2023届高考数学一轮复习作业基本不等式新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业基本不等式新人教B版（答案有详细解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列不等式证明过程正确的是( )
①若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；
②若x＞1，y＞1，则lg x＋lg y≥2eq \r(lg x·lg y)；
③若x＜0，则x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝－4；
④若x＜0，则2x＋2－x＞2eq \r(2x· 2－x)＝2．
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②④
D [①错误，∵a，b不满足同号，故不能用基本不等式；②正确，∵lg x和lg y一定是正实数，故可用基本不等式；③错误，∵x和eq \f(4,x)不是正实数，故不能直接利用基本不等式；④正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞2eq \r(2x·2－x)＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立，故选D．]
2．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则aeq \r(b2＋3)的最大值为( )
A．6 B．8 C．4 D．16
B [∵a2＋b2＝13，∴aeq \r(b2＋3)≤eq \f(a2＋b2＋3,2)＝eq \f(13＋3,2)＝8，
当且仅当a＝eq \r(b2＋3)时等号成立，∴aeq \r(b2＋3)的最大值为8．]
3．(2021·济宁市高三月考)若a>0，b>0,3a＋2b＝6，则eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)的最小值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
C [若a>0，b>0,3a＋2b＝6，
则eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(3,b)))(3a＋2b)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋\f(4b,a)＋\f(9a,b)))≥eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋2\r(\f(4b,a)·\f(9a,b))))＝4，当且仅当3a＝2b＝3时，取等号，则eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)的最小值为4．]
4．已知向量m＝(1，a)，n＝(2b－1,3)(a>0，b>0)，若m·n＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．7 B．eq \f(7,2)＋2eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．4eq \r(3)
B [因为向量m＝(1，a)，n＝(2b－1,3)(a>0，b>0)，
若m·n＝1，则2b－1＋3a＝1，即eq \f(3,2)a＋b＝1，
因此eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋b))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(3a,b)＋eq \f(b,a)＋2≥eq \f(7,2)＋2eq \r(\f(3a,b)·\f(b,a))＝eq \f(7,2)＋2eq \r(3)，
当且仅当eq \f(3a,b)＝eq \f(b,a)，即b＝eq \r(3)a时，等号成立；故选B．]
5．若a＞b＞1，P＝eq \r(lg a·lg b)，Q＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)，R＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，则( )
A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R
C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q
C [∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，
eq \f(1,2)(lg a＋lg b)＞eq \r(lg a·lg b)，
即Q＞P．∵eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，∴lgeq \f(a＋b,2)＞lgeq \r(ab)＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)＝Q，即R＞Q，∴P＜Q＜R．]
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
B [若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是eq \f(800,x)元，仓储费用是eq \f(x,8)元，总的费用是eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)，即x＝80时取等号．]
二、填空题
7．(2021·上饶市高三一模)已知a>0，b>0且a＋3b＝1，则2a＋8b的最小值为________．
2eq \r(2) [由基本不等式可得2a＋8b＝2a＋23b≥2eq \r(2a·23b)＝2eq \r(2a＋3b)＝2eq \r(2)，
当且仅当a＝3b＝eq \f(1,2)时，等号成立，因此，2a＋8b的最小值为2eq \r(2)．]
8．已知关于x的不等式ax2－2x＋3a0，
则1＝eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq \f(8,\r(xy))，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
则x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)
≥10＋2 eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18．
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18．
1．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A．eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4
C [由题意知a＞0，b＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab))＝eq \f(2\r(2),\r(ab))，
当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(2,b)，即b＝2a时等号成立．
∴eq \r(ab)≥eq \f(2\r(2),\r(ab))，即ab≥2eq \r(2)，故选C．]
2．已知x＞1，且x－y＝1，则x＋eq \f(1,y)的最小值是________．
3 [∵x＞1且x－y＝1，∴y＝x－1＞0．
∴x＋eq \f(1,y)＝x＋eq \f(1,x－1)＝(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋1
≥2eq \r(x－1·\f(1,x－1))＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)．∴x＋eq \f(1,y)的最小值为3．]
3．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,75)x2－130x＋4 900，x∈[50，80，,12－\f(x,60)，x∈[80，120].))
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
[解](1)当x∈[50,80)时，y＝eq \f(1,75)(x2－130x＋4 900)＝eq \f(1,75)[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为eq \f(1,75)×675＝9．
当x∈[80,120]时，函数y＝12－eq \f(x,60)单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－eq \f(120,60)＝10．
因为9