2023-2024学年福建省宁德一中九年级上学期开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省宁德重点中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1＝0

2．（4分）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数是（　　）

A．2 B．3 C．1 D．﹣3

3．（4分）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）

A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0

4．（4分）如果a2+7a＝0，那么a的值是（　　）

A．0 B．7 C．0或7 D．0或﹣7

5．（4分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3

6．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+11＝0，此方程可化为（　　）

A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x﹣4）2＝27 D．（x+4）2＝27

7．（4分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　）

A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 

C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300

8．（4分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0

9．（4分）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36＝0的两根，则该三角形的周长为（　　）

A．4 B．13 C．4或9 D．13或18

10．（4分）为了迎接校庆，初三年级组织乒乓球比赛，赛制为单循环形式（每两个选手之间都必须赛一场），全年级共进行了28场比赛，这次参赛的选手有（　　）

A．7位 B．8位 C．9位 D．10位

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）将（x﹣3）2+5＝6x化为一般式为　              　．

12．（3分）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是　            　．

13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　      　．

14．（3分）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 　   　．

15．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　       　．

16．（3分）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是　             　．

三、解答题（本大题共3小题，17题20分，18题10分，19题12分，共42分）

17．（20分）解方程．

（1）（x+2）2＝1；

（2）x2+2＝2x；

（3）（x﹣5）2＝8（x﹣5）；

（4）2x2﹣4x＝3．

18．（10分）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长；

（2）围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求BC的长；如果不能，请说明理由．

19．（12分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．

（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？

2023-2024学年福建省宁德重点中学九年级（上）开学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．【答案】B

【解答】解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；

B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；

C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误；

D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；

故选：B．

2．【答案】D

【解答】解：该方程的一次项系数为﹣3，

故选：D．

3．【答案】A

【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，

∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，

故选：A．

4．【答案】D

【解答】解：∵a2+7a＝0，

∴a（a+7）＝0，

∴a＝0或a+7＝0，

∴a1＝0，a2＝﹣7，

故选：D．

5．【答案】B

【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，

所以1+m+3＝0

解得m＝﹣4．

故选：B．

6．【答案】A

【解答】解：x2﹣8x+11＝0，

移项，得x2﹣8x＝﹣11，

配方，得x2﹣8x+16＝﹣11+16，

即（x﹣4）2＝5，

故选：A．

7．【答案】B

【解答】解：由题意得，底面长方形的长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，

∵要使长方体盒子的底面积为300cm2，

∴（50﹣2x）（30﹣2x）＝300，

故选：B．

8．【答案】D

【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，

∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，

解得：m≤1且m≠0，

故选：D．

9．【答案】B

【解答】解：∵x2﹣13x+36＝0，

（x﹣4）（x﹣9）＝0，

解得：x＝4或者x＝9，

即第三边长为9或4，

边长为9，3，6不满足三角形三边关系；

而4，3，6能构成三角形，

∴三角形的周长为3+4+6＝13，故B正确．

故选：B．

10．【答案】B

【解答】解：假设共有参赛选手 x人，由题意，得．

∴x（x﹣1）＝28，

解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），

这次参赛的选手有8位，

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．【答案】见试题解答内容

【解答】解：（x﹣3）2+5＝6x

x2﹣6x+9+5﹣6x＝0

x2﹣12x+14＝0．

故答案为：x2﹣12x+14＝0．

12．【答案】见试题解答内容

【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，

所以x1＝3，x2＝2．

故答案为x1＝3，x2＝2．

13．【答案】k＜1．

【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，

解得k＜1．

故答案为：k＜1．

14．【答案】1．

【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，

∴x1+x2＝，x1x2＝，

∴＝＝1．

故答案为：1．

15．【答案】2019．

【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，

则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．

故答案为：2019．

16．【答案】x2+2x﹣20＝0．

【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，

则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．

故答案为：x2+2x﹣20＝0．

三、解答题（本大题共3小题，17题20分，18题10分，19题12分，共42分）

17．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝﹣3；

（2）x1＝x2＝；

（3）x1＝5，x2＝13；

（4）x1＝1+，x2＝1﹣．

【解答】解：（1）（x+2）2＝1，

x+2＝±1，

所以x1＝﹣1，x2＝﹣3；

（2）x2+2＝2x，

x2﹣2x+2＝0，

（x﹣）2＝0，

x﹣＝0，

所以x1＝x2＝；

（3）（x﹣5）2＝8（x﹣5）；

（x﹣5）2﹣8（x﹣5）＝0，

（x﹣5）（x﹣5﹣8）＝0，

x﹣5＝0或x﹣5﹣8＝0，

所以x1＝5，x2＝13；

（4）2x2﹣4x＝3，

x2﹣2x＝，

x2﹣2x+1＝+1，

（x﹣1）2＝，

x﹣1＝±，

所以x1＝1+，x2＝1﹣．

18．【答案】（1）BC的长为4米；

（2）不能围成面积为75平方米的花圃．理由见解析．

【解答】解：（1）设BC的长度为x米，则AB的长度为米，

根据题意得：，

整理得：x2﹣24x+80＝0，

解得：x1＝4，x2＝20．

∵20＞15，

∴x2＝20舍去．

答：BC的长为4米．

（2）不能围成，理由如下：

当时，

整理得，x2﹣24x+150＝0

∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0

∴该方程无实数根，

∴不能围成面积为75平方米的花圃．

19．【答案】（1）25%；

（2）50元．

【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，

根据题意得：256（1+x）2＝400，

解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．

答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；

（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，

根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，

整理得：y2﹣113y+3150＝0，

解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）．

答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．