2023届高考数学一轮复习作业任意角蝗制及任意角的三角函数北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业任意角蝗制及任意角的三角函数北师大版（答案有详细解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．角－870°的终边所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
C [由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．]
2．若45°角的终边上有一点(a，4－a)，则a＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
A [由题意知eq \f(4－a,a)＝tan 45°＝1，解得a＝2，故选A．]
3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq \r(2)，若α＝eq \f(π,4)，则点P的坐标为( )
A．(1，eq \r(2))B．(eq \r(2)，1)
C．(eq \r(2)，eq \r(2))D．(1，1)
D [设P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,\r(2))＝sin eq \f(π,4)，∴y＝1．
又cs α＝eq \f(x,\r(2))＝cs eq \f(π,4)，
∴x＝1，∴P(1，1)．]
4．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝eq \f(3,5)，则m等于( )
A．－3 B．3 C．eq \f(16,3) D．±3
B [sin θ＝eq \f(m,\r(16＋m2))＝eq \f(3,5)，
且m＞0，解得m＝3．]
5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
C [设扇形的半径为R，
则eq \f(1,2)×4×R2＝2，
∴R＝1，弧长l＝4，
∴扇形的周长为l＋2R＝6．]
6．sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0B．大于0
C．等于0D．不存在
A [∵sin 2＞0，cs 3＜0，tan 4＞0，
∴sin 2·cs 3·tan 4＜0．]
二、填空题
7．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________．
120°或－240° [因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°·k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°．]
8．已知扇形的圆心角为eq \f(π,6)，面积为eq \f(π,3)，则扇形的弧长等于________．
eq \f(π,3) [设扇形半径为r，弧长为l，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))]
9．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
(－2，3] [由cs α≤0，sin α＞0知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上．
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))
解得－2＜a≤3．]
三、解答题
10．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cs θ的值；
(2)试判断cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号．
[解] (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5)；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)．
(2)当a＞0时，sin θ＝eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
cs θ＝－eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)＝cs eq \f(3,5)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＜0；
当a＜0时，sin θ＝－eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
cs θ＝eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))·sin eq \f(4,5)＞0．
综上，当a＞0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为负；当a＜0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为正．
11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，弦长等于9 m的弧田．
(1)计算弧田的实际面积；
(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少m2？(结果保留两位小数)
[解] (1)扇形半径r＝3eq \r(3)，
扇形面积S1＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)π×(3eq \r(3))2＝9π(m2)，
△AOB的面积S△AOB＝eq \f(1,2)r2sin eq \f(2π,3)＝eq \f(27\r(3),4)(m2)，
∴弧田的实际面积S＝S1－S△AOB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9π－\f(27\r(3),4)))(m2)．
(2)圆心O到弦AB的距离|OC|＝eq \f(1,2)r＝eq \f(3,2)eq \r(3)，即矢长为eq \f(3\r(3),2)，按照弧田面积经验公式计算得弧田面积S′＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9×\f(3\r(3),2)＋\f(27,4)))＝eq \f(27,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋\f(1,2)))(m2)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9π－\f(27\r(3),4)))－eq \f(27,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋\f(1,2)))≈1.52(m2)，
∴按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52(m2)．
1．点P的坐标为(2，0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2))B．(－eq \r(3)，1)
C．(－1，eq \r(3))D．(1，－eq \r(3))
B [由题意可知Q(2cs(－2 010°)，2sin(－2 010°))，
因为－2 010°＝－360°×6＋150°，
所以cs(－2 010°)＝cs 150°＝－eq \f(\r(3),2)，
sin(－2 010°)＝sin 150°＝eq \f(1,2)．
所以Q(－eq \r(3)，1)，故选B．]
2．角α的终边在第一象限，则eq \f(sin \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2))))＋eq \f(tan \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan \f(α,2))))的值为( )
A．－1 B．1 C．－1或3 D．1或－3
C [∵角α的终边在第一象限，
∴角eq \f(α,2)的终边在第一象限或第三象限．
∴当角eq \f(α,2)的终边在第一象限时，
eq \f(sin \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2))))＋eq \f(tan \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan \f(α,2))))＝1＋1＋1＝3，
当角eq \f(α,2)的终边在第三象限时，
eq \f(sin \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2))))＋eq \f(tan \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan \f(α,2))))＝－1－1＋1＝－1．故选C．]
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－eq \f(4,5)，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
[解] (1)由题意可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，
根据三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4)．
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝eq \f(π,3)，
故与角α终边相同的角β的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))))．
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，
则S扇形＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)α，
而S△AOB＝eq \f(1,2)×1×1×sin α＝eq \f(1,2)sin α，
故弓形AB的面积
S＝S扇形－S△AOB＝eq \f(1,2)α－eq \f(1,2)sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))．