统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练17任意角和蝗制及任意角的三角函数理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练17任意角和蝗制及任意角的三角函数理，共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．若一个扇形的面积是2π，半径是2 eq \r(3)，则这个扇形的圆心角为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,2) D． eq \f(π,3)
2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( )
(参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°)
A．sin 1>sin 2>sin 3
B．sin 2>sin 1>sin 3
C．sin 1>sin 3>sin 2
D．sin 3>sin 2>sin 1
3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则 eq \f(θ,2)是( )
A．第二象限角
B．第一象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第二象限角
4．[2023·上海横峰中学月考]终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边过点P( eq \f(3,5)，－ eq \f(4,5))，则cs α·tan α的值是( )
A.－ eq \f(4,5) B． eq \f(4,5) C．－ eq \f(3,5) D． eq \f(3,5)
7．给出下列各函数值：
①sin (－1 000°)；②cs (－2 200°)；③tan (－10)；④ eq \f(sin \f(7π,10)cs π,tan \f(17π,9))；其中符号为负的有( )
A．① B．② C．③ D．④
8．[2023·湖南岳阳三模]设点A的坐标为(a，b)，O是坐标原点，向量 eq \(OA,\s\up6(→))绕着O点逆时针旋转θ后得到 eq \(OA′,\s\up6(→))，则A′的坐标为( )
A．(a cs θ－b sin θ，a sin θ＋b cs θ)
B．(a cs θ＋b sin θ，b cs θ－a sin θ)
C．(a sin θ＋b cs θ，a cs θ－b sin θ)
D．(b cs θ－a sin θ，b sin θ＋a cs θ)
9．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点A(m， eq \f(\r(15),4))，则cs α的值为( )
A． eq \f(1,4) B．－ eq \f(1,4)
C．－ eq \f(\r(15),4) D．不确定
二、填空题
10．[2023·安徽省皖北协作区联考]折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观．若一把折扇所在扇形的半径为30 cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是________ cm2.
11．已知角α的终边过点P(－3cs θ，4cs θ)，其中θ∈( eq \f(π,2)，π)，则sin α＝________．
[能力提升]
12．[2023·河北高三模拟]已知角α的终边落在直线y＝－ eq \f(2,3)x上，则 eq \f(5cs2α＋sin2α＋2,cs2α)的值为( )
A．－ eq \f(35,9) B．－ eq \f(59,9)
C． eq \f(59,9) D． eq \f(35,9)
13．[2023·景德镇模拟]《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为 eq \f(π,4)米，整个肩宽约为 eq \f(π,8)米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为( )
(参考数据： eq \r(2)≈1.414， eq \r(3)≈1.73)
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
14．[2022·全国甲卷(理)，8]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋ eq \f(CD2,OA).当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝( )
A. eq \f(11－3\r(3),2) B． eq \f(11－4\r(3),2)
C． eq \f(9－3\r(3),2) D． eq \f(9－4\r(3),2)
15．[2023·山东济南二模]济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若∠ACB＝θrad，|AC|＝b，则的长度为( )
A． eq \f(θb,2sin \f(θ,2)) B． eq \f(θb,2cs \f(θ,2))
C． eq \f(θb,sin \f(θ,2)) D． eq \f(2θb,cs \f(θ,2))
16．[2023·浙江绍兴模拟]勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是________．
专练17 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．D 设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S＝ eq \f(1,2) θr2，所以θ＝ eq \f(2S,r2) ＝ eq \f(4π,（2\r(3)）2) ＝ eq \f(π,3) ，故选D.
2．B 因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y＝sin x在0°sin 1>sin 3，故选B.
3．C 由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2kπ＋ eq \f(π,2) <θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋ eq \f(π,4)< eq \f(θ,2)∴ eq \f(θ,2)为第一或第三象限角．
4．B 终边为第一象限的平分线的角的集合是
{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}， ①
终边为第三象限的平分线的角的集合是
{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}， ②
由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．
5．C 设扇形的圆心角为θ，半径为R，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(θR＝6，,\f(1,2)θR2＝6，))得θ＝3.
6．A 由三角函数的定义知cs α＝ eq \f(3,5)，tan α＝ eq \f(－\f(4,5),\f(3,5))＝－ eq \f(4,3)，∴cs αtan α＝ eq \f(3,5)×(－ eq \f(4,3))＝－ eq \f(4,5).
7．C ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角，
∴sin (－1 000°)>0；
又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角，
∴cs (－2 200°)>0；
∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角，
∴tan (－10)<0；
∵sin eq \f(7,10)π>0，cs π＝－1，
eq \f(17,9)π＝2π－ eq \f(π,9)，为第四象限角，
∴tan eq \f(17,9)π<0，∴ eq \f(sin \f(7,10)πcs π,tan \f(17,9)π)>0.
8．A 设点A在角α的终边上，则cs α＝ eq \f(a,\r(a2＋b2))，
sin α＝ eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则xA′＝ eq \r(a2＋b2)cs (α＋θ)＝ eq \r(a2＋b2)(cs αcs θ－sin αsin θ)＝a cs θ－b sin θ，
yA′＝ eq \r(a2＋b2)sin (α＋θ)＝ eq \r(a2＋b2)(sin αcs θ＋cs αsin θ)＝a sin θ＋b cs θ.
9．B 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋（\f(\r(15),4)）2＝1，,m<0，))
得m＝－ eq \f(1,4)，∴cs α＝m＝－ eq \f(1,4).
10．1 080
解析：依题意r＝30 cm， eq \f(l,r)＝2.4，所以l＝2.4r＝72 cm，所以S＝ eq \f(1,2)lr＝ eq \f(1,2)×72×30＝1 080 cm2.
11．－ eq \f(4,5)
解析：∵θ∈( eq \f(π,2)，π)，∴－1∴r＝ eq \r(9cs2θ＋16cs2θ)＝－5csθ，故sin α＝－ eq \f(4,5).
12．C 由角α的终边落在直线y＝－ eq \f(2,3)x上可得，tan α＝－ eq \f(2,3)，
且 eq \f(5cs2α＋sin2α＋2,cs2α)＝ eq \f(7cs2α＋2sinαcs α＋2sin2α,cs2α)＝ eq \f(7＋2tanα＋2tan2α,1)＝ eq \f(59,9).
13．B 由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝ eq \f(π,4)＋ eq \f(π,4)＋ eq \f(π,8)＝ eq \f(5π,8)，R＝1.25＝ eq \f(5,4)，
∴其所对的圆心角α＝ eq \f(l,R)＝ eq \f(\f(5π,8),\f(5,4))＝ eq \f(π,2)，
∴两手之间的距离
d＝ eq \r(R2＋R2)＝ eq \r(2)×1.25≈1.768.
14．B 连接OC，则根据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA＝2，∠AOB＝60°，所以AB＝2，OC＝ eq \f(\r(3),2)×2＝ eq \r(3)，则CD＝2－ eq \r(3)，所以 eq \(AB,\s\up8(︵))的弧长的近似值s＝AB＋ eq \f(CD2,OA)＝2＋ eq \f(（2－\r(3)）2,2)＝ eq \f(11－4\r(3),2).故选B.
15．A 过C作CD⊥AB，设圆弧AC的圆心为O，半径为R，则AO＝CO＝R，
在△ACD中，∠ACD＝ eq \f(θ,2)，所以AD＝AC·sin eq \f(θ,2)＝b sin eq \f(θ,2)，CD＝AC·cs eq \f(θ,2)＝b cs eq \f(θ,2)，
所以在直角三角形CDO中，CD2＋DO2＝CO2，所以(b cs eq \f(θ,2))2＋(R－b sin eq \f(θ,2))2＝R2，所以R＝ eq \f(b,2sin \f(θ,2))，而sin ∠COD＝ eq \f(CD,CO)＝ eq \f(b cs \f(θ,2),\f(b,2sin \f(θ,2)))＝2sin eq \f(θ,2)cs eq \f(θ,2)＝sin θ，
所以∠COD＝θ，所以 eq \(AC,\s\up8(︵))＝θR＝ eq \f(bθ,2sin \f(θ,2)).
16. eq \f(π－\r(3),2)
解析：由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为 eq \f(π,3)和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，
即3× eq \f(1,2)× eq \f(π,3)×12－2× eq \f(1,2)×12×sin eq \f(π,3)＝ eq \f(π－\r(3),2).