2023-2024学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将抛物线向下平移个单位，所得抛物线的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4.  某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费元某学习小组收集了一段时间内该外卖平台的部分订单，统计了每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的两组数据，对于这两组数据，下列判断正确的是(    )

A. 众数相同 B. 中位数相同 C. 平均数相同 D. 方差相同

5.  对于的性质，下列叙述正确的是(    )

A. 顶点坐标为 B. 当时，随增大而减小
C. 当时，有最大值 D. 对称轴为直线

6.  如图，在中、分别是、上的点，，且，若的面积为，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知方程配方后是，那么方程配方后是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，菱形对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若二次根式有意义，则的取值范围是______．

12.  如图，在中，，点是的中点，，则 ______ ．

13.  如图是甲、乙两人次足球点球测试每次点球个成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 ______ 填“”“”或“”．

14.  关于的方程的两根分别为，，则的值为______ ．

15.  如图，已知正方形，边长为，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，垂足为，连接在点从到的运动过程中，的最小值为______ ．

16.  二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：

当时，与其对应的函数值有下列结论：；和是关于的方程的两个根；则所有正确结论的序号为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：
；
．

18.  本小题分
如图，、分别是、上的点，连接，且，若，，，求的长．

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程两个实数根的差为，求的值．

20.  本小题分
校学生处为了了解全校名学生每天在上学路上所用的时间，随机调查了名学生下面是某一天这名学生上学所用时间单位：分钟：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
通过整理和分析数据，得到如下不完全的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：

补全条形统计图；
这名学生上学所用时间的中位数为______ 分钟，众数为______ 分钟；
若随机问这名同学中其中一名学生的时间，最有可能得到的回答是______ 分钟；
估计全校学生上学所用时间在分钟及以下的人数．

21.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，相交于点过点作，过点作交于点．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
如图，在矩形中，，．
尺规作图：在线段上确定一点，使得保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，连接，若是的中点，连接，求线段的长度．

23.  本小题分
某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量件与天的关系如表：

未来天内，前天每天的价格且为整数，后天每天的价格且为整数．
认真分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数的知识确定一个满足这些数据件与天之间的关系式，求出日销售量件与天之间的函数关系式；
请预测示来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

24.  本小题分
如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，．
写出和的数量关系，并证明．
求证：
连接，若正方形的边长为，求出的最小值．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点，已知，．

求抛物线的解析式；
点是第一象限抛物线上的一个动点，当点在运动过程中，求的面积的最大值，并写出此时点的坐标；
在第一象限的抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：只含有一个未知数且最高次数为，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
B.，含有两个未知数且最高次数为，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C.为分式方程，故该选项不符合题意；
D.是一元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程．据此解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：将抛物线向下平移个单位，则所得抛物线的表达式为，
故选：．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

3.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、，无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：．
分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，统计了每单的消费总额是在原数据的基础上，每个数据增加，
所以这两组数据的波动幅度相同，即方差相同；
而这两组数据的众数不同；中位数不同；平均数不同；
故选：．
分别根据众数、中位数、平均数以及方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

5.【答案】 

【解析】解：，
该函数的顶点坐标为，故选项A不符合题意；
当时，随的增大而减小，故选项B不符合题意；
当时，取得最小值，故选项C不符合题意；
对称轴为直线，故选项D符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的顶点坐标，从而可以判断；也可以得到当时，随增大而减小，从而可以判断；根据二次函数的性质，可以得到当时，取得最小值，即可判断；根据函数解析式可以直接写出对称轴，从而可以判断．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
的面积为，
，
则．
故选：．
根据题意可判定∽，利用面积比等于相似比平方可得出的面积，继而根据，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明∽，要求同学们熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
配方，得，
即，
方程配方后是，
，，
，
为，
，
，
，
，
，
故选：．
配方后求出，根据方程配方后是得出，，求出，再代入得出，再移项后配方即可．
本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能正确配方是解此题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：函数和的图象相交于点，
不等式的解集为．
故选：．
以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是以交点为分界进行判断．

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，求出，由勾股定理可求出答案．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：抛物线，，
该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，，是抛物线上三点，，，，
，
故选：．
根据抛物线，可以得到该抛物线的对称轴和开口方向，再根据，，是抛物线上三点，即可得到，，的大小关系．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，使二次根式有意义，即，
解得；
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式求范围．
本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于等于即可．

12.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，，
，
故答案为：．
利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：由统计图可知：
甲的成绩为：，，，，；
乙的成绩为：，，，，，
，
；
，
，
，
，
故答案为：．
从统计图中分别获取甲、乙两人测试成绩，利用方差公式计算即可．
本题考查方差的计算，熟悉方差的计算公式是解题的关键．本题也可直接根据方差的意义，通过观察统计图数据的判断波动情况作出判断．

14.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两根分别为，，
，
故答案为：．
根据一元二次方程的根与系数的关系：求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，，则，

四边形是正方形，
，，
，
，为的中点，
，
当且仅当点在线段上时，等号成立，
，
即的最小值为，
故答案为：．
取的中点，连接，，则，由勾股定理求出，由直角三角形的性质可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：当时，，当时，，
，抛物线对称轴为直线，
当时，其对应的函数值，
在对称轴左侧，随增大而减小，
二次函数开口向上，
，．
结论符合题意；
时，，
是关于的方程的根．
对称轴为直线，
和是关于的方程的两个根．结论符合题意；
，，
二次函数解析式：，
当时，与其对应的函数值．
，
；
当和时的函数值分别为和，
，
；故错误，
故答案为：．
利用待定系数法将点，代入解析式求出，，再结合二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断结论；根据二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断结论；利用待定系数法将点，代入解析式得出，结合的范围，判断结论．
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．

17.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，，，
，
，
，． 

【解析】用直接开平方法解一元二次方程即可；
用公式法解一元二次方程即可．
本题考查了直接开平方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

18.【答案】解：，，
∽，
．
，，，
，
． 

【解析】由两角相等的两个三角形相似得到∽，则，再代入数值即可求的长．
此题考查了相似三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键．

19.【答案】证明：一元二次方程，


．
，
．
该方程总有两个实数根．
解：一元二次方程，
解方程，得，．
该方程的两个实数根的差为，
．
或．
综上所述，的值是或． 

【解析】证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
用表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．

20.【答案】     

【解析】解：补全条形统计图如图所示．

这名学生用时数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是分钟，
因此中位数是，即，
这名学生用时数据出现次数最多的是分钟，
因此众数是，即，
故答案为：，；
由于众数是分钟，
因此用时为分钟的学生最多，
所以最有可能得到的回答是分钟；
故答案为：；
人，
答：估计全校学生上学时间在分钟及以下的人数约为人．
根据频数统计的方法可得“分钟”和“分钟”的频数，进而补全条形统计图；
根据众数的意义，找出出现次数最多的数即可，根据中位数的意义，求出排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可；
根据众数和可能性的大小即可得出答案；
用乘以样本中“分钟及以下”的学生所占比例即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图，中位数、众数，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
由可知，四边形是矩形，
矩形的面积． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理得，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键．

22.【答案】解：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，
可得，
，
再作线段的垂直平分线，交于点，
可得，
．
如图，点即为所求．
过点作于点，
四边形为矩形，
，
，
，
是的中点，
，
，
，，
，
． 

【解析】以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求．
过点作于点，结合已知条件以及矩形的性质可得，，则，再由勾股定理可得，即可得出答案．
本题考查作图复杂作图、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23.【答案】解：由题意可知，件与天满足一次函数关系．
设一次函数关系式为，
将，分别代入一次函数关系式中，得，
解得，
，
经检验，其他与的对应值均适合以上关系式，
日销售量件与天之间的函数关系式：；
设前天日销售利润为元，后天日销售利润为元，
则，
，，
当时，有最大值，最大值为；
，
，此函数图象开口向上，对称轴是直线，
在内，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为．
，
答：第天的日销售利润最大为元． 

【解析】利用待定系数法可求得一次函数关系式；
日利润日销售量每件利润，据此分别表示前天和后天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
；
证明：，，
∽，
，
，
，
；
解：四边形是正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
点在对角线上，
当垂直时，取得最小值，
，
的最小值为． 

【解析】证明≌，即可求解；
证明∽，结合，即可证明；
利用正方形的性质和相似三角形的判定和性质可得点在正方形的对角线上，则当垂直时，取得最小值．
本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，正方形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．

25.【答案】解：，，在的左侧，
，
将，代入，
，解得，
；
令，则，
，
设直线的解析式为，
，解得，
，
如图，过点作轴交于点，

设，则，
，
，
当时，的面积最大，最大值为，此时；
如图，延长和交于点，过作垂直轴并交轴于点，

，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，，
，
∽∽，
，即，
，
，，，
，
直线的解析式为，
联立得：，
，
解得，，
由题意知，
． 

【解析】将、点坐标分别代入抛物线解析式列方程组，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式；
先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，所以可表示的长，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题；
证明∽∽，列比例式可得的坐标，可得直线的解析式为，列方程组可得点的坐标．
本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质和相似三角形的性质和判定，会利用待定系数法求函数解析式；正确作辅助线是解本题的关键．