？

答：把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

2、下列图形哪些是轴对称图形？

二.新课学习：

1.自学教材P47-51，回答以下问题

（1）线段是对称图形吗？

（2）线段垂直平分线的性质？

（3）角平分线的性质？

三..尝试应用：

1．如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.

2．如图，在△ABC，PM，QN分别垂直平分AB，AC，则: (1)若BC=10，则△APQ的周长=_____;  (2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.

3．如图，在Rt△ABC中，∠ C= 90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若DE=5cm，则CD=（             ）      

4．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离相等，则下列说法不正确的是（    ）。

A．点P在∠B的角平分线上      B．点P在∠ACE的角平分线上

C．点P在∠DAC的角平分线上    D．点P到A，B，C三点的距离相等

四.自主总结：

1.线段是           图形。           的直线是它的一条          

2.垂直于一条线段，并且           的直线，叫做这条线段的           （简称           ）

3.角是       图形，       所在的直线是它的      

4.角平分线上的点到（               ）            

五.达标测试

一、选择题

1．如图，点P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，若点N到∠AOB的两边距离相等，且PN＝NQ，则点N一定是（   ）．

A．∠AOB的平分线与PQ的交点

B．∠OPQ与∠OQP的角平分线的交点

C．∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点     

D．线段PQ的垂直平分线与∠OPQ的平分线的交点

2．如图所示的尺规作图是作

   A．线段的垂直平分线         B．一个半径为定值的圆

   C．一条直线的平行线         D．一个角等于已知角

3．右图的尺规作图是作（  ）

A.线段的垂直平分线    B.一个半径为定值的圆

C.一条直线的平行线    D.一个角等于已知角

二、填空题

4．如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10cm，CA=4cm．则△OBC的面积为      cm2．

5．概念考察．

（1）公理：      的两个三角形全等，（简称      ，字母表示      ）

（2）公理：      的两个三角形全等，（简称      ，字母表示      ）

（3）公理：      的两个三角形全等，（简称      ，字母表示      ）

（4）判定：      的两个三角形全等．（字母表示：AAS）

（5）简述“三线合一”：      ．

（6）勾股定理的内容是：      ．

（7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离      ．

（8）角平分线上的点到角两边的距离      ．

6．如图，在中，，，则的一条中线是        ，一条角平分线是          .

三、解答题

7．如图，a、b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场。现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等。请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹。

8．如图，两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P, 使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN,有一同学说：“只要作一个角平分线、一条线段的垂直平分线，这个茶水供应点的位置就确定了”，你认为这位同学说得对吗？请说明理由，并通过作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹.

9．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，求CE的长.

10．已知:如图,△ABC中,请你按下列要求读句画图: (“作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹并写出结论)．

⑴用尺规作图作∠BAC的角平分线AD交边BC于D点;

⑵作线段AD的垂直平分线EF,交AD于E点,交BC的延长线于F点；

⑶ 根据 ⑴,⑵作图, 连结AF, 若∠B=40°,请求出∠CAF的度数.

参考答案

一、选择题

1．C．

【解析】

试题分析：根据角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，所以本题到∠AOB的两边距离相等的点在∠AOB的平分线上；根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以到点P，Q两点距离相等的点在线段PQ的垂直平分线上，满足两种情况，点N一定是∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点．故选C．

考点：1．角平分线的判定定理；2．线段垂直平分线的判定定理．

2．A

【解析】解：设这条线段为AB，上边两弧的交点为C，下面两弧的交点为D．

∵AC=BC，

∴点C在AB的垂直平分线上，

同理点D在AB的垂直平分线上，                            

∴CD垂直平分AB，

∴是线段的垂直平分线，

故选A．

3．A

【解析】

试题分析：根据与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可得图中的由两弧相交得到的两个点是这条线段垂直平分线上的点，根据两点确定一条直线可得过这两点的直线是这条线段的垂直平分线．

解：设这条线段为AB，上边两弧的交点为C，下面两弧的交点为D．

∵AC=BC，

∴点C在AB的垂直平分线上，

同理点D在AB的垂直平分线上，

∴CD垂直平分AB，

∴是线段的垂直平分线，

故选A．

点评：用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．

二、填空题

4．20

【解析】解：如图，过点C作CF⊥OM于点F，

∵BE是线段OA的垂直平分线

∴OB=AB=10

∵OP是∠MON的角平分线

∴CF=CA=4

∴△OBC的面积=×OB•CF=×10×4=20（cm2）

故填20．

5．（1）两边和它们的夹角对应相等，边角边，SAS；

（2）三边对应相等，简称：边边边或SSS

（3）两角和它们的夹边对应相等，角边角，ASA

（4）两角和其中一角的对边对应相等，角角边，AAS；

（5）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；

（6）直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；

（7）相等；

（8）相等．

【解析】

试题分析：根据三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质即可得出结果．

解：（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简称：边角边或SAS；

故答案为：两边和它们的夹角对应相等，边角边，SAS；

（2）三边对应相等的两个三角形全等，边边边，SSS；

故答案为：三边对应相等，简称：边边边或SSS

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称：角边角或ASA；

故答案为：两角和它们的夹边对应相等，角边角，ASA

（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称：角角边或AAS；

故答案为：两角和其中一角的对边对应相等，角角边，AAS；

（5）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；

故答案为：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；

（6）勾股定理：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；

故答案为：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；

（7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

故答案为：相等；

（8）角平分线上的点到角两边的距离相等；

故答案为：相等．

点评：此题考查了全等三角形的判定方法、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质；熟记各个判定定理和性质定理是解决问题的关键．

6．、

【解析】

试题分析：根据三角形的中线、角平分线的定义即可得到结果.

由题意得的一条中线是，一条角平分线是.

考点：本题考查的是三角形的中线，角平分线

点评：解答本题的关键是掌握角的平分线把角分成两个大小相同的小角，且都等于大角的一半。三角形的中线的概念：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线．

三、解答题

7．如图所示：

【解析】

试题分析：连接MN，先画出a、b两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．

①以A为圆心，以任意长为半径画圆，分别交铁路a和公路b于点B、C；

②分别以B、C为圆心，以大于BC为半径画圆，两圆相交于点D，连接AD，则直线AD即为∠BAC的平分线；

③连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于E、F，连接EF，则直线EF即为线段MN的垂直平分线；

④直线EF与直线AD相交于点O，则点O即为所求点．

考点：本题主要考查了线段垂直平分线及角平分线的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的到线段两端的距离相等；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.

8．答：这位同学说的对，理由如下：

因为角平分线上的点到这个角两边的距离相等，而线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以只要作出∠BAC的平分线，再作出线段MN的垂直平分线，两条直线的交点P就是茶水供应点的位置．

【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，作出∠BAC的平分线与线段MN的垂直平分线，交点就是点P所在的位置．

9．10

【解析】

试题分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．

：∵DE是线段BC的垂直平分线，

∴BE=CE，∠BDE=90°，

∵∠B=30°，

∴BE=2DE=2×5=10，

∴CE=BE=10．

考点：本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用

点评：解答本题的关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型。

10．⑴ 图略⑵ 图略⑶40°

【解析】⑴ 图略  

⑵ 图略  

⑶ ∵EF是AD的垂直平分线

   ∴FA=FD           （垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 

   ∴∠FAD=∠FDA     （等边对等角）                         

   即 ∠1＋∠2＝∠3                                           

   ∵∠3＝∠B＋∠4

   ∵AD平分∠BAC

   ∴∠1＝∠4                                                 

   ∴∠1＋∠2＝∠B＋∠4                                       

   ∴∠2＝∠B＝40°                                           

（1）用尺规作角平分线（见数学课本）

      （2）用尺规作线段的垂直平分线（见数学课本）

     （3）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等、等边对等角与角平分线性质的相结合