人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用课文课件ppt

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1.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程.2.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.
考虑到10°+50°=60°是特殊角,正、余弦值可求.只要把sin 10°cs 50°化为两项之和或两项之差就能达到化简的目的(分母同理),这一变形式就是正、余弦函数积化和差的公式,是本节的重要公式.
知识点一:积化和差公式
名师点析 在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.牢记两组公式的区别与联系,才能正确使用.在运用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.根据实际问题选用公式时,应考虑以下几个方面:(1)运用公式之后,能否出现特殊角.(2)运用公式之后,能否提公因式,能否约分,能否合并或者消项.(3)运用公式之后,能否使三角函数的结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.对于三角函数的和差化积,有时因使用公式不同或选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值应用公式,如然后化积.
微思考积化和差公式有何特点?提示积化和差公式中,同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.微练习计算:(1)sin 52.5°·cs 7.5°=　　　　　　　; (2)sin αsin 3α=　　　　　. 
知识点二:和差化积公式
名师点析 利用和差化积及积化和差公式进行转化求值时,要注意:(1)积化和差时,可以是同名函数的乘积,也可以是异名函数的乘积,而和差化积时,必须是同名函数的和差.(2)和差化积时,两函数值的系数是绝对值相同,注意特殊角的三角函数与特殊值在转化中的使用技巧.三角恒等式的证明主要从两个方面入手:(1)看角,分析角的差异,消除差异,向所求结果中的角转化;(2)看函数,统一函数,向所求结果中的函数转化.
微思考和差化积公式有何特点?
三角函数式的化简与求值
分析利用积化和差与和差化积公式化简、求值.
反思感悟 三角函数化简与求值的策略当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.
延伸探究若把本例改为:sin 20°cs 70°+sin 10°sin 50°,试求值.
分析根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一.
反思感悟 三角恒等式证明的思路当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.
变式训练1已知sin A+sin 3A+sin 5A=a,cs A+cs 3A+cs 5A=b,求证:(2cs 2A+1)2=a2+b2.证明由题意知(sin A+sin 5A)+sin 3A=2sin 3Acs 2A+sin 3A=a,(cs A+cs 5A)+cs 3A=2cs 3Acs 2A+cs 3A=b,则sin 3A(2cs 2A+1)=a,①cs 3A(2cs 2A+1)=b.②两式平方相加,得(2cs 2A+1)2=a2+b2.
与三角函数有关的综合问题
分析先将解析式化简,然后求解.
反思感悟 三角函数综合问题的求解策略求解三角函数性质问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的形式后再研究其性质.
积化和差、和差化积公式的应用规律(1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α、β,等式右边为它们的和差角.(2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名,一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次函数.余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名函数之积;等式左边为单角θ与φ,等式右边为
方法点睛 本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换,构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导公式得解.
3.sin 15°sin 30°sin 75°的值是　　　　　.