2023-2024学年福建省泉州市泉港二中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市泉港二中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省泉州市泉港二中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 3.若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 4.已知，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是(    )A.  B.  C.  D. 5.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    )A.  B.
C.  D. 6.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 7.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 8.如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积为(    )

 A.  B.  C.  D. 9.如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，满足关系式若在第二象限内有一点，使四边形的面积与三角形的面积之比为：，则点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 10.已知两个多项式，，为实数，将、进行加减乘除运算：
若，则；
，则需要满足的条件是；
若，则关于的方程无实数根；
若为正整数，且为整数，则，，，．
上面说法正确的有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.古希腊几何学家海伦在他的著作度量中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若三角形三边长分别为、、，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦公式计算的面积为______ ．
 12.计算的结果是______ ．13.“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体，如图，舞台长米，点是线段的黄金分割点即，则的长是______ ．14.如图，在中，平分，交于点，且，，交于点若，则的长是______ ．
 15.安徽省电动自行车管理条例自年月日起施行条例规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量件与销售单价元件满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为______ 元16.对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，，，按照这个规定，如果，则此时的值是______ ．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
先化简，再求值：，其中．18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：此方程总有两个不相等的实数根；
设方程的两个实数根为，请解答下列问题：
若，，求的取值范围；
请判断的值能否等于，若能，请求出此时的值；若不能说明理由．19.本小题分
课本再现 思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形如图，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱中，对角线，垂足为．
求证：▱是菱形．

知识应用
如图，在▱中，对角线和相交于点，，，．
求证：▱是菱形；
延长至点，连接交于点，若，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.与不能合并，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法运算对选项和选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．2.【答案】 【解析】解：若式子在实数范围内有意义，必须，即．
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可得出选项．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式具有双重非负性，即，．3.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
根据合比性质进行计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．4.【答案】 【解析】解：由实数，在数轴上的位置可知，，
，
；
故选：．
根据实数，在数轴上的位置可得，再根据二次根式的性质将二次根式进行化简，再合并即可．
本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提．5.【答案】 【解析】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
一株椽的价钱为文．
依题意得：．
故选：．
设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得，
方程的两个实数根为，，
，，
，
，
即，
解得，
，
的值为．
故选：．
先根据根的判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得到，，接着利用得到，即，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，也考查了根的判别式．7.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．
此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：根据图形和题意可得：
，其中，则方程是
解得：，
所以正方形的面积为．
故选A．
从图中可以看出，正方形的边长，所以面积，矩形的长和宽分别是，，面积，两图形面积相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面积．
本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得的值，从而求出边长，求面积．9.【答案】 【解析】解：，
，，，
解得，
，即，，，
，，
四边形的面积与三角形的面积之比为：，
，解得，
．
故选：．
由，可得，，，解得，，即，，，，，由面积比可得，，计算求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，坐标与图形，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10.【答案】 【解析】解：，
，
，
解得：，故错误；
，
，
整理得：，
当时，，解得舍，
当时，恒成立，
当时，，解得舍，
故正确；
，
，
则或，两个方程无解，
关于的方程无实数根，
正确；






，
又为整数，为正整数，
，，，，
故正确．
综上所述，正确的有，共个．
故选：．
直接列方程求解即可；
列绝对值方程即可直接求解；
由，可得或，再验证这两个方程是否有实数根；
列代数式，再化简，直接代数验证即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，含绝对值一元一次方程，根的判别式相关知识点，能够正确解方程是本题的关键．11.【答案】 【解析】解：，
的面积为：．
故答案为：．
根据题中的公式，代入计算求值．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．12.【答案】 【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据二次根式的性质将和进行化简，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的加减法，二次根式的性质，掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式的方法是正确解答的前提．13.【答案】米 【解析】解：点是线段的黄金分割点即，米，
米，
米，
故答案为：米．
利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．14.【答案】 【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案．
本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．15.【答案】 【解析】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
，
即每件头盔的售价应为元，
故答案为：．
根据商店计划每周销售该头盔获利元，列出一元二次方程，解方程取满足题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】或 【解析】解：当，即时，方程为，
去分母得：，
解得：，
经检验是原方程的解；
当，即时，方程为
去分母得：，
解得：不符合题意，舍，，
经检验都为分式方程的解．
故答案为：或．
根据与的大小关系，取与中的最大值化简所求方程，求出解即可．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．17.【答案】解：原式，
当时，原式． 【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法．18.【答案】证明：

，
此方程总有两个不相等的实数根；
解：根据根与系数的关系得，
，，
，
解得，
即的范围为；
的值不能为．
理由如下：
根据根与系数的关系得，，




，
时，有最小值，
的值不能为． 【解析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
根据根与系数的关系得，则，然后解不等式即可；
由于，，所以，由于时，有最小值，从而可判断的值不能为．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，垂足为，
是的垂直平分线，
，
▱是菱形．
证明：▱中，对角线和相交于点，，，
，，
又，
在三角形中，，
，
即，
▱是菱形；
解：如图，设的中点为，连接，

是的中位线，
，
由知：四边形是菱形，
，
又，
，
又，
，
，
是的中位线，
，
∽，
，
又，，
． 【解析】根据平行四边形的性质和已知条件判定是的垂直平分线，推出后利用菱形的定义即可判定▱是菱形；
根据平行四边形的性质求出、的长，然后根据勾股定理逆定理判定，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证；
设的中点为，连接，根据已知条件求出、的长，判定∽，然后根据相似三角形的性质即可求出的值．
本题是相似形综合题，主要考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，深入理解题意是解决问题的关键．