2023年福建省福州市鼓楼区闽江学院附中中考数学适应性试卷（5月份）（含解析）

2023年福建省福州市鼓楼区闽江学院附中中考数学适应性试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来在亚太地区定位精度将优于米，测速精度优于米秒，授时精度优于纳秒，纳秒为秒，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，将中国传统文化和奥林匹克元素巧妙结合．下面是历届奥运会会徽中的部分图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在中，，的余弦是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知与是位似图形，且与的周长比为，则与的相似比是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了名学生一天课外阅读时间，整理如表：则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7.  如图，在边长为的正方形中，对角线的中点为，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解为(    )

A.  B.  C. 或 D.

9.  如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到若点的对应点恰好落在边上，且点，，在同一条直线上，，则旋转角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第四象限，设，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  单项式的次数是______ ．

12.  若，则的值是______．

13.  有张除数字外无差别的卡片，上面分别写着，，，随机抽取一张记作，放回井混合在一起，再随机抽一张记作，组成有序实数对，点在直线上的概率为______ ．

14.  如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接若，则的度数是          ．
 

15.  小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布前形成倒立的实像点，的对应点分别是，若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，若点的横坐标和纵坐标均为整数，且，则点的坐标为______写出一个正确的坐标即可

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解方程组：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，，，求证：．

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
已知，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，求的值．

21.  本小题分
如图，为的直径，点为弦的中点，的延长线交于点，连接，，与交于点，点在的延长线上，且．
求证：与相切；
若，，求的长．

22.  本小题分
小明和小东是住同一个小区的初三学生，每天乘坐公交车上下学，从小区有路和路公交车都可以到达学校．他们对乘坐公交车到达学校所用乘车时间的规律产生了兴趣，于是他们分工调查、收集了上学时乘坐公交车到达学校所用的乘车时间．小明整理了乘坐路公交车到达学校的乘车时间，如表所示；小东将乘坐路公交车到达学校的乘车时间绘制成如图的直方图．
表

已知小明家到学校的距离，请估计上学期间路公交车的平均速度；每组中各个数据用该组的中间值代替
从小区到学校，除了乘车时间外，步行和等车还需要分钟．学校每天早上：上课，由于疫情防控，需错峰上学，建议初三学生在：前到校月份上学的天数为天，若小明每天：从家中出发，应乘坐哪路公交车，使得月中至少有天能按学校建议的时间到校？并说明理由．

23.  本小题分
已知菱形中，是边上一点．
在的右侧求作，使得，且；要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，求证：．

24.  本小题分
在平行四边形中，，分别是边，的点，，．
如图，若连接，，求证：；
如图，把绕点顺时针旋转角度得到，，的对应点分别为点，，连接，若，．
直接写出的取值范围；
当时，求的值．

 

25.  本小题分
已知抛物线的顶点．
求点的坐标用含的式子表示；
当抛物线的顶点在轴上，且与轴交于，两点点在点的左侧时，是否存在直线满足以下三个条件：
与抛物线相交于点，点在点的左侧，且与线段交于点；
；
将的面积分成：的两部分，若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
把写出，然后化简即可．
本题考查了二次根式的性质，把分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了科学记数法．解题的关键是能够用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，因此斜边为，的邻边为，
所以的余弦，即，
故选：．
根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，
∽，
与的周长比为，
与的相似比是，
故选：．
根据相似三角形的周长比定义相似比解答即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比定义相似比是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把这组数据按从小到大顺序排列后，第个和第个数据是和，
，
这组数据的中位数为．
这个数据中出现次数最多的数据是，
这组数据的众数是．
故选：．
中位数是把这组数据按从小到大的顺序排，位于中间的第个和第个数据是和，两个数据的平均数为这组数据的中位数；这个数据中出现次数最多的数据为众数，是．
本题主要考查中位数和众数．一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
由勾股定理得，，
，
图中的阴影部分的面积，
故选：．
根据勾股定理求出，得到、的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，抛物线在直线的上方，
不等式的解集为或，
即不等式的解集是或．
故选：．
观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：绕点旋转得到，
，，，，
，
设，则，
，
，，在同一直线上，
在中，，
，
解得，
，
在中，，
，
故选：．
根据绕点旋转得到，可得，设，则，在中，得，可解得，从而．
本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能熟练应用三角形内角和定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个根是，
二次函数的图象过点，
，
又，
，．
二次函数的图象的顶点在第四象限，且过点，
，图象开口向上，即，
，
，
解得．
故选：．
由已知条件可得，二次函数的图象过点，即，又，可得，，结合图象可求得，，进而可求出的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：单项式的次数为，
故答案为：．
单项式中所有字母的次数之和即为该单项式的次数，据此即可得出答案．
本题考查单项式的次数，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
原式




．
故答案为：．
先因式分解后整体代换求值．
本题考查求代数式的值，因式分解后整体代换是求解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中点在直线上的结果有种，即，
点在直线上的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中点在直线上的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，结合图形计算，得到答案．
【解答】
解：四边形是的内接四边形，
，
，
，，
是的直径，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
，
，
答：实像的高度为，
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，利用三角形相似，对应边成比例可求线段的长度．
 

16.【答案】或或或或或选一个即可 

【解析】解：法一：如图，延长到点，易知，
，
，
点．
同理可得．

 法二：如图，以点为圆心，为半径的圆上，

，
满足横、纵坐标为整数的六个点：、、、、、．
故答案为：、、、、、选一个即可．
法一：由，即联想到等腰三角形顶角处外角等于两底角之和，于是得点或．
法二：由联想到同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以点在以点为圆心，为半径的圆上，进而得到满足横、纵坐标为整数的六个点．
本题在坐标系的背景下主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，圆周角定理等相关知识；由半角联想到外角或圆周角的性质是解题关键．
 

17.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组利用加减消元法求出解即可．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：把，分别代入和中，
，，
解得：，，，
即反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；

设一次函数的图象与轴的交点为，则，
，
，
，
． 

【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把、的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可得出一次函数的解析式；
求出直线与轴的交点坐标，关键三角形的面积公式求出和的面积，即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生运用知识点进行计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
 

21.【答案】证明：为中点，
，
，
，
，，
，
，
，
与相切．
解：是直径，
，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】欲证明与相切，只要证明即可．
先求出、，由∽，得，由此即可解决问题．
本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，
，
即估计上学期间路公交车的平均速度是；
小明乘坐路公交车，
理由：由题意可知，
小明每天：从家中出发，在：前到校，步行和等车还需要分钟．
小明有乘车时间，
由表可知，在天内，有天不超过，
；
由直方图可得，；
由上可得，小明乘坐路公交车． 

【解析】根据表格中的数据，可以计算出平均时间，然后即可计算出平均速度；
根据题意和题目中的数据，可以计算出路公交车和路公交车满足条件的天数，即可解答本题．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；


证明：如图，延长交的延长线于点．

四边形是菱形，
，，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】作出的中位线，可得结论；
如图，延长交的延长线于点证明∽，推出，再证明，可得结论．
本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

24.【答案】证明：，，
，，
，
，
∽，
，
；
解：如图，连接，

绕点顺时针旋转角度得到，
≌，，，，
由知，，
，
，
∽，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
、、三点共线，
当点与点重合时，，此时，
，，，
，
，
当时，，
此时，
，
，
；
过点作于点，

，，，
，
设，则，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
． 

【解析】根据题意推出∽，根据相似三角形的性质得出，据此即可判定；
根据旋转得性质得出≌，，，，结合得出∽，根据相似三角形的性质得出，，根据平行四边形的性质推出、、三点共线，当点与点重合时，，此时，根据三角形外角性质推出，进而得到，当时，，此时，结合题意推出；
过点作于点，结合，根据锐角三角函数推出，设，则，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理求出，根据，得出，进而求出．
此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
顶点；
存在直线，理由如下：
顶点在轴上，
，
，
令，则，
解得或，
，，
，
抛物线关于轴对称，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设直线的解析式为，直线与轴的交点为，
直线将的面积分成：，
或，
或，
或，
解得或，
或，
直线的解析式为或． 

【解析】利用顶点公式求解即可；
由对称性可知，则，设直线的解析式为，直线与轴的交点为，根据已知可得或，即或，从而求出或，即可求直线的解析式为或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．