2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二上学期开学考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由复数的除法运算求解即可.

【详解】由题意得，

所以.

故选：D.

2．已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.

【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增，

所以在上单调递减，.

又因为，

因为，在上单调递减,

所以，

即.

故选：B.

3．若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】A

【分析】先由基本不等式求出的最小值，进而列出关于的一元二次不等式，可求解.

【详解】因为，

由基本不等得

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8

由题可知， 即 ，解得，

故选：A

4．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”

B．四面体为“鳖臑”

C．四棱锥体积的最大值为

D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF

【答案】C

【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵中，，侧棱平面，

A选项，∴，又，且，则平面，

∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；

B选项，由，即，又且，

∴平面，∴，则为直角三角形，

又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；

C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，

，最大值为，故C错误；

D选项，因为，，，所以平面，故D正确；

故选：C

5．在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（    ）

A．等边三角形 B．钝角三角形

C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】由向量共线的坐标运算可得，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得，结合角的范围求得，同理可得，则答案可求．

【详解】向量，共线，，

由正弦定理得：，

，则，

，，，即．

同理可得．

形状为等边三角形．

故选：A．

6．若，，，则事件与的关系是（    ）

A．事件与互斥 B．事件与对立

C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立

【答案】C

【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.

【详解】∵，

∴，

∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.

故选：C

7．新冠肺炎疫情发生以来，医用口罩成为抗疫急需物资．某医用口罩生产厂家生产A、B、C三种不同型号的N95口罩，A、B、C三种型号的口罩产量之比为．为了提高这三种口罩的质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．在样本中B种口罩数量比A种口罩数量多40只，比C种口罩数量多80只，则n=（    ）

A．240 B．280 C．320 D．360

【答案】A

【分析】根据样本中、、三种不同型号的数量关系结合比例，由题意列出方程组求解即可.

【详解】设A，B，C三种口罩数量分别为a，b，c，则，

所以，∴，则，，

∴，

故选A.

8．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.

【详解】由题意得，得，，

所以两个球冠的表面积之和为，

灯笼中间球面的表面积为．

因为上下两个圆柱的侧面积之和为，

所以围成该灯笼所需布料的面积为．

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．圆柱的侧面展开图是矩形

B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面

C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台

D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面

【答案】ABD

【分析】对于A，由圆柱的侧面展开图判断；对于B，由圆绕着它的直径所在的直线旋转判断；对于C，由直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转判断；对于D，由圆柱、圆锥、圆台的特征判断.

【详解】对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A正确；

对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，所以B正确；

对于C，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C错误；

对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D正确．

故选：ABD．

10．函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（   ）

A．图像的一条对称轴可能为直线

B．函数的解折式可以为

C．的图像关于点对称

D．在区间上单调递增

【答案】BC

【分析】先根图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可

【详解】由图象可知，得，

所以，所以，

因为函数图象过点，

所以，所以，

得，

因为，所以，

所以，

对于A，因为，所以不是图象的一条对称轴，所以A错误，

对于B，，所以B正确，

对于C，因为，所以的图象关于点对称，所以C正确，

对于D，由，得，当时，，当时，，可知函数在，上递增，所以函数在上递减，所以D错误，

故选：BC

11．下列命题中是真命题的有（    ）

A．有A，B，C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30

B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同

C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲

D．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为

【答案】BD

【分析】利用分层抽样中样本的抽样比等于各层的抽样比即可判断A，求出这一组数据的平均数、众数、中位数即可判B，计算乙的方差，比较方差大小即可判断C，利用落在区间内的个数除以总的个数计算概率，即可判断D，从而得出正确选项.

【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A 不正确；

对于选项B：数据1，2，3，3，4，5的平均数为，众数和中位数都是，故选项B正确；

对于选项C：乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为

，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C不正确；

对于选项D：样本数据落在区间有120，122，116，120有个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项D正确，

故选：BD

12．如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（    ）

A．

B．EF和BC所成的角是60°

C．直线AC和平面ABE所成的角是30°

D．如果平面平面，那么直线直线.

【答案】BCD

【分析】根据正方体的平面展开图还原正方体，利用正方体的性质，结合异面直线的位置关系，线面位置关系及面面平行的性质依次判断各项正误.

【详解】

如图，把正方体的平面展开图还原成正方体.

在正方体中，可知，

故异面直线与所成的角即为与所成的角为，故A项错误；

同理，与所成的角即为与所成的角为，故B项正确；

在正方体中，，，，，故平面，则点到平面的距离为，

设直线与平面所成的角为，则，故，故C项正确；

在正方体中，，

则平面平面，平面平面于直线，平面平面，故直线直线，故D项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知向量，若，则__________.

【答案】

【分析】由两向量平行得参数的值，再进行数量积运算即可.

【详解】因为，，

所以，

所以，

故答案为：.

14．已知四面体中, ,且,,,则该四面体的外接球的表面积为__________.

【答案】

【分析】根据已知，结合勾股定理，可得，由勾股定理可证明，取的中点，则，即为该四面体的外接球的球心，求出球半径所得，代入球的表面积公式，可得结论.

【详解】

，且，

，

又，

即，取的中点，

根据直角三角形的性质，可得，

即为该四面体的外接球的球心，

则该四面体的外接球的半径，

故该四面体的外接球的表面积，故答案为.

【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.

15．如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦，则异面直线与所成角的余弦值为___________.

【答案】0.25

【分析】分别取SA，BC，OA的中点M,N,P，连接OM，ON，MN，PM，PN，根据O为AB的中点，得到，是异面直线与所成的角（或补角）求解.

【详解】解：如图所示：

分别取SA，BC，OA的中点M,N,P，连接OM，ON，MN，PM，PN，

因为O为AB的中点，则，

所以是异面直线与所成的角（或补角），

因为，所以，

因为圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，

所以，解得，

，

在中，，则，

由余弦定理得，

所以，则，

在中，，，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为，

故答案为：

四、双空题

16．如图所示，已知在长方体中，，则和所成角的大小是___________，和BG所成角的大小是___________.

【答案】     45°     60°

【分析】由于∥，所以为和所成角，然后在直角三角形中求解即可，由于∥，所以为和BG所成角，然后在直角三角形中求解即可.

【详解】因为∥，所以为和所成角，

因为在长方体中，，

所以，

所以在中，，

所以和所成角的大小为，

因为∥，所以为和BG所成角，

所以在中，，

因为为锐角，所以，

所以和BG所成角的大小是，

故答案为：，

五、解答题

17．已知复数，，i为虚数单位．

(1)若，求z的共轭复数；

(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由复数除法运算化简求出，即可得出共轭复数；

（2）先求出，根据象限列出不等式即可求出.

【详解】(1)由，所以；

(2)由题意，复数，，则，    

 ∵复数在复平面上对应的点在第一象限，

∴解得，

∴实数a的取值范围．

18．已知向量，，，．

(1)求；

(2)若，求实数的值．

(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)且

【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；

（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；

（3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．

【详解】(1)因为，，，．

(2)，，

，， 解得．

(3)与的夹角是钝角，，且，

，且，解得且．

19．为了选择奥赛培训对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

(2)从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；

(3)已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；

（2）首先确定第百分位数位于，设其为，由可求得结果；

（3）根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】(1)由频率分布直方图可知平均数.

(2)成绩在的频率为，成绩在的频率为，

第百分位数位于，设其为，

则，解得：，第百分位数为.

(3)第组的人数为：人，可记为；第组的人数为：人，可记为；

则从中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；

其中至少人成绩优秀的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；

至少人成绩优秀的概率.

20．记的内角、、的对边分别为、、，已知___________.

在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.

(1)求的大小；

(2)若的面积为，且，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，由诱导公式以及二倍角的余弦公式可得出关于的二次方程，求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

选②，由正弦定理边角互化结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，进而可求得的周长.

【详解】(1)解：选择①，因为，即，

即，即，

，则，得，即；

选择②，由及正弦定理可得，

即，所以，

因为，即.

(2)解：由的面积，得.

由，得，

得，即，故的周长为.

21．已知函数.

(1)求的最小正周期和对称轴方程；

(2)若函数在存在零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为

(2)

【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；

（2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解.

【详解】(1)解：对于函数

，

所以函数的最小正周期为，

令，解得，

所以函数的对称轴的方程为.

(2)解：因为函数在存在零点，

即方程在上有解，

当时，可得，可得，

所以，解得，

所以实数的取值范围.

22．在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面.

（1）求二面角的余弦值；

（2）线段上是否存在一点，使异面直线和所成角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在点M为线段PC的三等分点满足题意，详见解析

【分析】（1）利用向量法求二面角的余弦值；（2）设，利用向量法得到，解方程即得解.

【详解】设是中点，为正三角形，

则，平面平面，

面，又∵，

，所以为正三角形，，

建立如图所示空间直角坐标系，则，

于是，，

(1)设平面的法向量为，

由得一个法向量为，

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则

由图知为锐角，所以，二面角的余弦值为.

(2) 设，则，

，

所以

解得或，所以存在点M为线段PC的三等分点.

【点睛】本题主要考查空间二面角的求法，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.