2.1 圆-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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2.1圆
【推本溯源】
1.在小学的时候我们有接触过圆，可以说一下与圆有关的概念嘛？



2.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做 ，固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 . 以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“ ”
圆的两大要素：确定圆的位置—— ；确定圆的大小—— 。
圆的集合性定义：在平面内，圆是到 的距离等于
的点的集合。
比如：OA=2，O是定点，A是动点，因此点A的轨迹是以O为圆心半径为2的圆。
与三角形的关系：圆上任意两点与圆心构成得到三角形都是 。

3.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
特点
性质及判定
图示
点在圆内



点在圆上



点在圆外




注：“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端；点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上。

4.与圆有关的概念
（1）弦
弦： 叫做弦（如图AB）.
直径： 叫做直径（如图CD）.
弦心距： 叫做弦心距（如图OE）.

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.　　　　　　　
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
（2）弧
弧： 叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆： 叫做半圆（如图弧CD）；
优弧： 叫做优弧（如图弧ADB）；
劣弧： 叫做劣弧（如图弧ACB）.
注：① ；② .
（3）等弧
叫做等弧.
注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等.
（4）同心圆与等圆
叫做同心圆.
能够互相重合的两个圆叫做等圆.因此，半径相等两个圆是等圆。
注： .
（5）圆心角
叫做圆心角（如图∠AOB）.
【解惑】
例1：如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
  
例2：如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（    ）
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定


例3：如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是________．
  
例4：（1）图①中有___________条弧，分别为___________；
（2）写出图②中的一个半圆___________；劣弧：___________；优弧：___________．
例5：下列图形中的角是圆心角的是（      ）
A．   B．  
C． D．  
【摩拳擦掌】
1.（2023·广东肇庆·校考一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．等腰三角形
2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ）

A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（　　）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能
4．（2022秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）已知直径为6，线段的长度为2，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定
5．（2023春·全国·九年级专题练习）已知的半径为1cm，点O与点P之间的距离，则点P在_____．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
6．（2023·上海普陀·统考二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在______．
7．（2022秋·九年级单元测试）已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在________．
8．（2022秋·九年级单元测试）如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于_______．
9．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，线段过圆心O，点A，B，C，D均在上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来．



10．（2022秋·九年级单元测试）在直角坐标平面内， 的半径是5，圆心 的坐标为，试判断点与 的位置关系．




11．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知：如图，、、是的三条半径，，、分别为、的中点．求证：．

【知不足】
1．（2023·广东广州·统考一模）已知的半径为5，当线段时，则点与的位置关系是（    ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　）
A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm
3．（2023·上海长宁·统考二模）如图，已知及其所在平面内的个点．如果半径为，那么到圆心距离为的点可能是（  ）

A．点 B．点 C．点 D．点
4．（2022秋·九年级单元测试）已知点 到 上所有点的距离中，最大距离为 厘米，最小距离为 厘米，那么 的半径长等于________厘米．


5．（2023·湖南永州·校考三模）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为__________．最长距离为__________．
  
6．（2022·广东湛江·一模）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______．
  
7．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，为的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，若，试求的度数．

8．（2023·安徽亳州·统考一模）如图，在中，是边上的中线，，．

（1）当时，________；
（2）当面积最大时，则________．
9．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知、是的两条弦，且，D是延长线上一点，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F．求证：．
  
【一览众山小】
1．（2023秋·九年级单元测试）的半径为3，若点P在内，则的长可能为(   )
A．2 B．3 C．4 D．以上都有可能
2．（2022秋·九年级单元测试）圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ）
A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍
3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（　　）
  
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022春·九年级单元测试）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，是的直径，为的弦，且．若，则的度数为（    ）．  
A． B． C． D．

6．（2022春·九年级单元测试）将一个含有角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则_____度．
  
7．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则_________度．
8．（2023·安徽安庆·校考一模）如图，E是边长为4的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点，连接，，则的最小值是___________．
9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______．
  
10．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且．

(1)若，求的长度；
(2)若半径是5，求正方形的边长．


11．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点D，交于点E、G．

(1)求证：．
(2)若，求的长．
12．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）如图，，，是上的点，且四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中作出的中点．
(2)在图2中作出的中点．
13．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．

(1)求证：；
(2)若，，，求的半径长．


14．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，点D、E在上，，过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．
  
(1)求证：；
(2)若，求的半径长．



15．（2023·江苏·九年级假期作业）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点．

(1)线段与有何关系．说明理由；
(2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．