高考数学一轮复习课时分层作业47圆的方程含答案

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1．A [若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝12.]
2．B [圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圆心C(1，－2)，故排除CD ；设要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，代入点(－2，2)，得r2＝25.故选B.]
3．B [若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，
则-12＋32－4a＝10－4a>0，解得a<52.
∵a<3a<52，a<52⇒a<3，
∴甲是乙的必要不充分条件．故选B.]
4．A [设圆心C(x，y)，则x-32+y-42＝1，
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图，
所以|OC|＋1≥|OM|＝32+42＝5，
所以|OC|≥5－1＝4，
当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.]
5．ABD [由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆x-22＋y-12＝1上，如图，
因为yx表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则2k-1k2+1＝1，解得k＝0或k＝43，
所以yx∈0，43，∴yxm＝43，yxm＝0，A，B正确；
x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为OC＋1，
所以x2＋y2最大值为OC+12，又|OC|＝22+12，
所以x2＋y2的最大值为6＋25，C错误；
设x＋y＝a，则直线都与圆有公共点，
所以2+1-a2≤1，解得3－2≤a≤3＋2，故x＋y的最大值为3＋2，D正确．故选ABD.]
6．AB [由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a), 半径为r，则r sin π3＝1，r cs π3＝|a|，解得r＝23，即r2＝43，|a|＝33，即a＝±33，故圆C的方程为x2＋y±332＝43.]
7． (－∞，1)∪(4，＋∞) [根据题意，若方程
x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，
则λ＝0，方程为x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，
即(x＋k)2＋(y＋2)2＝k2－5k＋4，
必有k2－5k＋4>0，解得k<1或k>4，
即k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞)．]
8． x2＋(y－3)2＝3 [6－23，6＋23] [由题意，圆x2＋y2－6y＋5＝0的圆心为C(0，3)，半径R＝2，设圆心到直线l的距离为d，可得|AB|＝2R2-d2，即2＝24-d2，整理得d＝3，即|MC|＝3，所以点M的轨迹为以C(0，3)为圆心，以3为半径的圆，所以点M的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝3.根据向量的运算可得|OA+OB|＝|2OM|＝2|OM|，又|OC|＝3，所以|OC|－3≤|OM|≤|OC|＋3，即3－3≤|OM|≤3＋3，所以6－23≤2|OM|≤6＋23，即|OA+OB|的取值范围为[6－23，6＋23].]
9． 323 [由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，
∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
∴2a+6b＝23(a＋3b)1a+3b
＝231+3ab+3ba+9≥2310+23ab·3ba＝323，
当且仅当3ba＝3ab，即a＝b时取等号．]
10．[解] (1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．
所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在直线CD上得a＋b－3＝0.①
又直径|CD|＝410，
所以|PA|＝210.
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得a=-3，b=6 或a=5， b=-2，
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
11. [解] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则x+32+y2＝2x-32+y2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由题意知直线l2是此圆的切线，
连接CQ，
则|QM|＝CQ2-CM2
＝CQ2-16，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，
又|CQ|＝5+32＝42，
则|QM|的最小值为32-16＝4.
12．B [令y＝0得x2＋4x＋1＝0，设圆与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝1.
所以|AB|＝x1+x22-4x1x2＝23.]
13．ABD [圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8>0，∴此方程两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．]
14．(x－4)2＋(y－5)2＝25 [因为点A、B是y轴正半轴上的两个定点，点C是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理及圆的几何性质可知，当△ABC的外接圆与x轴相切时，∠ACB最大，由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线必过△ABC外接圆的圆心，所以弦AB的中点G的纵坐标，即为△ABC外接圆半径的大小，即r＝5，依题意，可得△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－5)2＝25，a>0，把点A(0，8)代入圆的方程，求得a＝4(负值舍去)，所以△ABC的外接圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25.]
15．[解] 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则AC·BC＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－12.
此时C(0，－1)，AB的中点M-14，0即圆心，
半径r＝|CM|＝174，
故所求圆的方程为x+142＋y2＝1716.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令x2+y2-y=0，x+2y-2=0，
可得x=0，y=1或x=25，y=45，
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和25，45.