2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十九圆的方程

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十九圆的方程，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2，3)，3B．(－2，3)，eq \r(3)
C．(－2，－3)，13D．(2，－3), eq \r(13)
2．[2023·广东广州模拟]设甲：实数a<3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0是圆，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则实数m的取值范围是( )
A．(eq \f(1,2)，＋∞) B．(0，eq \f(1,2))
C．(－2，0) D．(0，2)
4．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D．x2＋y2－4x－6y－4＝0
5．[2023·湖南雅礼中学模拟]在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－y－1＝0相切的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝eq \r(2)D．(x－1)2＋y2＝4
6．[2023·安徽滁州模拟]已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝eq \f(1,4)
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝eq \f(1,4)
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
7．[2023·河北沧州模拟]已知点A为直线2x＋y－10＝0上任意一点，O为坐标原点．则以OA为直径的圆除过定点(0，0)外还过定点( )
A．(10，0) B．(0，10)
C．(2，4) D．(4，2)
8．[2023·山东泰安一中月考]已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l距离的最小值为( )
A．eq \r(2)－1B．eq \r(2)＋1
C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
9．(能力题)已知实数x, y满足方程x2＋y2－4x－5＝0，求eq \r(（x－3）2＋（y－1）2)的最大值( )
A．3＋eq \r(2)B．3－eq \r(2)
C．5D．1
10．(能力题)[2023·河北衡水模拟]在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，|AB|＝2，点C满足AC⊥BC，则点C到点P(eq \r(3)，1)的距离的最大值为( )
A．3B．eq \f(7,2)
C．5D．4
二、多项选择题
11．已知圆M的一般方程为x2＋y2＋6x＋8y＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(3，4)
B．圆M的半径为5
C．点(－6，－8)不在圆M上
D．圆M关于x－y－1＝0对称
12．(能力题)[2023·山东泰安模拟]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是( )
A．eq \f(y,x)的最大值为eq \f(4,3)
B．eq \f(y,x)的最小值为0
C．x2＋y2的最大值为eq \r(5)＋1
D．x＋y的最大值为3＋eq \r(2)
三、填空题
13．圆(x＋2)2＋(y－1)2＝5关于直线x－y＝0对称的圆的方程为________．
14．(能力题)设A是圆(x＋1)2＋y2＝9上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝4，则点P到点Q(5，8)距离的最小值为________．
四、解答题
15．已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线PQ的端点P的坐标是(5，6)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
优生选做题
16．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离之比为eq \r(2)，当△PAB面积最大时，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝( )
A．－8B．－16
C．8D．16
17．已知动点M与两个定点O(0，0)，N(3，0)的距离的比为2.
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)已知A(0，1)，B(0，－1)，求MA2＋MB2的最大值．
课时作业（四十九） 圆的方程
1．解析：由圆x2＋y2－4x＋6y＝0可知D＝－4，E＝6，F＝0，
所以－eq \f(D,2)＝2，－eq \f(E,2)＝－3，eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \f(1,2)eq \r(16＋36)＝eq \r(13)，
所以圆心坐标为（2，－3），半径为eq \r(13).
故选D.
答案：D
2．解析：若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，则（－1）2＋32－4a＝10－4a>0，解得：a∵a<3D⇒/a故选B.
答案：B
3．解析：x2＋y2－x＋y＋m＝0整理为（x－eq \f(1,2)）2＋（y＋eq \f(1,2)）2＝eq \f(1,2)－m，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－m>0,1＋1－1－1＋m>0))，解得：0故选B.
答案：B
4．解析：依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，
由于所求圆过点（1，－1），所以1＋1－4－6＋m＝0，
解得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
故选B.
答案：B
5．解析：由题意可得圆心为点（0，1），半径为r＝eq \f(|0－1－1|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴要求的圆的标准方程为x2＋（y－1）2＝2，
故选A.
答案：A
6．解析：圆C即（x－1）2＋（y－2）2＝2，半径r＝eq \r(2).
因为CA⊥CB，所以AB＝eq \r(2)r＝2，
又P是AB的中点，所以CP＝eq \f(1,2)AB＝1，
所以点P的轨迹方程为（x－1）2＋（y－2）2＝1.
故选B.
答案：B
7．解析：设OB垂直于直线2x＋y－10＝0，垂足为B，则直线OB方程为：y＝eq \f(1,2)x，
由圆的性质可知：以OA为直径的圆恒过点B，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－10＝0,y＝\f(1,2)x))得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝2))，∴以OA为直径的圆恒过定点（4，2）.
故选D.
答案：D
8．解析：易知圆心C（1，1），半径r＝eq \r(2)，
圆心C（1，1）到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝eq \f(|1－1＋4|,\r(2))＝2eq \r(2)>r，
所以圆C与直线l相离，如图所示：
所以圆C上各点到l距离的最小值为d－r＝2eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2).
故选C.
答案：C
9．解析：由x2＋y2－4x－5＝0得（x－2）2＋y2＝9表示圆心为C（2，0），半径r＝3的圆，
eq \r(（x－3）2＋（y－1）2)表示圆C上的点与点B（3，1）的距离，
所以eq \r(（x－3）2＋（y－1）2)的最大值为r＋|BC|＝3＋eq \r(（2－3）2＋（0－1）2)＝3＋eq \r(2).
故选A.
答案：A
10．解析：由题意可知点C在以线段AB为直径的圆上，
设AB的中点坐标为M（a，b），有|OM|＝|AM|＝|BM|＝1，可得a2＋b2＝1，
由|MP|≤|OP|＋1，|OP|＝eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2，
有|CP|≤|MP|＋1≤|OP|＋1＋1＝2＋1＋1＝4.
当且仅当O，M，P三点共线时取等号．
故选D.
答案：D
11．解析：x2＋y2＋6x＋8y＝0可化为：（x＋3）2＋（y＋4）2＝25，
所以圆M的圆心为（－3，－4），半径为5，故A错误、B正确；
因为（－6＋3）2＋（－8＋4）2＝25，所以点（－6，－8）在圆M上，故C错误；
因为圆心为（－3，－4）在直线x－y－1＝0上，所以圆M关于x－y－1＝0对称，故D正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点（x，y）在圆（x－2）2＋（y－1）2＝1上，作其图象如下，
因为eq \f(y,x)表示点（x，y）与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则eq \f(|2k－1|,\r(k2＋1))＝1，解得：k＝0或k＝eq \f(4,3)，
∴eq \f(y,x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))max＝eq \f(4,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))eq \s\d7(min)＝0，A，B正确；
x2＋y2表示圆上的点（x，y）到坐标原点的距离的平方，圆上的点（x，y）到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，
所以x2＋y2最大值为（|OC|＋1）2，又|OC|＝eq \r(22＋12)，
所以x2＋y2的最大值为6＋2eq \r(5)，C错；
因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为（x－2）2＋（y－1）2＝1，
故可设x＝2＋csθ，y＝1＋sinθ，
所以x＋y＝2＋csθ＋1＋sinθ＝3＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
所以当θ＝eq \f(π,4)时，即x＝2＋eq \f(\r(2),2)，y＝1＋eq \f(\r(2),2)时x＋y取得最大值，最大值为3＋eq \r(2)，D对．
故选ABD.
答案：ABD
13．解析：圆（x＋2）2＋（y－1）2＝5的圆心为（－2，1），半径为eq \r(5)，
圆心（－2，1）关于直线x－y＝0对称的点为（1，－2），
所以所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝5.
答案：（x－1）2＋（y＋2）2＝5
14．解析：圆的方程为（x＋1）2＋y2＝9，易知圆心C（－1，0），半径为3.
因为|PA|＝4，所以|PC|2＝|PA|2＋32＝25，|PC|＝5，
故点P的轨迹方程为（x＋1）2＋y2＝25，
点P到点Q（5，8）距离的最小值为eq \r(（5＋1）2＋82)－5＝5.
答案：5
15．解析：（1）线段AB的中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，
直线AB的斜率为eq \f(－2－1,2－1)＝－3，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为eq \f(1,3)，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，y＝eq \f(1,3)x－1.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,3)x－1,x－y＋1＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2，))所以C（－3，－2），
|AC|＝eq \r(42＋32)＝5，
所以圆C的标准方程为（x＋3）2＋（y＋2）2＝25.
（2）设M（x，y），由于M是线段PQ的中点，P（5，6），
所以Q（2x－5，2y－6），
将Q点的坐标代入圆C的方程得（2x－5＋3）2＋（2y－6＋2）2＝52，
整理得M点的轨迹方程为：（x－1）2＋（y－2）2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4).
16．解析：由题意，以AB的中点O为原点，以AB所在直线为x轴，以过O垂直于直线AB的直线为y轴，建立坐标系，
则A（－1，0），B（1，0），设P（x，y），故eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2)，则eq \f(\r(（x＋1）2＋y2),\r(（x－1）2＋y2))＝eq \r(2)，
整理可得：（x－3）2＋y2＝8，即P的轨迹是以C（3，0）为圆心，以r＝2eq \r(2)为半径的圆，如下图：
由A，B，C共线，则当CP⊥AB时，△PAB的面积最大，不妨设P在第一象限，此时Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，2\r(2)))，
可得eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，2\r(2)))，eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－2\r(2)))，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－8－8＝－16.
故选B.
答案：B
17．解析：（1）设点M（x，y），则eq \f(|MO|,|MN|)＝eq \f(\r(x2＋y2),\r(（x－3）2＋y2))＝2，化简得：（x－4）2＋y2＝4.
为以（4，0）为圆心，2为半径的圆．
（2）由题意可得：MA2＋MB2＝x2＋（y－1）2＋x2＋（y＋1）2＝2（x2＋y2）＋2，
又由x2＋y2的几何意义是M（x，y）到原点的距离的平方，可得：
当M坐标为（6，0），MA2＋MB2＝2（x2＋y2）＋2取到最大值74.