2021学年1 等腰三角形优秀课后练习题

等腰三角形判定与性质强化训练卷（A卷）

答案解析

一、单选题

1．如图，在中，，的周长10，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的长为（       ）

A．10 B．6 C．4 D．不确定

1．B

【解析】

【分析】

根据平行线、角平分线和等腰三角形的关系可证DO = DB和EO=EC，从而得出DE=DB＋EC，然后根据的周长即可求出AB.

【详解】

解：∵

∴∠OBC=∠DOB

∵BO平分

∴∠OBC=∠DBO

∴∠DOB=∠DBO

∴DO = DB

同理可证：EO=EC

∴DE=DO＋EO= DB＋EC

∵，的周长10，

∴AD＋AE＋DE=10

∴AD＋AE＋DB＋EC =10

∴AB＋AC=10

∴AB=10－AC=6

故选B.

2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF＝3，AG＝2，则BC＝（　　）

A．5 B．4 C．2 D．2

C

【解析】

【分析】

利用线段垂直平分线的性质得到，，再证明，利用勾股定理即可解决问题．

【详解】

解：由作图方法得垂直平分，

∴，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴．

故选：．

3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（          ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

D

【解析】

【分析】

证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．

【详解】

解：∵∠BAF=∠CAG=90°，

∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，

又∵AB=AF=AC=AG，

∴△CAF≌△GAB（SAS），

∴BG=CF，故①正确；

∵△FAC≌△BAG，

∴∠FCA=∠BGA，

又∵BC与AG所交的对顶角相等，

∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，

∴BG⊥CF，故②正确；

过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，

∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，

∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，

∴∠BAD=∠AFM，

又∵AF=AB，

∴△AFM≌△BAD（AAS），

∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，

故③正确，

同理△ANG≌△CDA，

∴NG=AD，

∴FM=NG，

∵FM⊥AE，NG⊥AE，

∴∠FME=∠ENG=90°，

∵∠AEF=∠NEG，

∴△FME≌△GNE（AAS）．

∴EF=EG．

故④正确．

故选：D．

4．如图，在中，，，，则（       ）

A． B． C． D．

D

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.

【详解】

解：∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠B=∠ACB=70°，

∵CD∥AB，

∴∠BCD=∠B=70°，

故选D.

5．如图，在小正三角形组成的网格中，已有个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

C

【解析】

【分析】

由等边三角形有三条对称轴可得答案．

【详解】

如图所示，n的最小值为3．

故选C．

6．给出下列命题，正确的有（   ）个①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

B

【解析】

【详解】

解：①等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故本选项错误；

②等腰三角形两腰上的高相等，本选项正确；

③等腰三角形最小边不一定底边，故本选项错误；

④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，本选项正确；

⑤等腰三角形可以是钝角三角形，故本选项错误，

故选B

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　）

A．3 B．2 C． D．

A

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．

【详解】

解：∵AB＝AC＝9，

∴∠B＝∠C，

∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，

∴∠BAD＝∠CDE，

∵AE的中垂线交BC于点D，

∴AD＝ED，

在△ABD与△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（AAS），

∴CD＝AB＝9，BD＝CE，

∵CD＝3BD，

∴CE＝BD＝3

故选：A．

8．点 A (2，-1)关于 y 轴对称的点 B 的坐标为（       ）

A．(2, 1) B．(-2，1) C．(2，-1) D．(-2，- 1)

D

【解析】

【分析】

根据点坐标关于轴对称的变换规律即可得．

【详解】

解：点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同．

则点关于轴对称的点的坐标为，

故选：D．

9．如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（       ）

A．8 B．10 C．11 D．13

A

【解析】

【分析】

利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．

【详解】

由作法得MN垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．

故选A．

10．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1

B

【解析】

【分析】

根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;

②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分.

【详解】

解：∵，

∴，

即，

在和中，，

∴，

∴，①正确；

∴，

由三角形的外角性质得：

∴°，②正确；

作于，于，如图所示：

则°，

在和中，，

∴，

∴，

∴平分，④正确；

正确的个数有3个；

故选B．

一、填空题（共24分。）

11．如图，已知等边三角形中，点分别在边上，把沿直线翻折使点落在处，、分别交边于点、，若，则度数为__________．

【答案】40°

【详解】∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

由翻折可得∠B′=∠B=60°，

∴∠A=∠B′=60°，

∵∠AFD=∠GFB′，

∴△ADF∽△B′GF，

∴∠ADF=∠B′GF，

∵∠EGC=∠FGB′，

∴∠EGC=∠ADF=80°，

∴∠CEG=180°-∠C-∠CGE=180°-60°-80°=40°．

故答案为：40°．

12.如图，在△ABC中，AC＝6，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于D，连接BD．若BD＝4，则AD＝__       _．

【答案】2

【详解】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，

∴CD＝BD=4，

∵AC＝6，

∴AD＝AC-CD=6−4＝2，

∴AD＝2．

故填2．

13.如图，和是分别沿着、边翻折形成的，若，则的度数为_______度．

【答案】80

【详解】解：EOC是OBC的外角

EOC＝EBC＋BCD

和是分别沿着、边翻折形成的

可知：翻折前后图形全等

即：ABE＝ABC，ACD＝ACB

ABC＋ACB＝40

EOC＝EBC＋BCD＝2（ABC＋ACB）＝80

故答案为80

14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是_____．

【答案】130°．

【详解】∵△AOB是等边三角形，

∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，

∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，

∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，

∴∠BOC＝40°，

∵OC＝OA＝OB，

∴∠OBC＝70°，

∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，

故答案为：130°．

15．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．

【答案】4．

【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．

∵OC是∠AOB的平分线，

∴DM＝DE＝2．

在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，

∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．

在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，

∴DF＝2DM＝4．

故答案为4．

16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，交AC于D，BD＝BE，则∠DEC＝___度；

【答案】100

【详解】解：∵AB=AC，∠A=100°，

∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=×（180°-100°）=40°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBE=∠ABC＝20°，

∵BD=BE，

∴∠BED=∠BDE=×（180°-∠DBE）=80°，

∴∠DEC=180°-∠BED=100°，

故答案为：100．

三.解答题(共66分）)

17.（6分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．

（1）在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使∠BCD ＝∠BDC．

（2）在图②中的线段AC上找一点E，连结BE，使∠EAB ＝∠EBA．

答案 （1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据等边对等角，在AB上取一点D使BD=BC=3，连接CD即可；

（2）线段AB的垂直平分线与AC的交点E即为所求．

【详解】（1）如图所示，即为所求，

（2）如图所示，即为所求，

18.（8分）.如图，在中，，，平分交于点求证：．

答案】证明：，，
．
平分交于点，
，
，
．
，
，
，
，
． 

【解析】见答案

19.（8分）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．

(1)求证：为的角平分线；

(2)探究，，之间的数量关系并给出证明

【答案】(1)证明见解析；

(2)，理由见解析

【解析】

（1）

证明：连接CD，BD，如图所示：

为的垂直平分线，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

在和中，

，

≌，

，

为的角平分线；

（2）

解：，理由如下：

≌，

，

又，

，

即，

．

20.（10分）如图，为等边三角形，，、相交于点，于.

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）若，，求的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPQ=60°；（3）AD=9.

【详解】（1）证明：是等边三角形，

，，

在与中，

（2），

，，

，

.

（3），

.

.

，

.

，

，.

21.（10分）．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.

(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC的长．

(1)∵DE垂直平分AC，

∴AE＝CE，∴∠ECD＝∠A＝36°.

(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°.

∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝72°，

∴∠B＝∠BEC，∴BC＝CE＝5.

22．如图，在中，，点D在上，点E在上，连接、，，．

(1)求证：；

(2)如图2，当时，作于H，请直接写出图2中的所有等腰三角形．（除外）

1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴ ，∴；

（2）解：，，，理由：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵CH⊥AB，∴∠ACH=∠BCH=45°，∴△ACH和△BCH都是等腰三角形，∵∠CDE=∠A=45°，∴∠DCE=∠DEC=67.5°，∵∠B=45°，∴∠CDB=67.5°，∴∠DCB=∠CDB，∴△BCD是等腰三角形，由（1）可知△DCE是等腰三角形．

23.（12分）.（1）如图1，在等腰ABC中，AB=AC和等腰ADE中，AE=AD，∠BAC=DAE=90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC=90°；

（2）如图2，等腰ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是ABC外一点，且∠BDC=90°，求证：∠ADB=45°．

证明：（1）如图1，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DAE=∠CAD+∠EAC，

∴∠BAE=∠CAD，

∵在△BA E和△CAD中，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴∠ABE=∠ACD，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠ACB=∠ABE+∠DBC+∠ACB=∠ACD+∠ACB+∠DBC=∠DCB+∠DBC=90°，

∴∠BDC=90°

（2）如图2，过点A作AM⊥AD，交BD于点M，

∵∠BAC=∠BDC=90°，

∴∠ABM+∠DBC+∠ACB=90°， ∠ACD+∠ACB+∠DBC=90°，

∴∠ABM=∠ACD，

∵AM⊥AD，

∴∠MAD=90°，∠BAC=∠BAM+∠MAC，∠DAM=∠CAD+∠MAC，

∴∠BAM=∠CAD，

∵在△ABM和△ACD中，

，

∴△ABM≌△ACD（ASA），

∴AM=AD，

∵∠MAD=90°，

∴∠ADB=∠AMD=45°．