2023-2024学年辽宁省辽阳二中协作校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省辽阳二中协作校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.根据下列表格的对应值：

由此可判断方程必有一个根满足(    )

A.  B.  C.  D.

4.给出下列判断，正确的是(    )

A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．

5.义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.如果是一元二次方程的根，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在菱形中，，若，，，分别是边，，，的中点，连接，，，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形．
甲：如图进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形；
乙：如图进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形．
下列判断正确的是(    )

 

A. 仅甲正确 B. 仅乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误

10.如图，在▱中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于______ ．

12.的两根分别为、，则 ______ ．

13.最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一处小区二手房为例，原价万元，经过连续两次降价，现价为万元，则平均降价率为______ ．

14.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是        ．

15.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为______ ．

16.如图，正方形放在平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，、两点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，点的坐标为已知点、点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度在线段上来回运动点沿方向，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点时，、两点都停止运动在、的运动过程中，存在某个时刻，使得的面积为则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．

18.本小题分
解方程：
；
．

19.本小题分
接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输盒；辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输盒．
求每辆型车和每辆型车一次可以分别运输多少盒疫苗；
计划用两种冷链运输车共辆运输这批疫苗，型车一次需费用元，型车一次需费用元若运输物资不少于盒，且总费用小于元，请求出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？

20.本小题分

某中学计划购买一些文具送给全校学生，为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔四种文具中，你最需要的文具是什么？必选且只选一种”的问题，在全校内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据以上信息回答下列问题：

求在这次调查中，一共抽取的学生数及，的值；
请通过计算补全条形统计图；
若全校有名学生，请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名．

21.本小题分

某居民小区要在一块边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，如图，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．
设，当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
当面积是时，求的长？

22.本小题分
如图，平行四边形的对角线、交于点，为中点，过点作交的延长线于，连接．
求证：≌；
若，当满足什么条件时，四边形为正方形？请说明理由．

23.本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

24.本小题分
已知四边形是正方形，点是射线上的动点与点，不重合，连接，点在射线上与点不重合，且．
如图，当点在上时，猜想线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想；
如图，当点在的延长线上时，中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
当，时，请直接写出的长．
 

25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，▱的边，，，点、分别是边、上的动点，点以每秒个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．
点的坐标为______ ；
连接、交于点，过点作于，当 ______ 时，、、三点在一条直线上；
将沿翻折到的位置，当四边形是菱形时，则 ______ ；
当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．

2.【答案】 

【解析】解：、方程是二元二次方程，不符合题意；
B、当，时，方程是一元一次方程，不符合题意；
C、方程是分式方程，不符合题意；
D、方程是一元二次方程，符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的概念对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：时，，
时，，
时，有，
即方程必有一个解满足，
故选：．
利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．
本题考查了一元二次方程的解．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】
解：、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：这组数据，，，，，，中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为，
中位数为．
故选：．
根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

6.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：连接、交于，
四边形是菱形，
，
点、、、分别是边、、和的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
在菱形中，，
是等边三角形，
，，
，
，
四边形的面积为，
故选：．
连接、交于，根据三角形中位线性质得到，，，，推出四边形是平行四边形，求得，得到四边形是矩形，解直角三角形得到，，于是得到结论．
本题考查的是中点四边形，矩形的判定与性质，菱形的性质，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，如图，
由作法得，平分，即，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
而，
四边形为菱形，
，，
在中，，
．
故选：．
连接，交于点，如图，由作法得，平分，即，证明四边形为菱形得到，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．

9.【答案】 

【解析】解：按照图折叠，可得四边形的四边相等，原四边形是菱形或正方形；
按照图折叠，可得四边形的四个角相等，原四边形是矩形；
故选：．
利用折叠的性质和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案．
本题考查了折叠的性质，菱形、矩形、正方形的判定等，是一道基础题．

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
，，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，进而利用三角形的中位线定理得出，进而利用含角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．

11.【答案】 

【解析】解：的一般形式为，
二次项系数、一次项系数与常数项分别为，，，
，
故答案为：．
先化为一般形式，继而即可求解．一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
本题考查了一元二次方程的定义，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由题意，根据根与系数的关系可得，
，．
又，
．
依据题意，由根与系数的关系得，，，再由进而代入可以得解．
本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键．

13.【答案】 

【解析】解：设平均降价率为，
根据题意，得：，
解得或舍，
即平均降价率为，
故答案为：．
设平均降价率为，根据题意列出方程，解之即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
方程是一元二次方程，
，
的范围是：且，
故答案为：且．
由关于的一元二次方程有有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式，，继而可求得的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得同时考查了一元二次方程的定义．

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
是斜边上的中线，
，
菱形的面积，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．

16.【答案】，， 

【解析】解：设时间为秒，
当时，，，，，，，
，即，解得或，
又，
．
此时，点的坐标为；
当时，，，，，，，
，即，解得或，
又，
．
此时，点的坐标为；
当时，，，，

，即，解得，此时，点的坐标为；
故答案为：，，．
由于点、同时运动，根据它们位置的不同，可分成三种情况进行讨论：，，．
本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及三角形的面积，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系等，可有助于提高解题速度和准确率．

17.【答案】解：

．
且，
符合题意．
当时，原式答案不唯一 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：，
，

解得：，
这里，，，
，
，
解得：，． 

【解析】方程整理后，利用因式分解法求解；
利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

19.【答案】解：设每辆型车和每辆型车一次可以分别运输盒疫苗、盒疫苗，
由题意可得，，
解得，
答：每辆型车和每辆型车一次可以分别运输盒疫苗、盒疫苗；
设型车辆，则型车辆，
由题意可得，，
解得，
为正整数，
，，，
共有三种运输方案，
方案一：型车辆，型车辆，
方案二：型车辆，型车辆，
方案三：型车辆，型车辆，
型车一次需费用元，型车一次需费用元，计划用两种冷链运输车共辆运输这批疫苗，
型车辆数越少，费用越低，
方案一所需费用最少，此时的费用为元，
答：方案一：型车辆，型车辆，方案二：型车辆，型车辆，方案三：型车辆，型车辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是元． 

【解析】根据辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输盒；辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据中的结果和型车一次需费用元，型车一次需费用元．若运输物资不少于盒，且总费用小于元，可以列出相应的不等式组，然后根据辆数为整数和租用型车越少，费用越低，即可得到相应的运输方案和哪种方案所需费用最少，最少费用是多少．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等式关系和等量关系，列出相应的不等式组和方程组．

20.【答案】解：名，，
，
；
答：在这次调查中，一共抽取了名学生，，；
名，补全条形统计图如图所示：

名，
答：估计全校学生中最需要钢笔的学生有名． 

【解析】观察条形统计图和扇形统计图，根据需要直尺的人数占总人数的，列出算式，求出总人数，用需要钢笔的人数除以总人数求出，最后用减去其他文具的百分比即可；
观察图形统计图，用中所求的总人数减去需要其他三种文具的人数，再补全统计图即可；
根据样本反映的情况也是总体的情况，从样本中钢笔所占的百分比乘以，进行计算即可．
本题主要考查了统计的应用，解题关键是能够通过统计图用样本估计总体．

21.【答案】解：设花园的面积为，
由题意得：



，
，
，
当时，，
答：当时，花园的面积最大，最大面积是平方米．
根据题意列方程的，
，
解得，；
米，而墙长，不合实际，
，舍去．
因此的值为，即． 

【解析】设花园的面积为，列出与的函数关系式，然后通过配方进行计算即可解答；
利用长方形的面积列方程解答即可．
本题主要考查了二次函数的应用、配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．

22.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：当满足时，四边形为正方形，理由如下：
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
平行四边形为矩形．
，
，
四边形为平行正方形． 

【解析】由证明≌即可；
先证四边形为平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出平行四边形为矩形．
本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．

23.【答案】解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件售价应定为元． 

【解析】设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24.【答案】解：，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于，

，
，
，，
，
，
又，
≌，
，，
，
；
的结论仍然成立，理由如下：

过点作，交的延长线于，
，
，
，，
，
，
又，
≌，
，，
，
；
当点在线段上时，如图，过点作于，

，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于，

同理可求，
综上所述：的长为或． 

【解析】由“”可证≌，可得，，由等腰直角三角形的性质可求解；
由“”可证≌，可得，，由等腰直角三角形的性质可求解；
分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

25.【答案】     或或 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
；
解：如图所示，


由题意得：，是等腰直角三角形，
，，
在▱中，，，
，
当点、、三点共线时，如图，
，
≌，
，
，
解得：，
当时，、、三点在一条直线上；
解：由及题意可知：，，，
，，
由折叠的性质可知：，，当四边形是菱形时，则需满足，
，
解得：；
；
解：当点运动到的中点时，则有，解得：，
由可知点，，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分：
当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，，
，
当以为对角线时，即，，
，
；
当以为对角线时，即，，，如图所示，过点作于点，
，
，
，

综上所述：当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或．
过点作于点，然后根据题意可得点，进而问题可求解；
由题意得，则有，，当点、、三点共线时，可知≌，然后问题可求解；
由及题意可知：，，，则有，，由折叠的性质可知：，，当四边形是菱形时，则需满足，然后问题可求解；
由题意可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分当为对角线时，当以为对角线时，当以为对角线时，然后分类求解即可．
本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握图形与坐标、平行四边形的性质、菱形的性质及勾股定理是解题的关键．