2022-2023学年辽宁省鞍山市铁西区九年级（上）质检数学试卷（9月份）（含解析）

2022-2023学年辽宁省鞍山市铁西区九年级（上）质检数学试卷（9月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在▱中，平分，交于点，交延长线于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了名同学的参赛成绩如下单位：分：，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 一个直角三角形的两条直角边分别为和，则斜边上的中线和高分别为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7. 小军家距学校千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发分钟，结果与原来到校的时间相同，那么校车的速度是(    )

A. 千米小时 B. 千米小时 C. 千米小时 D. 千米小时

8. 如图，在中，点是的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，直线交于点，连接，若，的周长为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知动点在▱的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是(    )

A. 线段的长为 B. ▱的周长为
C. 线段最小值为 D. ▱的面积为

10. 已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列六个结论：；；；；平分其中，正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 某麒麟芯片中含有个晶体管，将用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：______．
13. 如图，在等腰中，，，，，则______．

14. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______．

15. 若实数、在数轴上的位置如图所示，则代数式化简为______．
16. 腰长为，一条高为的等腰三角形的底边长为______ ．
17. 定义，当时，，当时，；已知函数，则该函数的最小值是______．
18. 如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接若，，，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
20. 本小题分
    如图是游乐园新打造的一款儿童游戏项目，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．
    求段的长度；
    为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，若米，请求出的长．

21. 本小题分
    某校举行“学习党史”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记分，组委会随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下不完整的两幅统计图表．
    征文比赛成绩频数分布表

请根据以上信息，解决下列问题：
请求出，，的值，及补全绩频数分布直方图．
该校共有名学生参加了此次活动，若分以上含分的征文将被评为一等奖，请估计本次征文比赛获一等奖的学生有多少人？

22. 本小题分
    如图，在中，点，分别是，的中点，点是延长线上的一点，且，连接，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求四边形的面积．

23. 本小题分
    甲、乙两个书店举行了购书优惠活动．甲书店：所有书籍按标价折出售；乙书店：所购图书标价总额不超过元的按原价计费，超过元的部分打折．设要购买图书的标价总额为元，实际支付金额为元．
    根据题意，填写下表：

请直接写出在甲，乙书店购书，与的函数解析式；
若只在一家书店购书，请通过计算说明在哪家购买更实惠．

24. 本小题分
    如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连．
    求证：四边形是正方形；
    求的最小值．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线向下平移个单位长度得到直线，与轴交于点，与交于点，连接．
    求直线，的解析式；
    求的面积；
    在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据数轴得：，
可以是．
故选：．
根据数轴上，右边的数总比左边的大得到的取值范围，进而得出答案．
本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
由三角形外角的性质可知：，
，
．
故选：．
由可知，再根据三角形外角的性质可求，再利用平角的性质可求出．
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算和转化．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据整式的加法，乘法，除法，乘方运算法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
由▱中，平分，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【解答】解：在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
排序后处于中间位置的那个数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是；
故选：．
【分析】
本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或最中间两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．  

6.【答案】 

【解析】解：直角三角形的两条直角边分别为和，
斜边长，
斜边上的中线，斜边上的高，
故选：．
根据勾股定理先求出斜边长，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质，以及面积法，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质，以及面积法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设小军骑车的速度为千米小时，则校车的速度为千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
即校车的速度为千米小时，
故选：．
设小军骑车的速度为千米小时，则校车的速度为千米小时，根据时间路程速度结合坐车比骑车少用分钟，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，
由题意得：
是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
，
的周长，
故选：．
根据线段中点的定义可得，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为，可得，从而求出的周长，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在上时，的面积为随的增大而增大，
根据点可以得到，，
到的距离为，
当在上时，不变，
，
，▱的周长为，▱的面积，，
故A，，都不符合题意；
当时，最短，即的最小值为，故C符合题意．
故选：．
根据图象上点的坐标和图象的特点，利用平行四边形的性质可以判断出答案．
本题考查了动点问题的函数图象、平行四边形的性质，解决本题的关键是读懂图与图的对应关系．
 

10.【答案】 

【解析】证明：和都是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
；故正确；
≌，
，
在和中，
，
≌，
，；故正确；
，
而，
，
，
；故正确；
≌，
，
而，
为等边三角形；
，
，
；故正确；
作于，于，如图，

≌，
，
平分，故正确．
正确的有：，共个．
故选：．
根据等边三角形的性质得，，，，则，利用“”可判断≌，则；
由≌得到，然后根据“”判断≌，即可解决问题；
根据三角形内角和定理可得，而，则，然后再利用三角形内角和定理即可得到，即可得到结论；
由≌得到，然后根据“”判断≌，所以；
由≌得到，加上，则根据等边三角形的判定即可得到为等边三角形，得到，所以，于是根据平行线的判定即可得到；
作于，于，如图，由≌得到，于是根据角平分线的判定定理即可得到平分．
本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数绝对值小于时，是负数．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是正确确定的值和的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由于，根据三角形的内角和为即可求出、的度数，利用余角的性质和平角的定义即可求出的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质和平角的定义等知识．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
菱形的面积，
故答案为：．
根据菱形的性质得出，，进而利用含角的直角三角形的性质以及菱形的面积公式解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，且，
，


，
故答案为：．
根据题意可得：，且，从而可得，然后利用绝对值的意义和二次根式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的意义和二次根式的性质是解题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：如图
当，，
则，
底边长为；
如图．
当，时，
则，
，
，
此时底边长为；
如图：
当，时，
则，
，
，
此时底边长为．
故答案为：或或．
根据不同边上的高为分类讨论即可得到本题的答案．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，
解得，
此时，
，
随的增大而减小，
当时，最小值为；
当时，
解得，
此时，
，
随的增大而增大，
综上，当时，最小值为，
故答案为：．
根据新定义内容分情况讨论，然后结合一次函数的增减性求得函数最小值．
本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接、、，如图所示：
四边形是矩形，
，，
，
是线段的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当、、三点共线时，最小，
的最小值是，
故答案为：．
连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当、、三点共线时，最小，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键．
 

19.【答案】解：



，
解不等式组得：，
所以不等式组的整数解是，，，
要使分式有意义，，，，
即不能为，，，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件求出不能为，，，取，把代入化简后的结果，即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解等知识点能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

20.【答案】解：由题意得：米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
米，
答：段的长度为米；

米，米，
由勾股定理得：米
米． 

【解析】设米，则米，在中，由勾股定理得，解得，即可得出结论；
由勾股定理先计算的长，最后由线段的差可得结论．
本题考查了勾股定理的应用和矩形的性质，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

21.【答案】解：样本容量为，
，
，
．
故答案为：，，；
补全征频数分布直方图如下：

人，
答：估计本次征文比赛获一等奖的学生有人． 

【解析】先求出样本总量，再根据频数数据总数频率可得的值，根据各组频数之和等于数据总数可得的值，依据各组所占百分比的和等于即可得到的值；求得各分数段的频数，即可补全征文比赛成绩频数分布直方图；
利用乘以分以上含分的征文的频率即可求解．
本题考查了频数率分布直方图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

22.【答案】证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：由得：，
是的中点，，
，，
，
，
四边形的面积 

【解析】证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形；
由得：，四边形是平行四边形，得其面积，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、四边形的面积等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：根据乙书店：所购图书标价总额不超过元的按原价计费，超过元的部分打折，可得：
购买图书标价总额为元时，实际支付元，
购买图书标价总额为元时，实际支付元，
故答案为：，；
根据题意得：
，
当时，，
当时，，
；
当时，
，
在甲书店购买更实惠，
若，
Ⅰ当时，
解得，
时，在甲书店购买更实惠，
Ⅱ当时，
解得，
时，两家书店购买都一样，
Ⅲ当时，
解得，
时，在乙书店购买更实惠，
综上所述，当时，在甲书店购买更实惠，时，两家书店购买都一样，时，在乙书店购买更实惠．
根据乙书店所购图书标价总额不超过元的按原价计费，超过元的部分打折，可以得到答案；
根据甲书店：所有书籍按标价折出售可得与的函数解析式；分和分别列出函数关系式即可；
分和，结合的结论，分别列出方程，不等式即可解得结论．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
 

24.【答案】证明：如图，作于，于，

，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
解：如图，连接，

正方形和正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
的最小值就是的最小值，
四边形是正方形，且，
，，
，
设，则，
，
当时，有最小值是，即的最小值是． 

【解析】作出辅助线，得到，然后判断，得到≌，则有即可；
根据证明≌得到，由勾股定理得，设，代入并结合配方法可得结论．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等．
 

25.【答案】解：当时，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
将直线向下平移个单位长度，
直线的解析式为；
由可求，，
联立方程组，
解得，
，
，，
过点作交于，
，
∽，
，
，，
，
；
设，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或． 

【解析】求出点坐标，由待定系数法求直线的解析式，再由函数图象平移的性质，求出直线的解析式即可；
过点作交于，由∽，求出，则；
设，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形的对角线时，．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，函数图象平移的性质，分类讨论是解题的关键．