北师大版高考数学一轮复习第3章第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数课时作业理含解析

任意角和弧度制及任意角的三角函数

授课提示：对应学生用书第299页

[A组　基础保分练]

1．若角α与β的终边关于x轴对称，则有（　　）

A．α＋β＝90°

B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z

C．α＋β＝2k·180°，k∈Z

D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z

解析：因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z．所以α＋β＝2k·180°，k∈Z．

答案：C

2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数是（　　）

A．1　　　　　　　 B．4

C．1或4  D．2或4

解析：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则l＋2r＝6，S＝lr＝2，解得r＝2，l＝2或r＝1，l＝4，故α＝＝1或4．

答案：C

3．已知角α的终边经过点（－4，3），则cos α＝（　　）

A．  B．

C．－  D．－

解析：根据题，cos α＝＝－．

答案：D

4．（2021·芜湖一中月考）设α是第三象限角，且＝－cos，则的终边所在的象限是（　　）

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋（k∈Z），∴kπ＋＜＜kπ＋（k∈Z），又|cos|＝－cos，∴cos≤0，∴2kπ＋＜＜2kπ＋（k∈Z），∴是第二象限角．

答案：B

5．已知角α终边上一点P的坐标是（2sin 2，－2cos 2），则sin α等于（　　）

A．sin 2  B．－sin 2

C．cos 2  D．－cos 2

解析：因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2．

答案：D

6．若一个扇形的面积是2π，半径是2，则这个扇形的圆心角为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的面积S＝lr，其中弧长l＝θr，则S＝θr2，所以θ＝＝＝．

答案：D

7．下列结论中错误的是（　　）

A．若0＜α＜，则sin α＜tan α

B．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角

C．若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sin α＝

D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度

解析：选项A，若0＜α＜，则sin α＜tan α＝，A项正确；选项B，若α是第二象限角，即α∈，k∈Z，则∈，k∈Z，为第一象限或第三象限角，B项正确；选项C，若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sin α＝＝，不一定等于，C项错误；选项D，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为＝1弧度，D项正确．

答案：C

8．已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M（－3，4），则cos2θ－sin2θ＋tan θ的值为（　　）

A．－  B．

C．－  D．

解析：设O为坐标原点，则由已知得|OM|＝5，因而cos θ＝－，sin θ＝，tan θ＝－，则cos2θ－sin2θ＋tan θ＝－－＝－．

答案：A

9．（2021·淮海阶段测试）在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为_________．

解析：设点P的坐标为（x，y），由三角函数定义得∴∴点P的坐标为（－1，）．

答案：（－1，）

10．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝_________．

解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°．

答案：120°或－240°

[B组　能力提升练]

1．（2021·青岛模拟）已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin 215°，cos 215°），则α＝（　　）

A．215°  B．225°

C．235°  D．245°

解析：因为角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin 215°，cos 215°），由三角函数定义得cos α＝sin 215°＝cos 235°，sin α＝cos 215°＝sin 235°，所以α＝235°．

答案：C

2．已知角α＝2kπ－（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为（　　）

A．1  B．－1

C．3  D．－3

解析：由α＝2kπ－（k∈Z）及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．

所以y＝－1＋1－1＝－1．

答案：B

3．（2021·河北唐山第二次模拟）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sin α，3）（sin α≠0），则cos α＝（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2（1－cos2α），解得cos α＝或cos α＝－2（舍去）．

答案：A

4．（2021·宜宾四中期中测试）角θ的终边经过点P（4，y），且sin θ＝－，则tan θ＝（　　）

A．－  B．

C．－  D．

解析：法一：∵sin θ＝－，∴＝－，

∴y＝－3，∴tan θ＝－，故选C．

法二：由P（4，y）得角θ是第一或第四象限角或是终边在x轴的正半轴上的角，∴cos θ＞0．∵sin θ＝－，∴cos θ＝＝，∴tan θ＝＝－．

答案：C

5．（2021·莆田二十四中期中测试）设θ∈R，则“sin θ＝”是“tan θ＝1”的（　　）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：若sin θ＝，则tan θ＝±1；若tan θ＝1，则sin θ＝±，所以“sin θ＝”是“tan θ＝1”的既不充分也不必要条件．

答案：D

6．已知角α的终边经过点P（－x，－6），且cos α＝－，则＋＝_________．

解析：因为角α的终边经过点P（－x，－6），

且cos α＝－，

所以cos α＝＝－，即x＝或x＝－（舍去），

所以P，所以sin α＝－，所以tan α＝＝，则＋＝－＋＝－．

答案：－

7．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且sin α＞0，cos α＜0，则a的取值范围是_________．

解析：因为sin α＞0，cos α＜0，所以α是第二象限角．所以点（3a－9，a＋2）在第二象限，所以解得－2＜a＜3．

答案：（－2，3）

[C组　创新应用练]

1．已知A（xA，yA）是单位圆（圆心在坐标原点O）上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B（xB，yB），则xA－yB的取值范围是（　　）

A．[－2，2]  B．[－，]

C．[－1，1]  D．

解析：设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cos α，yB＝sin（α＋30°），所以xA－yB＝cos α－sin（α＋30°）＝－sin α＋cos α＝sin（α＋150°）∈[－1，1]．

答案：C

2．在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧（如图所示），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P所在的圆弧是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设点P的坐标为（x，y），利用三角函数的定义可得＜x＜y，所以x＜0，y＞0，所以P所在的圆弧是．

答案：C

3．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP（如图），则阴影部分面积S1，S2的大小关系是_________．

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，

则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，

所以S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，

所以S1＝S2恒成立．

答案：S1＝S2