2022-2023学年辽宁省鞍山市岫岩县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省鞍山市岫岩县八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列长度的各组线段可以组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

4. 中华民族拥有五千多年的悠久历史，汉字是承载中华民族悠久历史的重要工具．有的汉字可以看作轴对称图形，下面四个汉字中可以看作轴对称图形的是(    )

A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华

5. 如图，已知，，则图中全等的三角形有(    )

A. 对
B. 对
C. 对
D. 对

6. 如图，中，、分别是、的中点，若的面积是，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，中，，，分别以，为圆心，为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，为内一点，平分，，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，于点，于点，若，，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形的对角线、，下列结论：；垂直平分；四边形的面积；若，，点，分别是，边上的动点，且，则，其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 如图，点，，，在同一条直线上，欲证≌，已知，，还可以添加的条件是______．

12. 一个正多边形的每个内角的度数为，则这个多边形的边数是______ ．
13. 如图，，，，若，则______．

14. 已知与所得乘积的结果中不含和的项，则______．
15. 已知是等腰中一腰上的高，，则顶角度数是______．
16. 在平面直角坐标系中，点，，若是等腰直角三角形，且，当时，点的横坐标的取值范围是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17. ．

四、解答题（本大题共8小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    若一个多边形的内角和比它的外角和的倍多，求这个多边形的边数和对角线的条数．
19. 本小题分
    如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
    求长方形地块的面积；用含，的代数式表示
    当，时，求绿化部分的面积．

20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，，．
    在图中作出关于轴对称的；
    写出点，，的坐标直接写答案；
    在轴上画出点，使最小．

21. 本小题分
    在中，是高，，是角平分线，交于点，，．
    求的大小；
    求证：．

22. 本小题分
    如图，为的高，为上一点，交于点，且有，．
    求证：≌；
    求的度数．

23. 本小题分
    如图所示，等腰直角三角形中，，、分别为、边上的点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点．
    求证：≌；
    判断是什么三角形，并证明你的结论．

24. 本小题分
    如图，，都是等边三角形，，相交于点，点在的内部，连接．
    求证：≌；
    求的度数；
    求证：．

25. 本小题分
    平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，是等腰直角三角形，，，交轴负半轴于点．
    如图，点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标；
    如图，交轴的负半轴于点，连接，交于．
    求证：；
    求证：点是的中点；
    求证：．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不能组成三角形；
B、，能组成三角形；
C、，不能够组成三角形；
D、，不能组成三角形．
故选：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据三角形的外角的性质分别表示出和，计算即可．
【解答】
解：如图：

，
，
，
，，

．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，，选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
即全等三角形有对，
故选：．
先用可得，≌，再用可得≌，由得≌，≌．
本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：、分别是，的中点，
是面积的，是面积的，
的面积．
故选：．
中线把分成面积相等的两个三角形，中线又把分成面积相等的两个三角形，所以的面积是的面积的．
本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟悉三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：在的垂直平分线上，
，
中，，，
的周长为：．
故选：．
由线段垂直平分线的性质，证得，继而可得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
．
平分，
．
在中，，
即，
，
．
故选：．
利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合平分，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，，，
，
≌，
，
，
，
，
故选：．
利用双垂型模型可以证明≌，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差关系可得，，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键发现其中的双垂型模型，利用全等三角形的性质求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，故正确；
，，
垂直平分，故正确；
，
四边形的面积，故错误；
延长到，使，连接，如图所示：

，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
，
，故正确；
故选：．
证明≌，可得，可以判断正确；证明垂直平分，可以判断正确；根据四边形的面积，可以判断错误；延长到，使，连接，由“”可证≌，可得，由线段和差关系可得，故正确，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到≌．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：还可以添加的条件是：，
在与中，
≌．
故答案为：答案不唯一．
根据已知条件知，结合全等三角形的判定定理进行解答．
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
 

12.【答案】 

【解析】设这个正多边形的边数为，根据边形的内角和为得到，然后解方程即可．
解：设这个正多边形的边数为，
，
．
故答案为：．
本题考查了多边形内角与外角：边形的内角和为；边形的外角和为．
 

13.【答案】 

【解析】解：作于，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
作于，根据角平分线的性质得到的长度，再根据平行线的性质得到，然后利用三角形的外角和内角的关系求出，利用角所对的直角边是斜边的一半解题．
本题考查了角平分线的性质和含角的直角三角形，综合性较强，是一道好题．
 

14.【答案】 

【解析】解：

．
积中不含和的项，
．
，．
．
故答案为：．
先计算两个整式的积，根据积中不含和的项得关于、的方程，求出、的值后计算．
本题考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则，理解积中不含和的项是解决本题的关键．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：，是腰上的高，
．
如图，点是顶角顶点时，顶角为，是；
如图，点是底角顶点时，
顶角；
如图，点是顶角顶点时，
顶角，
综上所述，等腰的顶角的度数为或或．
故答案为：或或．
当是锐角时，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点是顶角顶点，点是底角顶点以及点是钝角的顶角顶点种情况求解．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，难点在于要分情况讨论．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，

点，
，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作轴于，由“”可证≌，可得，由可列出关于的不等式，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
； 

【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：设这个多边形的边数为，则内角和为，依题意得：
，
解得，
对角线条数：．
答：这个多边形的边数是，对角线有条． 

【解析】一个多边形的内角和等于外角和的倍多，而任何多边形的外角和是，因而多边形的内角和等于边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从边形一个顶点可以引条对角线．
 

19.【答案】解：平方米，
长方形地块的面积为平方米；
绿化部分的面积为平方米；
当，时，


平方米，
绿化部分的面积为平方米． 

【解析】利用长方形面积公式直接计算即可；
先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解．
本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求；
；；；

如图所示，点即为所求． 

【解析】根据轴对称性质即可在图中作出关于轴对称的；
结合即可写出点，，的坐标；
根据两点之间，线段最短即可在轴上画出点，使最小．
本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
 

21.【答案】解：，，
，
，分别是和平分线，
，，
；
证明：，
，
，
，
． 

【解析】根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质即可得到结论；
根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：为的高，
，
，
在和中，
，
≌．
解：≌，
，
，
，
的度数是． 

【解析】由为的高，得，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌；
由≌，得，而，所以．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
 

23.【答案】证明：等腰直角三角形中，，
，，
在和中，
，
≌，
为等腰三角形；
理由：≌，
，
，
，，

，
，
，
，
，为等腰三角形． 

【解析】首先得出，再利用，得出≌即可；
利用≌，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
，
，

如图，过点作于，于，

≌，
，，
，
，
点到、的距离相等，
平分，
；
证明：在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
结合≌；可得，由三角形内角和可求，由三角形面积公式可求，再根据角平分线的性质即可解决问题；
由“”可证≌，可得，，再由“”可证≌，可得，进而可以解决问题．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，过点作轴于点．

点的坐标是，点的坐标是，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；

证明：如图中，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

如图中，过点作于点，过点作于点．
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同法可证，≌，
，
在和中，
，
≌，
；

设，，，
≌，≌，
，，，
，
≌，
，
，
，，
． 

【解析】如图中，过点作轴于点证明≌，可得，，可得结论；
证明≌，可得结论；
如图中，过点作于点，过点作于点利用三次全等解决问题即可；
设，，，用，，表示出两个三角形的面积，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．