2022-2023学年辽宁省鞍山二中九年级（上）期初数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省鞍山二中九年级（上）期初数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列根式是最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    一次函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，下列说法中错误的是(    )

A. 甲乙两地相距
B. 点表示此时两车相遇
C. 慢车的速度为
D. 折线表示慢车先加速后减速最后到达甲地

5.    在中，、、的对边分别为、、，下列条件中，能判断是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，
C. ：：：： D. ，，

6.    如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，在中，点、、分别为边、、的中点，分别联结、、、，点是与的交点，下列结论中，正确的个数是(    )
   的周长是周长的一半；
   与互相平分；
   如果，那么点到四边形四个顶点的距离相等；
   如果，那么点到四边形四条边的距离相等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9.    函数中自变量的取值范围是______．
10. 甲，乙两人进行掷飞镖比赛，每人各掷次，所得环数的平均数相同．甲所得环数为：，，，，，乙所得环数的方差为，那么成绩较为稳定的是______填“甲”或“乙”
11. 如图，一次函数与的图象的交点坐标为则关于的不等式的解集为______．

12. 在平面直角坐标系中，▱的边落在轴的正半轴上，且点，
    ，直线以每秒个单位的速度向下平移，经过______ 秒该直线可将的面积平分．

13. 如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了______．

14. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为______．

15. 如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是______．

16. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：；；；的面积为；其中正确的结论有______．

三、解答题（本大题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：；
    先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
    如图，在处的某海防哨所发现在它的北偏东方向相距米的处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的处．问：此时快艇航行了多少米即的长？

19. 本小题分
    如图，▱中，点、在对角线上，且求证：四边形是平行四边形．

20. 本小题分
    近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入单位：千元如图所示：
    
    根据以上信息，整理分析数据如下：
    完成表格填空：

根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．

21. 本小题分
    如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求和的长．

22. 本小题分
    为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买，两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元．
    求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？
    该市现需要购买，两种型号的垃圾箱共个，其中购买型垃圾箱不超过个．
    求购买垃圾箱的总花费元与型垃圾箱个之间的函数关系式；
    当购买型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．
    请直接写出点、点、点的坐标： ______ ， ______ ， ______ ．
    如图，动直线分别与直线，交于，两点．
    若，求的值．
    若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

24. 本小题分
    已知：在正方形和正方形中，连接、，取，的中点、，连接．
    探究、的关系图，并证明．
    当正方形在如图所示的位置时，上述结论还成立吗？给出证明．
    将上题“正方形和正方形”改为“菱形和菱形”图，且，其它不变，直接求出：______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，故A不是最简二次根式；
原式，故B不是最简二次根式；
原式，故D不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项正确．
故选：．
利用二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，故选项A、、、不符合题意；
当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，故选项A、、不符合题意，选项C符合题意；
当，时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第二、三、四象限，故选项A、、、不符合题意；
故选：．
根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
甲乙两地相距，故选项A正确；
点表示此时两车相遇，故选项B正确；
慢车的速度为，故选项C正确；
折线表示快车先到达目的地，然后是慢车到达目的地，故选项D错误；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
以，，为边不能组成直角三角形，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设，，，
，
，
，，，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，，
，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断和；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可判断，根据三角形的内角和定理即可判断．
本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积，
故选：．
由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到答案．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点、、分别为边、、的中点，
，，，
，
的周长是周长的一半，故正确；
点、、分别为边、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分，故正确；
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
点到四边形四个顶点的距离相等，故正确；
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，是菱形两组对角的平分线，
点到四边形四条边的距离相等，故正确．
综上所述：正确的是，共个，
故选：．
根据三角形中位线定理即可解决问题；
根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题；
证明四边形是矩形，进而可以解决问题；
证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
 

9.【答案】且 

【解析】

【分析】
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【解答】
解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．  

10.【答案】甲 

【解析】解：甲组数据的平均数，
甲组数据的方差，
，
成绩较为稳定的是甲．
故答案为：甲．
计算出甲的平均数和方差后，与乙的方差比较，可以得出判断．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入，得，解得，
直线与轴的交点为，
一次函数与的图象的交点坐标为，
当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：．
结合函数图象，写出直线在直线下方且在轴的上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分；
四边形是平行四边形，
，
，点，
，
设的解析式为，
平行于，
，
过，
的解析式为，
直线要向下平移个单位，
时间为秒，
故答案为：．
首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
 

13.【答案】米 

【解析】解：在中，米，米，
故AC米，
在中，米，米，
故EC米，
故AE米．
答：梯子下滑了米．
故答案为：米．
在直角三角形中，根据勾股定理得：米，由于梯子的长度不变，在直角三角形中，根据勾股定理得米，进而得出答案．
此题考查了勾股定理的应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得和的长，即可计算下滑的长度．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
垂直平分，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据题意和矩形的性质、线段垂直平分线的性质，可以证明≌，从而可以得到和的长，然后利用勾股定理，即可得到的长．
本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】． 

【解析】解：连接，，则，
，
即的最小值是长度，
，，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
连接，，则，，即的最小值是长度．
本题考查轴对称最短问题以及矩形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
，故正确；
，
，
，故正确；
连接交于点，

由题意得：，
，
，
，
，，
≌，
，故错误；
≌，
，故错误；
设交于，交于，
≌，
，
，
，
，故正确，
正确的有，
故答案为：．
连接交于点，根据正方形的性质可求出、、，再根据“手拉手”模型证明≌，即可判断各个选项的正误．
本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键．
 

17.【答案】解：



；






，
当时，原式． 

【解析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再算减法即可；
先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算和分式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则和分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

18.【答案】解：如图：在直角中，，米，
米，米，
直角是等腰直角三角形，
米，
．
答：快艇航行了米． 

【解析】根据已知及三角函数求得的长，再根据等腰直角三角形的性质求得的长，从而不难求得的长．
本题考查了勾股定理的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法构造直角三角形，难度一般．
 

19.【答案】证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
，
．
即．
四边形为平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形． 

【解析】本题中，在连接交于，则可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
此题主要考查了平行四边形的判定，要求对平行四边形的所有判定都要掌握．
 

20.【答案】     

【解析】解：“美团”的平均数是：

千元；
把“滴滴”的这些数从小到大排列，中位数是第、第个数的平均数，
则中位数是：千元；
“滴滴”的众数为千元；
故答案为：；；．
选美团，平均数一样，中位数，众数美团均大于滴滴，且美团方差小，更稳定．
利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
 

21.【答案】证明：四边形为菱形，
，
点为中点，
为的中位线，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：四边形是菱形，
，
由得：为的中位线，
，
点为的中点，
，
由可知，四边形是矩形，
，，，
，
，
． 

【解析】先证为的中位线，则，再证四边形为平行四边形，然后证，即可得出结论；
由菱形的性质得到，再由三角形中位线定理求出的长，然后由矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，求出，最后由勾股定理即可求出的长．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
由题意得：．
解得：．
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；

设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，
由题意得：，且为整数．

由知，，
是的一次函数．
，
随的增大而减小．
又，且为整数，
当，取最小值，且最小值为．
答：函数关系式为，且为整数．
购买个型垃圾箱，总费用最少，最少费用为元． 

【解析】设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据总价单价购进数量，即可得出关于的函数关系式；
利用一次函数的性质解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，找出关于的函数关系式；利用一次函数的性质，解决最值问题．
 

23.【答案】     

【解析】解：对于直线：，
令，解得，故点，
对于：，同理可得：点，
则，解得，
故点的坐标为，
故答案为：、、；

点在直线上，则设点，同理点，
则，
解得或；

当点在轴下方时，如下图，

设直线交轴于点，过点作直线交轴于点，
在轴负半轴取点使，过点作直线交于点，则点为所求点，
理由：、在直线上，且，则，同理，
而，则、之间的距离等于倍、之间的距离，故，
由直线的表达式知点，
设直线的表达式为，将点的坐标代入上式并解得，故点，
则，则，
故点，
在直线的表达式为，
联立并解得，故点；
当点在轴上方时，同理可得点，
同理可得，过点且平行于的直线表达式为，
联立并解得，故点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
对于直线：，令，解得，故点，同理可得：点，联立，得到点的坐标，即可求解；
设点，同理点，则，即可求解；
在轴负半轴取点使，过点作直线交于点，则点为所求点，进而求解；当点在轴上方时，同理可得点，进而求解．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

24.【答案】： 

【解析】解：结论：，．
理由：如图中，连接，，，过点作与点，交于点．

四边形，四边形都是正方形，
，
点在正方形的对角线上，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，；

结论成立．
理由：如图中，延长到，使得，连接，，，设交于点，交于点．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，；

如图中，延长到，使得，连接，，延长交的延长线于点，交于点．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
，
：：．
故答案为：：．
结论：，如图中，连接，，，过点作与点，交于点证明≌，可得结论；
结论成立．如图中，延长到，使得，连接，，，设交于点，交于点证明≌，推出，，推出是等腰直角三角形，可得结论；
如图中，延长到，使得，连接，，延长交的延长线于点，交于点利用全等三角形的性质证明是等边三角形，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．