2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期开学考试数学试题含解析

2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.

【详解】依题意，，

所以.

故选：D

2．已知，下列说法不正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．“”是“”的充要条件

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】D

【分析】根据函数的单调性，不等式的性质，以及充要条件的判断，全称量词命题的否定即可判断．

【详解】对A，由，根据函数在上单调递减，所以，A正确；

对B，，B正确；

对C，，C正确；

对D，命题“，”的否定是“，”，D不正确．

故选：D．

3．已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，则由奇函数的性质，求出函数的解析式，

【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.

故选：B

4．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（）（    ）

A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.6天

【答案】D

【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．

【详解】解：把，代入，可得，，

当时，，则，

两边取对数得，解得．

故选：D

5．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数恒等式，运算法则以及对数函数的单调性即可判断．

【详解】因为，，，而，，所以．

故选：B．

6．已知函数在函数的递增区间上也单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】易知的单调递增区间为，则由题意在递增，分与用导数法研究的单调性即可求解

【详解】因为的单调递增区间为，

则由题意在递增，

而，

所以当时，在 恒成立，

在区间单调递增，符合题意；

当时，由，解得

的单调递增区间为，不合题意.

综上，.

故选：B

7．已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法求解，对于B选项，函数有意义，则且且，排除；对于C选项，函数有意义，则，排除；对于D选项，根据时函数值得符号判断即可.

【详解】解： 对于B选项，函数有意义，则，解得且且，故不满足，错误；

对于C选项，函数有意义，则，解得，故不满足，错误；

对于D选项，当时，，故图像不满足，错误.

故根据排除法得与此图像最为符合.

故选：A

8．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．

【答案】B

【解析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．

【详解】，，又，且，

，

当且仅当，解得，时等号成立，

故的最小值为10．

故选：B．

【点睛】本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键.

9．下面关于函数的性质，说法不正确的是（    ）

A．的定义域 B．的值域为

C．点是图像的对称中心 D．在上单调递增

【答案】D

【分析】根据函数的性质分析定义域和值域，根据点在图像上，也在图像上，则函数图像对称中心是判断对称中心，利用导函数的符号判断单调性.

【详解】要使函数有意义，则，即，

所以的定义域，所以A正确;

由得，

因为，所以，

所以的值域为，所以B正确;

设函数图像的对称中心是，

则与表示同一函数，

即与表示同一函数，

解得，所以点是图像的对称中心，所以C正确.

由上述过程知在恒成立，

所以在上单调递减，所以D错误.

故选:D.

10．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数有两个极值点得到关于的方程有两个解，采用分离常数的方法分离出，并采用构造新函数的方法确定出新函数的取值情况，由此分析出的取值情况.

【详解】因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，

所以有两个不同实数根，显然，

所以有两个不同实数根，记，，

当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

又因为时，；当时，；当时，，

所以当有两个不同实数根时 ，

所以，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围，其中涉及到分离参数方法的使用，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较难.

11．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法不正确的是（    ）

A．的周期 B．的最大值为4 C． D．为偶函数

【答案】C

【分析】根据函数的关系式，判断函数的周期性、对称性、奇偶性，利用函数的性质求解函数值.

【详解】解：函数的图象关于直线对称，

函数的图象关于直线对称，

对有，函数的图象关于中心对称，

，即，

又，即，，

，即，，

的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；

当时，，，

当时，，，即，当时，，

又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，

在上的最大值为4，选项B正确；

，选项C错误.

故选：C.

12．已知函数，若的解集中恰有一个整数，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，转化为，令，用导数法作出其图象，的解集中恰有一个整数，再由过定点（0，1）求解.

【详解】，即，即，

因为，所以．

令，则．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

画出的大致图象，如图所示．

当直线与图象相切时，设切点为，

则，解得，故．

当直线过点时，，

故的取值范围为．

【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．

二、填空题

13．幂函数在上增函数，则________.

【答案】3

【分析】根据幂函数的定义和单调性，求得的值.

【详解】由于函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数为，不满足在上递增，故舍去.当时，符合题意.综上所述，的值为.

【点睛】本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性，属于基础题.

14．函数的单调增区间为_________.

【答案】，

【分析】根据导数与单调性的关系，由即可求出单调增区间．

【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数的单调增区间为，．

故答案为：，．

15．设函数，则使得成立的范围是_________.

【答案】

【分析】根据函数为偶函数以及在上递增，原不等式等价于，即可解出不等式．

【详解】因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，

当时，，易知在上递增，

在上递减，所以函数在上递增．

原不等式等价于，所以，解得：．

故答案为：．

16．定义在上的函数满足，且时，，若方程恰有3个根，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据题意可知，函数的图象与函数的图象有3个交点，作出函数和的图象,数形结合即可求出．

【详解】依题可知，函数的图象与函数的图象有3个交点,根据题意,可画出和的图象,

由图可知:解得．

故答案为：．

三、解答题

17．已知函数在处取得极大值1.

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)求过点与曲线相切的直线方程.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据题意可得，即可求出，再根据导数的几何意义即可求出；

（2）设出切点，求出切线，再根据点在切线上求出切点，从而得出切线方程．

【详解】(1)因为，由题意得，即，

所以；，

，，，，

所以函数在处取得极大值，符合题意.又，，

所以函数图象在处的切线方程为，即.

(2)设切点为，，，所以，即切线方程为，又点在切线上，所以，，即，即，解得：，所以切线方程为：．

18．已知函数．

（）求函数的极值点．

（）设函数，其中，求函数在上的最小值．

【答案】（1）是函数的极小值点，极大值点不存在．（2）见解析

【详解】分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值点，（2）先作差函数，求导得，再根据零点 与区间 关系分类讨论 ，结合单调性确定函数最小值取法.                   

详解：解：（）函数的定义域为，，

∴令，得，令，得，

∴函数在单调递减，在单调递增，

∴是函数的极小值点，极大值点不存在．

（）由题意得，

∴，

令得．

①当时，即时，在上单调递增，

∴在上的最小值为；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值为；

③当，即时，在区间上单调递减，

∴在上的最小值为，

综上所述，当时，的最小值为；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为．

点睛：求含参数问题的函数最值，一般利用导数结合参数讨论函数单调性，根据单调性求最值.讨论点一般分为导函数有无零点，导函数零点在不在定义区间，导数零点对单调性的分割.

19．2022年北京与张家口联合承办了第24届冬季奥运会.某校为了调查学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，对高二年级的400名学生进行了问卷调查，得到部分数据如下表：

(1)求表中的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢冰雪运动与性别有关？

(2)学校从喜欢冰雪运动的学生中用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中选取3人进行访谈，记这3人中男生的人数为，求的分布列与数学期望.

附：参考公式及数据，其中.

【答案】(1)，，，可以认为

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由可得,得,由得，根据联列表得，与参考值比较可得答案；

（2）求出的可能取值及对应概率可得答案.

【详解】(1)由可得,

由可得,

由可得,

假设为：喜欢冰雪运动与性别无关,

联列表如下：

，

因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为成立，即认为喜欢冰雪运动与性别无关.

(2)抽取的9人中，男生有（人），女生有（人），

的可能取值为，

，

，

，

，所以的分布列为

.

20．已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令，若，函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)

【分析】（1）当时， ，求出，可得函数的单调区间；

（2）依题意得，，然后求导，得，然后，分情况讨论即可求出实数的取值范围

【详解】（1）函数的定义域为

当时，

令得，解得，

令得，解得，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为

（2），

由得

①当时，，函数在上单调递增，

所以，即，函数在上没有零点.

②当时，时，，时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增

因为，

所以函数在有两个零点只需

解得

综上所述，实数的取值范围为

【点睛】本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题

21．第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分.

(1)已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；

(2)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)见解析，

【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式、互斥事件的概率公式公式进行求解即可；

（2）写出随机变量的所有可能取值，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出各自概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解..

【详解】(1)解：设事件“在比分为8：8的条件下甲以11：9获胜”，

则.

(2)解：随机变量X的所有可能取值为：2，3，4，5，

，，

，，

所以随机变量X的分布列为：

所以.

22．已知．

(1)求证：对于，恒成立；

(2)若对于，有恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】(1)求出函数的导数，令解得，进而得出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即证；

(2)将不等式转化为，令，有对恒成立，构造新函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可.

【详解】(1)由，得，

令，得，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，即恒成立；

(2)，

则，即，

令，则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，即，

所以即对恒成立，

令，则，，

若，，在上单调递增，

所以，故，符合题意；

若，令，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，不符合，

综上，.

即a的取值范围为.