2022-2023学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列四个实数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  对于如图，有两种语言描述：射线；延长线段其中(    )

A. 只有正确 B. 只有正确 C. 和均正确 D. 和均错误

3.  下列各组数中相等的是(    )

A. 与 B. 和 C. 与 D. 和

4.  能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  数轴上，与表示的点分别为、、，点为线段上一点，分别以、为中心旋转、，若旋转后、两点可以重合成一点即构成，则点代表的数可能为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，在上，是直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知、表示如表第一行中两个相邻的数，且，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  九章算术是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问：共有几个人？”设有个人共同买鸡，依题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，中，，点在上，若，，则的长度为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，矩形的一条边长为，周长的一半为定义为这个矩形的坐标．如图，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成个区域．已知矩形的坐标的对应点落在如图所示的双曲线上，矩形的坐标的对应点落在区域中．则下面叙述中正确的是(    )
 

A. 点的横坐标有可能大于
B. 矩形是正方形时，点位于区域
C. 当点沿双曲线向上移动时，矩形的面积减小
D. 当点位于区域时，矩形可能和矩形全等

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  单项式的次数是______．

12.  据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像点、的对应点分别是、若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离、分别为、，则实像的高度为______．

13.  如图是小李在新冠疫情期间连续两周居家健康检测记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，则 ______选填“”、“”或“”．
 

14.  如图，正五边形绕点旋转了角，当时，则 ______ ．

15.  已知，，分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是，则的值是______．

16.  如图，中，，，点关于直线的对称点为点，连接，，线段，的延长线交于点，若，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  解不等式组：；

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
已知：如图，在菱形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．

20.  本小题分
根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产箱，现在生产箱药品所需时间与原计划生产箱药品所需时间相同，求原计划平均每天生产药品的箱数．

21.  本小题分
某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为元，售价为元，该款面包当天只出一炉一炉至少个，至多个，当天如果没有售完，剩余的面包以每个元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近天的日需求量单位：个，整理得表格：

以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．若该店这款新面包出炉的个数不少于个的概率；
该店在这天内，这款新面包每天出炉的个数均为．
若日需求量为个，求这款新面包的日利润；
求这天内这款新面包的日利润的平均数．

22.  本小题分
如图，在中，，完成以下两个小题的解答：
用尺规作的中点，并以为半径作不写作法，保留作图痕迹，求证：与边相切；
若恰好交于边的中点，求的半径长．

23.  本小题分
跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分如图中实线部分所示，落地点在着陆坡如图中虚线部分所示上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
的值为______；
若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；
若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为______；
若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．

24.  本小题分
已知二次函数，其中为常数．
当时，求的值；用含的式子表示
抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，过点作直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，点在第四象限，连接，分别交轴于点，．
当时，求点的横坐标的值；用含，的式子表示
当时，求证：是一个定值．

25.  本小题分
如图，中，，以直角边为腰，向外作等腰直角三角形，，，点是边上一点，且，．
探究：与的数量关系；
求证：；
若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：射线，描述正确；
应该是延长线段，原说法错误．
故选：．
由射线，线段的概念即可判断．
本题考查射线，线段，掌握以上概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，，故此选项不符合题意；
B、，，故此选项符合题意；
C、，，故此选项不符合题意；
D、，，故此选项不符合题意．
故选：．
根据算术平方根的定义，绝对值的性质，负整数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了算术平方根，绝对值，负整数指数幂，零指数幂．熟记算术平方根的定义，绝对值的性质，负整数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则并准确计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、如图，两个角都是，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：设点代表的数为，则由题意可得：
，，
，
由三角形的三边关系可得：，
解得：，
故选C．
设代表的数为，则，和可以用表示出来，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围即可得到解答．
本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等式组的求法是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
为的直径，
，
，
故选：．
连接，先利用同弧所对的圆周角相等求出，再根据直径所对的圆周角是直角求出，最后利用直角三角形两锐角互余进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据表格中的数据直接得出，
故选：．
根据表格中的数据直接得出．
本题考查了估算无理数大小，掌握估算无理数大小要用逼近法是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设有个人共同出钱买鸡，根据题意得：
．
故选：．
设有个人共同出钱买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用，关键是能够熟练解直角三角形．
在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得．
【解答】
解：，，，
，
，
．
，
，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理清和的意义是关键，并注意利用数形结合的思想解决问题．
A、根据反比例函数一定，并根据图形得：当时，，得，因为是矩形周长的一半，即，可判断点的横坐标不可能大于；
B、根据正方形边长相等得：，得点是直线与双曲线的交点，画图，如图，交点在区域，可作判断；
C、先表示矩形面积，当点沿双曲线向上移动时，的值会越来越小，矩形的面积会越来越大，可作判断；
D、当点位于区域，得，另一边为：，矩形的坐标的对应点落在区域中得：，，可作判断．
【解答】
解：设点，
A、设反比例函数解析式为：，
由图形可知：当时，，
，
，
，即点的横坐标不可能大于，故选项A不正确；
B、当矩形为正方形时，边长为，则，
则点是直线与双曲线的交点，如图，

时，，
交点在区域，故选项B不正确；
C、矩形一边为，则另一边为，
，
当点沿双曲线向上移动时，的值会越来越小，
矩形的面积会越来越大，故选项C不正确；
D、当点位于区域时，
点，
，，即矩形另一边为：，
矩形落在区域中，，，
则矩形中的和矩形中的相等时，矩形的另一边可以和矩形的一边相等，此时两矩形全等，
当点位于区域时，矩形可能和矩形全等，故选项D正确．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：单项式的次数是．
故答案为：．
直接利用单项式的次数确定方法解答即可．
此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题的关键．要注意：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
答：实像的高度为，
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，利用三角形相似，对应边成比例可求线段的长度．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据折线统计图很容易看出小李第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，
小李第一周居家体温数值波动小于其第二周居家体温数值波动，
．
故答案为：．
根据折线统计图很容易看出小李第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，从而推出．
本题考查是折线统计图和方差的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，如图中虚线表示小李第一周居家体温，在之间，实线表示小丽第二周居家体温，在之间．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示：

正五边形每个内角的度数为，，
，
由旋转的性质得：对应角相等，
，
在五边形中，，
，
故答案为：．
由五边形内角和公式及正多边形的性质得到正五边形每个内角的度数，求解，利用旋转的性质与五边形的内角和公式得到答案．
本题考查了多边形内角与外角，熟记正多边形的性质，多边形的内角和公式，旋转的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
，
，
又，，
，
或不合题意，舍去．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，结合勾股定理及的面积是，即可求出的值，取其正值即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，找出关于的方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

，，
，
点关于直线的对称点为点，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
过点作于，利用三角形内角和定理得，，再得，，，利用，求解即可．
本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，发现和是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：





． 

【解析】根据，，，然后根据实数的混合运算，即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，实数的混合运算法则是关键．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
在和中，

≌，
，
，
． 

【解析】由四边形是菱形得到，则，即可证明≌，则，即可得到结论．
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
 

20.【答案】解：设原计划平均每天可生产箱药品，则现在平均每天可生产箱药品，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天可生产箱药品． 

【解析】设原计划平均每天可生产箱药品，则现在平均每天可生产箱药品，根据工作时间工作总量工作效率，结合现在生产箱药品所需时间与原计划生产箱药品所需时间相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：这款新面包日需求量不少于个的频率为：，
答：这款新面包日需求量不少于个的概率为；
若日需求量为个，则这款新面包的日利润为：元，
若日需求量为个，则这款新面包的日利润为：，
若日需求量不少于个，则这款新面包的日利润为：，
这天内这款面包的日利润的平均数为：元． 

【解析】求出这款新面包日需求量不少于个的频率，由此能求出这款新面包日需求量不少于个的概率．
若日需求量为个，由题意能求出这款新面包的日利润．
分别求出日需求量为个，个和日需求量不少于个时，这款新面包的日利润，由此能求出这天内这款面包的日利润的平均数．
本题考查概率、日利润、平均日利润的求法，考查古典概型、平均数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

22.【答案】解：如图，点和即为所求；

证明：，为的中点，
，
为的半径，
与边相切；
解：设边的中点为点，的半径为，
，
，
，
在中，
，
，
解得：负值舍去，
即的半径为． 

【解析】作的平分线交于点，再以为半径作，再根据等腰三角形 的性质可得即可；
设边的中点为点，的半径为，可得，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
本题主要考查的是作图基本作图，涉及到切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，作已知角的平分线，灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：起跳台的高度为，
，
把代入得：
，
故答案为：；
，，
，
基准点到起跳台的水平距离为，
，
基准点的高度为；
，
，
运动员落地点要超过点，
时，，
即，
解得，
故答案为：；
他的落地点能超过点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
，
他的落地点能超过点．
根据起跳台的高度为，即可得；
由，，知，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为；
运动员落地点要超过点，即是时，，故，即可解得答案；
运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，即是抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
 

24.【答案】解：当时，，
，
或，
，；
当时，由可知：，，
，
，
，
点在点的左侧，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得：，
消去，得：，
由根与系数关系，得，
，
证明：当时，二次函数解析式为，
，，
，
，
，
直线的解析式为：，
联立方程组，得：，
，
，，
即，
直线过点，
，
，
即，
，
，
、不重合，即，
，
为定值． 

【解析】令，得：，运用因式分解法解一元二次方程即可；
当时，利用不等式性质可得：，根据点在点的左侧，可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组，消去，得：，由根与系数关系，得，即可得出答案；
当时，二次函数解析式为，根据条件可得，，再根据直线过点，可推出，再由、不重合，即，得出即可．
本题考查二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，一元二次方程根与系数关系等，此题综合性较强，熟练掌握二次函数的图象及性质、灵活应用根与系数的关系是解题的关键．
 

25.【答案】解：，理由如下：
，
，
中，，
，
，
；
证明：如图，延长至，使，连接，

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作于，

是等腰直角三角形，且，
，
，
，
中，，
，
由知：，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，即，
，
由勾股定理得：． 

【解析】先根据等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得：，由此可得结论；
延长至，使，连接，根据证明≌，得，，由三角形的外角的性质和等腰三角形的判定可得结论；
如图，过点作于，先根据勾股定理计算，，根据中的结论可得的长，由相似三角形的性质列比例式可得和的长，最后由勾股定理可得结论．
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定，证明∽是解题的关键．