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福建省福州市鼓楼区闽江学院附属中学2022-2023学年九年级上学期开学检测数学试卷（含答案）
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这是一份福建省福州市鼓楼区闽江学院附属中学2022-2023学年九年级上学期开学检测数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区闽江学院附中九年级（上）开学数学试卷(附答案与解析)
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
2．（4分）一次函数y＝kx+b的图象经过原点，则（ ）
A．k＝0，b≠0 B．k≠0，b＝0 C．k≠0，b≠0 D．k＝0，b＝0
3．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
4．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（4分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．（4分）将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
7．（4分）菱形ABCD的周长是20，对角线AC＝8，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．40 D．48
8．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9．（4分）某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．可列方程为（30+x）（300﹣10x）＝3750
10．（4分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③⑤ C．①④ D．①④⑤
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）写出一个大于3且小于4的无理数 ．
12．（4分）一次函数y＝2x﹣8与x轴的交点是 ．
13．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB的中点，则CD＝ ．
14．（4分）抛物线y＝（x+2）2上有三点A（﹣4，y1）B（﹣1，y2）C（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 ．
15．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，当水位上涨1m时，水面宽CD为2m，则桥下的水面宽AB为 m．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
三、解答题（本题共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：2x2﹣5x+3＝0．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，点F在AB的延长线上，且CF⊥AB．
求证：四边形CDEF是矩形．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点C在直线AB上，且点C到x轴的距离为2，求点C的坐标．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．
22．（10分）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
23．（10分）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动，活动结束后，校教务处对本校八年级学生.4月份的读书进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全左边的条形统计图，并在右边扇形统计图横线上填空；
（2）本次抽取学生4月份“读书量”的众数为 ，平均数为 本，中位数为 ；
（3）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连结BE，作EF⊥BE交AD于点F．平移EF至DG，点F与点D是对应点，连接EG．
（1）求证：∠ABE＝∠DGE；
（2）求证：CD垂直平分EG；
（3）若AB＝4，平行四边形EFGD有可能成为菱形吗？如果可能，求此时CE长；如果不可能，请说明理由．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区闽江学院附中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：函数y＝中x﹣3≥0，
所以x≥3，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．（4分）一次函数y＝kx+b的图象经过原点，则（ ）
A．k＝0，b≠0 B．k≠0，b＝0 C．k≠0，b≠0 D．k＝0，b＝0
【分析】利用一次函数的定义及一次函数图象上点的坐标特征，可得出k≠0，b＝0．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过原点，
∴k≠0，b＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义，利用一次函数的定义，找出k≠0是解题的关键．
3．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】利用矩形对角线的性质得到OA＝OB．结合∠AOD＝120°知道∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度即可．
【解答】解：如图，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，
∴OA＝OB＝AC＝2，
又∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2．
∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝2
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
4．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据b2﹣4ac的取值情况来进行判断．
【解答】解：∵b2﹣4ac
＝4﹣4×3
＝﹣8＜0，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是0，
故选：A．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握根据b2﹣4ac的取值情况判断抛物线与x轴的交点，其中二次函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
5．（4分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【分析】由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6．（4分）将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝3x2的顶点坐标为（0，0），y＝3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．（4分）菱形ABCD的周长是20，对角线AC＝8，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．40 D．48
【分析】由菱形ABCD的周长是20，即可求得AB＝5，然后由股定理即可求得OA的长，继而求得AC的长，则可求得菱形ABCD的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长是20，
∴AB＝20÷4＝5，AC⊥BD，OA＝AC＝4，
∴OB＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴菱形ABCD的面积是：AC•BD＝×8×6＝24．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，解题的关键是熟练运用勾股定理以及菱形的各种性质．
8．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2022、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2022，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a＝2020、a+b＝﹣1是解题的关键．
9．（4分）某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．可列方程为（30+x）（300﹣10x）＝3750
【分析】设涨价x元，然后分别表示出销量和涨价后的单价即可列出方程求解．
【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确；
C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确；
D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出单件利润和总的销售量，从而表示出总利润．
10．（4分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③⑤ C．①④ D．①④⑤
【分析】利用函数图象的性质即可求解．
【解答】解：①因为抛物线对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，2a+b＝0，故①正确，符合题意；
②∵抛物线开口向下，故a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，故b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，故c＞0，
∴abc＜0，
故②错误，不符合题意；
③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根，正确，符合题意；
④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），
故④错误，不符合题意；
⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1，故⑤正确，符合题意；
故正确的有：①③⑤；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，所以中考常考题型．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）写出一个大于3且小于4的无理数 π（答案不唯一） ．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是无理数的定义，此题属开放性题目，答案不唯一，只要写出的答案符合题意即可．
12．（4分）一次函数y＝2x﹣8与x轴的交点是 （4，0） ．
【分析】令y＝0，求出x，即可得出结论．
【解答】解：令y＝0，则2x﹣8＝0，
∴x＝4，
∴一次函数y＝2x﹣8与x轴的交点是（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，知道一次函数与x轴的交点的纵坐标为0是解题关键．
13．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB的中点，则CD＝ 5 ．
【分析】先运用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．
14．（4分）抛物线y＝（x+2）2上有三点A（﹣4，y1）B（﹣1，y2）C（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 y2＜y1＜y3 ．
【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣1和1时的函数值，然后进行比较大小．
【解答】解：当x＝﹣4时，y1＝（x+2）2＝4；当x＝﹣1时，y2＝（x+2）2＝1；当x＝1时，y3＝（x+2）2＝9，
所以y2＜y1＜y3．
故答案为y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，当水位上涨1m时，水面宽CD为2m，则桥下的水面宽AB为 6 m．
【分析】由二次函数图象的对称性可知D点的横坐标为，把x＝代入二次函数关系式y＝﹣x2，可以求出对应的纵坐标，进而求出点B的纵坐标，再把B的纵坐标代入y＝﹣x2，即可求出B的横坐标，即AB长度的一半．
【解答】解：∵水面宽CD为2m，y轴是对称轴，
∴D点的横坐标为，
∴D的纵坐标为y＝﹣×（）2＝﹣2，
∵水位上涨1m时，水面宽CD为2m，
∴B的纵坐标为﹣2﹣1＝﹣3，
把y＝﹣3代入解析式y＝﹣x2得：
∴B的横坐标为x＝3，
∴桥下的水面宽AB为3×2＝6米，
故答案为：6米．
【点评】本题考查点二次函数的实际应用，解题的关键是要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
【分析】设DE＝x，则CE＝，由S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF可得S△DFG＝（x﹣1）2+，进而求解．
【解答】解：设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×2x＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△DFG面积的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查与正方形有关的计算，解题关键是掌握正方形的性质，二次函数求最值的方法．
三、解答题（本题共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、二次根式的性质化简二次根式，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝+6×﹣
＝2+2﹣
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（8分）解方程：2x2﹣5x+3＝0．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：方程2x2﹣5x+3＝0，
因式分解得：（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
可得：2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
【点评】考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，点F在AB的延长线上，且CF⊥AB．
求证：四边形CDEF是矩形．
【分析】根据平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEA＝∠CFB＝90°，
∴DE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵∠CFB＝90°，
∴四边形DEFC是矩形．
【点评】此题考查矩形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点C在直线AB上，且点C到x轴的距离为2，求点C的坐标．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，可得点C纵坐标为2或﹣2，将点C纵坐标代入直线AB的解析式求出点C横坐标，即可确定点C坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式：y＝kx+b，
将点A（﹣2，0），点B（0，1）代入，
得，
解得，
∴直线AB的解析式：；
（2）∵点C到x轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2或﹣2，
代入直线AB的解析式，得2＝或﹣2＝，
解得x＝2或x＝﹣6，
∴C（2，2）或（﹣6，﹣2）．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．
【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法解方程得到x1＝1，x2＝a﹣1，根据题意得a﹣1＞3，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0，
x＝，
∴x1＝1，x2＝a﹣1，
∵方程有一实数根大于3，
∴a﹣1＞3，
解得a＞4，
即a的取值范围为a＞4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（10分）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
【分析】由点A、B的坐标求出函数表达式y＝﹣（x﹣4）2+3，令y＝0，即可求解．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
则点A的坐标为（0，），顶点为B（4，3）．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（0﹣4）2+3＝，
解得a＝﹣
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+3，
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+3＝0，
解得x＝10或x＝﹣2（不合实际，舍去）．
即OC＝10．
答：小华此次投掷的成绩是10米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解．
23．（10分）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动，活动结束后，校教务处对本校八年级学生.4月份的读书进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全左边的条形统计图，并在右边扇形统计图横线上填空；
（2）本次抽取学生4月份“读书量”的众数为 3 ，平均数为 3 本，中位数为 3 ；
（3）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数．
【分析】（1）根据读1本的人数和所占的百分比求出总人数，再可求出读4本的人数和读3本、5本的百分比，即可补全两幅统计图；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义即可得出答案；
（3）用八年级的总人数乘以“读书量”为4本的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为3÷5%＝60（人），
读4本的人数为60×20%＝12（人），
读3本的百分比为，×100%＝35%，
读5本的百分比为，×100%＝10%，
补全两幅统计图如图：
（2）本次所抽取学生4月份“读书量”的平均数是：＝3（本）；
根据统计图可知众数为3本；
把这些数从小到大排列，中位数是第30、31个数的平均数，
则中位数是＝3（本）；
故答案为：3，3，3；
（3）根据题意得：700×（10%+20%）＝210（人），
答：估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数为210人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连结BE，作EF⊥BE交AD于点F．平移EF至DG，点F与点D是对应点，连接EG．
（1）求证：∠ABE＝∠DGE；
（2）求证：CD垂直平分EG；
（3）若AB＝4，平行四边形EFGD有可能成为菱形吗？如果可能，求此时CE长；如果不可能，请说明理由．
【分析】（1）根据EF的平移确定四边形EFDG是平行四边形，得∠DGE＝∠DFE，再根据∠ABE+∠AFE＝180°，∠DFE+∠AFE＝180°，得∠ABE＝∠DFE，即可得出∠ABE＝∠DGE；
（2）过E点作MN⊥AD于N，得出MN⊥BC，根据ASA证△BME≌△ENF，得出BE＝EF，即BE＝DG，连接DE，即可得出DE＝BE＝DG，由四边形EFDG是平行四边形，∠ADC＝90°，即可证明CD垂直平分EG；
（3）当四边形EFGD是菱形时，DF＝EF，可证△DEF是等边三角形，得出∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，由直角三角形的性质得出BM＝x，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵平移EF至DG，
∴EF＝DG，且EF∥DG，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴∠DGE＝∠DFE，
∵在正方形ABCD中，EF⊥BE，
∴在四边形AFEB中，∠FAB＝∠FEB＝90°，
∴∠ABE+∠AFE＝360°﹣∠FAB﹣∠FEB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠DFE+∠AFE＝180°，
∴∠ABE＝∠DFE，
∴∠ABE＝∠DGE；
（2）过E点作MN⊥AD于N，连接DE，
∵AD∥BC，
∴MN⊥BC，
则∠EBM+∠BEM＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEM+∠FEN＝90°，
∴∠EBM＝∠FEN，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，MN⊥AD，
∴BM＝AN，AN＝EN，
∴BM＝EN，
在△BME和△ENF中，
，
∴△BME≌△ENF（ASA），
∴BE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴BE＝DE，
又∵EF＝DG，
∴DE＝EF＝DG，
∵四边形EFDG是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴CD垂直平分EG；
（3）若平行四边形EFGD为菱形，
则DF＝EF，
由（2）知，EF＝DE，
∴DF＝EF＝DE，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，
设CM＝x，则EM＝x，BM＝EM•cot30°＝x，
∵正方形ABCD中，AB＝4，
∴BC＝BM+EM＝x+x＝4，
解得：x＝2﹣2，
即CM＝EM＝2﹣2，
∴CE＝＝CM＝2﹣2．
【点评】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 （1，0） ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标；
（2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，即可得到二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
（3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分a＞0或a＜0两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；
（4）分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解．
【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴顶点坐标为（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，
分两种情况：
①当a＜0时，1+＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+＞1，
i）当1＜1+≤3时，即a≥，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii）当1+＞3时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝，
当a＝时，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），
②当a＞0时，如图2，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③当a＜0时，如图3，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区闽江学院附中九年级（上）开学数学试卷(附答案与解析)
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
2．（4分）一次函数y＝kx+b的图象经过原点，则（ ）
A．k＝0，b≠0 B．k≠0，b＝0 C．k≠0，b≠0 D．k＝0，b＝0
3．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
4．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（4分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．（4分）将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
7．（4分）菱形ABCD的周长是20，对角线AC＝8，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．40 D．48
8．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9．（4分）某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．可列方程为（30+x）（300﹣10x）＝3750
10．（4分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③⑤ C．①④ D．①④⑤
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）写出一个大于3且小于4的无理数 ．
12．（4分）一次函数y＝2x﹣8与x轴的交点是 ．
13．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB的中点，则CD＝ ．
14．（4分）抛物线y＝（x+2）2上有三点A（﹣4，y1）B（﹣1，y2）C（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 ．
15．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，当水位上涨1m时，水面宽CD为2m，则桥下的水面宽AB为 m．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
三、解答题（本题共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：2x2﹣5x+3＝0．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，点F在AB的延长线上，且CF⊥AB．
求证：四边形CDEF是矩形．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点C在直线AB上，且点C到x轴的距离为2，求点C的坐标．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．
22．（10分）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
23．（10分）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动，活动结束后，校教务处对本校八年级学生.4月份的读书进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全左边的条形统计图，并在右边扇形统计图横线上填空；
（2）本次抽取学生4月份“读书量”的众数为 ，平均数为 本，中位数为 ；
（3）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连结BE，作EF⊥BE交AD于点F．平移EF至DG，点F与点D是对应点，连接EG．
（1）求证：∠ABE＝∠DGE；
（2）求证：CD垂直平分EG；
（3）若AB＝4，平行四边形EFGD有可能成为菱形吗？如果可能，求此时CE长；如果不可能，请说明理由．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区闽江学院附中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：函数y＝中x﹣3≥0，
所以x≥3，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．（4分）一次函数y＝kx+b的图象经过原点，则（ ）
A．k＝0，b≠0 B．k≠0，b＝0 C．k≠0，b≠0 D．k＝0，b＝0
【分析】利用一次函数的定义及一次函数图象上点的坐标特征，可得出k≠0，b＝0．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过原点，
∴k≠0，b＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义，利用一次函数的定义，找出k≠0是解题的关键．
3．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】利用矩形对角线的性质得到OA＝OB．结合∠AOD＝120°知道∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度即可．
【解答】解：如图，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，
∴OA＝OB＝AC＝2，
又∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2．
∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝2
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
4．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据b2﹣4ac的取值情况来进行判断．
【解答】解：∵b2﹣4ac
＝4﹣4×3
＝﹣8＜0，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是0，
故选：A．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握根据b2﹣4ac的取值情况判断抛物线与x轴的交点，其中二次函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
5．（4分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【分析】由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6．（4分）将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝3x2的顶点坐标为（0，0），y＝3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．（4分）菱形ABCD的周长是20，对角线AC＝8，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．40 D．48
【分析】由菱形ABCD的周长是20，即可求得AB＝5，然后由股定理即可求得OA的长，继而求得AC的长，则可求得菱形ABCD的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长是20，
∴AB＝20÷4＝5，AC⊥BD，OA＝AC＝4，
∴OB＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴菱形ABCD的面积是：AC•BD＝×8×6＝24．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，解题的关键是熟练运用勾股定理以及菱形的各种性质．
8．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2022、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2022，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a＝2020、a+b＝﹣1是解题的关键．
9．（4分）某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（ ）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．可列方程为（30+x）（300﹣10x）＝3750
【分析】设涨价x元，然后分别表示出销量和涨价后的单价即可列出方程求解．
【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确；
C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确；
D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出单件利润和总的销售量，从而表示出总利润．
10．（4分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③⑤ C．①④ D．①④⑤
【分析】利用函数图象的性质即可求解．
【解答】解：①因为抛物线对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，2a+b＝0，故①正确，符合题意；
②∵抛物线开口向下，故a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，故b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，故c＞0，
∴abc＜0，
故②错误，不符合题意；
③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根，正确，符合题意；
④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），
故④错误，不符合题意；
⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1，故⑤正确，符合题意；
故正确的有：①③⑤；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，所以中考常考题型．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）写出一个大于3且小于4的无理数 π（答案不唯一） ．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是无理数的定义，此题属开放性题目，答案不唯一，只要写出的答案符合题意即可．
12．（4分）一次函数y＝2x﹣8与x轴的交点是 （4，0） ．
【分析】令y＝0，求出x，即可得出结论．
【解答】解：令y＝0，则2x﹣8＝0，
∴x＝4，
∴一次函数y＝2x﹣8与x轴的交点是（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，知道一次函数与x轴的交点的纵坐标为0是解题关键．
13．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB的中点，则CD＝ 5 ．
【分析】先运用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．
14．（4分）抛物线y＝（x+2）2上有三点A（﹣4，y1）B（﹣1，y2）C（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 y2＜y1＜y3 ．
【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣1和1时的函数值，然后进行比较大小．
【解答】解：当x＝﹣4时，y1＝（x+2）2＝4；当x＝﹣1时，y2＝（x+2）2＝1；当x＝1时，y3＝（x+2）2＝9，
所以y2＜y1＜y3．
故答案为y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15．（4分）在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，当水位上涨1m时，水面宽CD为2m，则桥下的水面宽AB为 6 m．
【分析】由二次函数图象的对称性可知D点的横坐标为，把x＝代入二次函数关系式y＝﹣x2，可以求出对应的纵坐标，进而求出点B的纵坐标，再把B的纵坐标代入y＝﹣x2，即可求出B的横坐标，即AB长度的一半．
【解答】解：∵水面宽CD为2m，y轴是对称轴，
∴D点的横坐标为，
∴D的纵坐标为y＝﹣×（）2＝﹣2，
∵水位上涨1m时，水面宽CD为2m，
∴B的纵坐标为﹣2﹣1＝﹣3，
把y＝﹣3代入解析式y＝﹣x2得：
∴B的横坐标为x＝3，
∴桥下的水面宽AB为3×2＝6米，
故答案为：6米．
【点评】本题考查点二次函数的实际应用，解题的关键是要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 ．
【分析】设DE＝x，则CE＝，由S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF可得S△DFG＝（x﹣1）2+，进而求解．
【解答】解：设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×2x＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△DFG面积的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查与正方形有关的计算，解题关键是掌握正方形的性质，二次函数求最值的方法．
三、解答题（本题共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、二次根式的性质化简二次根式，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝+6×﹣
＝2+2﹣
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（8分）解方程：2x2﹣5x+3＝0．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：方程2x2﹣5x+3＝0，
因式分解得：（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
可得：2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
【点评】考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，点F在AB的延长线上，且CF⊥AB．
求证：四边形CDEF是矩形．
【分析】根据平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEA＝∠CFB＝90°，
∴DE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵∠CFB＝90°，
∴四边形DEFC是矩形．
【点评】此题考查矩形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点C在直线AB上，且点C到x轴的距离为2，求点C的坐标．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，可得点C纵坐标为2或﹣2，将点C纵坐标代入直线AB的解析式求出点C横坐标，即可确定点C坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式：y＝kx+b，
将点A（﹣2，0），点B（0，1）代入，
得，
解得，
∴直线AB的解析式：；
（2）∵点C到x轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2或﹣2，
代入直线AB的解析式，得2＝或﹣2＝，
解得x＝2或x＝﹣6，
∴C（2，2）或（﹣6，﹣2）．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．
【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法解方程得到x1＝1，x2＝a﹣1，根据题意得a﹣1＞3，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0，
x＝，
∴x1＝1，x2＝a﹣1，
∵方程有一实数根大于3，
∴a﹣1＞3，
解得a＞4，
即a的取值范围为a＞4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（10分）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
【分析】由点A、B的坐标求出函数表达式y＝﹣（x﹣4）2+3，令y＝0，即可求解．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
则点A的坐标为（0，），顶点为B（4，3）．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（0﹣4）2+3＝，
解得a＝﹣
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+3，
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+3＝0，
解得x＝10或x＝﹣2（不合实际，舍去）．
即OC＝10．
答：小华此次投掷的成绩是10米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解．
23．（10分）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动，活动结束后，校教务处对本校八年级学生.4月份的读书进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全左边的条形统计图，并在右边扇形统计图横线上填空；
（2）本次抽取学生4月份“读书量”的众数为 3 ，平均数为 3 本，中位数为 3 ；
（3）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数．
【分析】（1）根据读1本的人数和所占的百分比求出总人数，再可求出读4本的人数和读3本、5本的百分比，即可补全两幅统计图；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义即可得出答案；
（3）用八年级的总人数乘以“读书量”为4本的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为3÷5%＝60（人），
读4本的人数为60×20%＝12（人），
读3本的百分比为，×100%＝35%，
读5本的百分比为，×100%＝10%，
补全两幅统计图如图：
（2）本次所抽取学生4月份“读书量”的平均数是：＝3（本）；
根据统计图可知众数为3本；
把这些数从小到大排列，中位数是第30、31个数的平均数，
则中位数是＝3（本）；
故答案为：3，3，3；
（3）根据题意得：700×（10%+20%）＝210（人），
答：估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数为210人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连结BE，作EF⊥BE交AD于点F．平移EF至DG，点F与点D是对应点，连接EG．
（1）求证：∠ABE＝∠DGE；
（2）求证：CD垂直平分EG；
（3）若AB＝4，平行四边形EFGD有可能成为菱形吗？如果可能，求此时CE长；如果不可能，请说明理由．
【分析】（1）根据EF的平移确定四边形EFDG是平行四边形，得∠DGE＝∠DFE，再根据∠ABE+∠AFE＝180°，∠DFE+∠AFE＝180°，得∠ABE＝∠DFE，即可得出∠ABE＝∠DGE；
（2）过E点作MN⊥AD于N，得出MN⊥BC，根据ASA证△BME≌△ENF，得出BE＝EF，即BE＝DG，连接DE，即可得出DE＝BE＝DG，由四边形EFDG是平行四边形，∠ADC＝90°，即可证明CD垂直平分EG；
（3）当四边形EFGD是菱形时，DF＝EF，可证△DEF是等边三角形，得出∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，由直角三角形的性质得出BM＝x，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵平移EF至DG，
∴EF＝DG，且EF∥DG，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴∠DGE＝∠DFE，
∵在正方形ABCD中，EF⊥BE，
∴在四边形AFEB中，∠FAB＝∠FEB＝90°，
∴∠ABE+∠AFE＝360°﹣∠FAB﹣∠FEB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠DFE+∠AFE＝180°，
∴∠ABE＝∠DFE，
∴∠ABE＝∠DGE；
（2）过E点作MN⊥AD于N，连接DE，
∵AD∥BC，
∴MN⊥BC，
则∠EBM+∠BEM＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEM+∠FEN＝90°，
∴∠EBM＝∠FEN，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，MN⊥AD，
∴BM＝AN，AN＝EN，
∴BM＝EN，
在△BME和△ENF中，
，
∴△BME≌△ENF（ASA），
∴BE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴BE＝DE，
又∵EF＝DG，
∴DE＝EF＝DG，
∵四边形EFDG是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴CD垂直平分EG；
（3）若平行四边形EFGD为菱形，
则DF＝EF，
由（2）知，EF＝DE，
∴DF＝EF＝DE，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，
设CM＝x，则EM＝x，BM＝EM•cot30°＝x，
∵正方形ABCD中，AB＝4，
∴BC＝BM+EM＝x+x＝4，
解得：x＝2﹣2，
即CM＝EM＝2﹣2，
∴CE＝＝CM＝2﹣2．
【点评】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 （1，0） ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标；
（2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，即可得到二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
（3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分a＞0或a＜0两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；
（4）分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解．
【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴顶点坐标为（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，
分两种情况：
①当a＜0时，1+＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+＞1，
i）当1＜1+≤3时，即a≥，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii）当1+＞3时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝，
当a＝时，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），
②当a＞0时，如图2，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③当a＜0时，如图3，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．
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