黑龙江省齐齐哈尔市讷河市第二中学等3校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

全卷共150分，考试时间120分钟．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

4．作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

第Ⅰ卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知（是虚数单位），的共轭复数为，则的虚部为（    ）

A．2 B． C．1 D．

4．某中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人的比赛成绩依次为：83，85，87，87，88，88，91，93，97（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（    ）

A．87 B．91 C．93 D．95

5．已知等比数列的公比为，则“”是“成等差数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知双曲线的一条渐近线的方向向量为，则此双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

7．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME—7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

8．设，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．

9．一个正四面体形的解子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷解子所得数字是1”，乙表示事件“第二次拋掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛撕解子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次拋掷抯子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（    ）

A．甲发生的概率为 B．乙发生的概率为

C．甲与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

10．已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（    ）

A．在上有两个零点

B．的图象关于点对称

C．在上单调递增

D．将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象

11．已知，直线，直线，则下列说法正确的是（    ）

A．必过定点 B．

c． D．与相交，且它们的交点在圆外

12．如图，已知直线与抛物线交于两点，且于点，点为弦的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．两点的横坐标之积为 B．当点的坐标为时，

C．直线过定点 D．点的轨迹方程为

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．

13．已知直线过抛物线的焦点且与交于两点，线段中点的横坐标为3，则__________．

14．已知向量，则在上的投影向量的坐标为__________．

15．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，平面，点在棱上，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为__________．

16．已知点为圆上一动点，直线分别与圆相切于两点，且直线分别与轴交于两点，则的周长能取得的整数值为__________．（写出1个即可）

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，请从

①；②；③中选择两个作为条件，解决以下问题．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

如图所示，平行六面体中，，．

（1）求直线与夹角的余弦值；

（2）若空间一点满足，求点到直线的距离．

19．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为且不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值．

20．（本小题满分12分）

已知数列的前项之积为，且满足．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若数列的前项和为，求证．

21．（本小题满分12分）

如图，在梯形中，，点在边上，，，以为折痕将翻折到的位置，使得点在平面内的射影恰为线段的中点．

（1）求四棱锥的体积；

（2）若点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

22．（本小题满分12分）

已知点为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点，当点在圆上运动时：

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若直线不与轴垂直，且与曲线交于两点（点均在轴右侧），则在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

高二数学试卷参考答案及评分标准

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．

13．8  14．  15．  16．7、8、9、10、11任意一个数均可

四．解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17．（10分）

解：选择条件①和条件②

（1）设等差数列的公差为

解得：；

（2）设等比数列的公比为，

解得．

设数列的前项和为．

选择条件①和条件③：

（1）设等差数列的公差为

解得：；

（2），设等比数列的公比为．

，解得．

设数列的前项和为．

选择条件②和条件③：

（1）设等比数列的公比为，，解得

设等差数列的公差为，又，故

；

（2）设数列的前项和为，

由（1）可知．

18．（12分）

解：（1）以为基底，因为，

所以，

同理可得，

则，

，

所以．

直线与夹角的余弦值是；

（2）因为，

所以，

所以，

则点到直线的距离．

19．（12分）

解：（1）由题意得，解得，

所以椭圆C的标准方程为：；

（2）设直线的方程为

联立方程得：，

由，得且，

且所以，

弦长

又到直线的距离为，

所以

当且仅当时取等号，所以面积的最大值为2．

20．（12分）

解：（1）由题意知：，

，

数列是公差为3的等差数列；

（2），解得．

，

，

，

又单调递增，的最小值为，

．

21．（12分）

解：（1）取的中点，连接，取的中点，连接．

，

．

由题意知平面

为中点，且，

．

；

（2）延长到点，以为原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，

，且，

四边形为平行四边形，

，

，

．

设

则．

设平面的一个法向量，直线与平面所成的角为．

由得，故可取．

当时，取得最大值．

所以直线与平面所成角的正弦值的最大值．

22．（12分）

解：（1）连结，

线段的垂直平分线与直线交于点，所以，

因为或者，即，

所以，，即，而，

由双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，

且，即，所以，

所以的标准方程为；

（2）假设存在点，设，设直线的方程为，

联立，得，

则，

所以

且，

因为点到直线的距离相等，所以是的平分线，

所以直线与直线的斜率互为相反数，即，

则，

因为，所以，

即，所以，

即．因为，所以，

故轴上存在点可使点到直线的距离相等．