福建省福州市鼓楼区杨桥中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案）

这是一份福建省福州市鼓楼区杨桥中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区杨桥中学九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，则下列结论正确的是（　　）

A．AB＝AC+BC B．AB＝AC•BC
C．AB2＝AC2+BC2 D．AC2＝AB2+BC2
3．（4分）下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．一组对角相等 D．一组对边相等
4．（4分）已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+k的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
5．（4分）对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m
C．最大值为0 D．与y轴不相交
6．（4分）在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（　　）

A．9.3，9.6 B．9.5，9.4 C．9.5，9.6 D．9.6，9.8
7．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣1
8．（4分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．100（1﹣x）＝121 B．100（1+x）＝121
C．100（1﹣x）2＝121 D．100（1+x）2＝121
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．70°
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0），当该二次函数的自变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是直线x＝m，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）化简：＝　 　．
12．（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择 　 　．

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
183
183
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
13．（4分）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 　 　cm2．
14．（4分）如果﹣1是方程x2+mx﹣1＝0的一个根，那么m的值为　 　．
15．（4分）若点A（x1，m）和点B（x2，m）（x1≠x2）都在二次函数y＝x2﹣1的图象上，则当x＝x1+x2时，函数y的值是　 　．
16．（4分）如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是 　 　．

三.解答题（本题共9小题，满分86分）
17．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x+1＝0．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．
19．（8分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
20．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形．
（1）请用直尺和圆规在边AD上作点E，使得EB＝EC．（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的长．

21．（8分）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

22．（10分）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　 　km/h；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．

23．（10分）如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙AB（AB＝18米），另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．

（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？
（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

24．（12分）已知正方形ABCD，点E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE，求证：BE＝DE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，BF⊥BE，DF交AB于点G，求证：∠FBG＝∠FGB；
（3）如图3，F是DE延长线上一点，BF⊥BE，DF交AB于点G，BF＝BE，求证：GE＝（﹣1）DE．

25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C．若G是该抛物线上A，C之间的一个动点，过点G作直线GD∥x轴，交抛物线于点D，过点D，G分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，得到矩形DEFG．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当点G与点C重合时，求矩形DEFG的面积；
（3）若直线BC分别交DG，DE于点M，N，求△DMN面积的最大值．


2022-2023学年福建省福州市鼓楼区杨桥中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解答】解：根据二次根式的定义可得中的被开方数无论x为何值都是非负数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
2．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，则下列结论正确的是（　　）

A．AB＝AC+BC B．AB＝AC•BC
C．AB2＝AC2+BC2 D．AC2＝AB2+BC2
【分析】根据勾股定理判断即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
3．（4分）下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．一组对角相等 D．一组对边相等
【分析】根据平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形可直接得到答案．
【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得B正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．（4分）已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+k的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】由2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜2，可得出y1＜y2．
【解答】解：∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+k的图象上的两个点，且﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
5．（4分）对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m
C．最大值为0 D．与y轴不相交
【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．
【解答】解：对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，
∵a＝﹣2＜0，
∴开口向下，对称轴x＝m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型．
6．（4分）在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（　　）

A．9.3，9.6 B．9.5，9.4 C．9.5，9.6 D．9.6，9.8
【分析】将折线统计图中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：这10次射击成绩从小到大排列是：8.8，9.0，9.2，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，9.8，
∴中位数是（9.4+9.6）÷2＝9.5（环），
9.6出现的次数最多，故众数为9.6环．
故选：C．
【点评】本题考查众数与中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．
7．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣1
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
即y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要是配方法和平方数非负数的应用．
8．（4分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．100（1﹣x）＝121 B．100（1+x）＝121
C．100（1﹣x）2＝121 D．100（1+x）2＝121
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝121，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n＝b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．70°
【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．
∵OE＝OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∵∠AFE＝25°，
∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，
∴∠FAO＝20°．
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（SAS）．
∴∠FAO＝∠EBO＝20°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0），当该二次函数的自变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是直线x＝m，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．
【解答】解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为直线x＝m中2＜m＜4，
故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）化简：＝　　．
【分析】本题可将20分为两个相乘的数，将含平方因数开方即可．
【解答】解：＝＝2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，解此类题目时要注意开方后的数必定不小于0．
12．（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择 　乙　．

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
183
183
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
【分析】平均数相同应选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：∵乙的方差较小，
∴选择乙参加比赛，
故答案为：乙．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（4分）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 　24　cm2．
【分析】根据菱形的面积＝对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，
∴菱形的面积是＝24（cm2），
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积＝对角线乘积的一半．
14．（4分）如果﹣1是方程x2+mx﹣1＝0的一个根，那么m的值为　0　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝﹣1代入方程x2+mx﹣1＝0，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【解答】解：∵﹣1是方程x2+mx﹣1＝0的一个根，
∴x＝﹣1满足方程x2+mx﹣1＝0，
∴1﹣m﹣1＝0，
解得m＝0．
故答案是：0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解满足该一元二次方程的解析式．
15．（4分）若点A（x1，m）和点B（x2，m）（x1≠x2）都在二次函数y＝x2﹣1的图象上，则当x＝x1+x2时，函数y的值是　﹣1　．
【分析】先利用二次函数的性质得到点A与点B关于y轴对称，则x1＝﹣x2，然后计算自变量为0时的函数值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣1的图象的对称轴为y轴，
而点A（x1，m）和点B（x2，m）的纵坐标相同，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴x1＝﹣x2，
∴x＝x1+x2＝0，
当x＝0时，y＝x2﹣1＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
16．（4分）如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是 　2　．

【分析】根据已知条件得到∠ADE＝∠ABE，推出点A，D，B，E四点共圆，得到∠DBE＝90°，根据直角三角形的性质得到BF＝DE，当DE最小时，BF的值最小，DE最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴BF＝DE，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵若点E是直线BC上的动点，
∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝4＝AC，
∴BC＝4，
∴AE＝＝＝2，
∴DE＝4，
∴BF＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了四点共圆，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，圆周角定理，确定出当DE最小时，BF的值最小是解题的关键．
三.解答题（本题共9小题，满分86分）
17．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）．
＝﹣2+2﹣﹣2
＝﹣3；
（2）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m2﹣m）＝0，然后解一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意知，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m2﹣m）＝0，
整理，得：m2﹣m﹣1＝0，
解得：m＝，
即m1＝，m2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
19．（8分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
【分析】将（2，2）代入y＝（x﹣1）2+n求得n的值即可，再由函数解析式画出函数图象．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2，
∴2＝（2﹣1）2+n，
解得n＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1．
列表得：

如图：

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．
20．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形．
（1）请用直尺和圆规在边AD上作点E，使得EB＝EC．（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的长．

【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，与AD的交点即为所求作点E；
（2）连接EB与EC，由（1）知EB＝EC，利用“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCE得AE＝DE＝AD＝3，再根据勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求；


（2）连接EB，EC，
由（1）知EB＝EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝DE＝AD＝3，
在Rt△ABE中，EB＝＝＝5．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和中垂线的性质及矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．
21．（8分）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

【分析】（1）分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；
（2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．
【解答】解：由题意得，甲三项成绩之和为：9+5+9＝23（分），
乙三项成绩之和为：8+9+5＝22（分），
∵23＞22，
∴会录用甲；
（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：9×+5×+9×
＝3+2.5+1.5
＝7（分），
乙三项成绩之加权平均数为：8×+9×+5×
＝+4.5+
＝8（分），
∵7＜8，
∴会改变（1）的录用结果．
【点评】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．
22．（10分）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　60　km/h；
（2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．

【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”可得答案；
（2）根据（1）的结论可得出y甲与x之间的函数解析式；利用待定系数法可得y乙与x之间的函数解析式；
（3）根据（2）的结论列方程求解即可．
【解答】解：（1）甲的速度为：300÷5＝60（km/h），
故答案为：60；
（2）由（1）可知，y甲与x之间的函数解析式为y甲＝60x（0＜x≤5）；
设y乙与x之间的函数解析式为y乙＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴y乙＝100x﹣100（1≤x≤4）；
（3）根据题意，得60x＝100x﹣100，
解得x＝2.5，
60×2.5＝150（km），
∴点C的坐标为（2.5，150），
故点C的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
23．（10分）如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙AB（AB＝18米），另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．

（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？
（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

【分析】（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，用总长减去一个2倍的长加上2即可求得与墙平行的墙长；根据面积为120平方米结合矩形的面积列出方程求解即可．
（2）根据（1）中所列等式，根据二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是（36﹣2x+2）．即（38﹣2x）米．
根据题意得：x（38﹣2x）＝120，
整理，得 2x2﹣38x+120＝0，
解得 x1＝15，x2＝4．
当x1＝15时，36﹣2x＝6＜18，符合题意．
当x2＝4时，36﹣2x＝28＞18，不符合题意．
答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为15米，则与墙平行的边长为8米．
（2）存在，理由如下：
根据（1）中条件可知，S＝x（38﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，
∵38﹣2x≤18，
∴x≥10，
∵﹣2＜0，
∴当x≥10时，S随x的增大而减小，
∴当x＝10时，S的最大值为180，
此时38﹣2x＝18＝18，符合题意，
∴当这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为10米，则与墙平行的边长为18米时，面积的最大值为180平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形的长和宽，难度不大．
24．（12分）已知正方形ABCD，点E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE，求证：BE＝DE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，BF⊥BE，DF交AB于点G，求证：∠FBG＝∠FGB；
（3）如图3，F是DE延长线上一点，BF⊥BE，DF交AB于点G，BF＝BE，求证：GE＝（﹣1）DE．

【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，证明△ABE≌△ADE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ADE，根据等角的余角相等证明即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到EF＝BE，根据（2）中结论得到FG＝BF，进而证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）∵BF⊥BE，
∴∠EBF＝90°，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADG+∠AGD＝90°，
由（1）可知，△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴∠FBG＝∠AGD，
∵∠FGB＝∠AGD，
∴∠FBG＝∠FGB；
（3）∵BF⊥BE，BF＝BE，
∴EF＝BE，
∵BE＝DE，
∴EF＝DE，
由（2）可知，∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝BF，
∴FG＝DE，
∴GE＝EF﹣FG＝DE﹣DE＝（﹣1）DE．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C．若G是该抛物线上A，C之间的一个动点，过点G作直线GD∥x轴，交抛物线于点D，过点D，G分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，得到矩形DEFG．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当点G与点C重合时，求矩形DEFG的面积；
（3）若直线BC分别交DG，DE于点M，N，求△DMN面积的最大值．

【分析】（1）根据待定系数法确定抛物线解析式即可；
（2）当点G与C重合时，把y＝3代入解析式得出点D的坐标，进而利用矩形的面积公式解答即可；
（3）设直线BC为y＝kx+m，利用待定系数法得出解析式，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，得．
解得 ．
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）当点G与C重合时，点G的坐标为（0，3）．
将y＝3代入，
得．
解得 x1＝0，x2＝2．
∴点D的坐标为（2，3）．
∴GD＝2，DE＝3．
∴S矩形ABCD＝DG•DE＝2×3＝6．
（3）设直线BC为y＝kx+m（k≠0），
将B（6，0），C（0，3）代入上式
，解得 ．
∴直线BC的表达式为．
设点D的横坐标为n，由对称性得2≤n≤6，
∴点D，N的坐标分别为 D（n，），N（n，）．
∴
＝．
∴当n＝3时，DN取得最大值为．
∵DG∥x轴，
∴∠DMN＝∠OBC．
又∵∠MDN＝∠BOC＝90°
∴△DMN∽△OBC．
∴．
∴当DN最大时，△DMN的面积也最大．
∵，
∴．
∴△DMN面积的最大值为．
【点评】此题考查二次函数的综合题，关键是根据待定系数法确定解析式，进而利用相似三角形的判定和性质进行解答．