人教版高考数学一轮复习考点规范练42圆的方程含答案

考点规范练42　圆的方程

1.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=5 

B.(x+1)2+(y+1)2=5

C.(x-1)2+y2=5 

D.x2+(y-1)2=5

答案  A

解析  由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径r,

∴,

解得a=1.

∴r=,

∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.

2.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值为(　　)

A.2 B.0或2 C. D.-2

答案  B

解析  圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,

则圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为,

解得a=0或a=2.

3.(2021福建三明模拟)当a取不同的实数时,方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以表示不同的圆,则 (　　)

A.这些圆的圆心都在直线y=x上

B.这些圆的圆心都在直线y=-x上

C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上

D.这些圆的圆心不在同一条直线上

答案  A

解析  由题意,可知圆心坐标为(-a,-a),圆心都在直线y=x上.

4.圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为(　　)

A.(x+3)2+(y+2)2=4 

B.(x+4)2+(y-6)2=4

C.(x-4)2+(y-6)2=4 

D.(x+6)2+(y+4)2=4

答案  C

解析  由圆(x+2)2+(y-12)2=4可得圆心坐标为(-2,12),半径为2,则所求圆的圆心与点(-2,12)关于直线x-y+8=0对称,且半径为2.设所求圆的圆心坐标为(a,b),

则解得

故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4.故选C.

5.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(　　)

A.1+ B.2 

C.1+ D.2+2

答案  A

解析  将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1.故选A.

6.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是(　　)

A.圆M的圆心为(4,-3)

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.圆M的半径为25

D.圆M被y轴截得的弦长为6

答案  ABD

解析  圆M的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=25,圆心坐标为(4,-3),半径为5.

显然选项C不正确.ABD均正确.

7.(2021河北张家口三模)“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的(　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案  B

解析  将x2+y2-2ax-2y+a+1=0化为(x-a)2+(y-1)2=a2-a.

当点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外时,解得a>1.

故“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分条件.

8.已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,则△CMN的面积的最大值为(　　)

A.100 B.25 C.50 D.

答案  D

解析  设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点(4,6),(-2,-2),(5,5)的坐标分别代入可得,解得故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-20=0,即(x-1)2+(y-2)2=25,故△CMN的面积S=·|CM|·|CN|·sin∠MCN≤×5×5=.故选D.

9.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　. 

答案  (x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2

解析  设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.

由题意可知解得故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.

10.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

解(1)设点P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2.∴y2+2=x2+3,即y2-x2=1.

∴圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.

(2)设点P的坐标为(x0,y0),

则,即|x0-y0|=1.

∴y0-x0=±1,即y0=x0±1.

①当y0=x0+1时,由=1,得(x0+1)2-=1.

∴x0=0,y0=1,∴r2=3.

∴圆P的方程为x2+(y-1)2=3.

②当y0=x0-1时,由=1,得(x0-1)2-=1.

∴x0=0,y0=-1,∴r2=3.

∴圆P的方程为x2+(y+1)2=3.

综上所述,圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.