2023届高考数学一轮复习作业平行关系北师大版（答案有详细解析）

平行关系

一、选择题

1．若直线l不平行于平面α，且lα，则(　　)

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α与直线l至少有两个公共点

D．α内的直线与l都相交

B　[∵lα，且l与α不平行，∴l∩α＝P，故α内不存在与l平行的直线．故选B．]

2．如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A．异面

B．平行

C．相交

D．以上均有可能

B　[由面面平行的性质可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB，

故DE∥AB．所以选B．]

3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

D　[选项A中，两直线可能平行，相交或异面，故选项A错误；选项B中，两平面可能平行或相交，故选项B错误；选项C中，两平面可能平行或相交，故选项C错误；选项D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确．故选D．]

4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

①　　　②　　　　③　　　　④

A．①③　　B．②③　　C．①④　　D．②④

C　[对于图形①，易得平面MNP与AB所在的对角面平行，所以AB∥平面MNP；对于图形④，易得AB∥PN，又AB平面MNP，PN平面MNP，所以AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．故选C．]

5．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

C　[由AB∥α∥β，易证＝，

即＝，

所以BD＝＝＝．]

6．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　)

A．0条 B．1条

C．2条 D．0条或2条

C　[如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF平面BCD，GH平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF平面EFGH，CD平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C．]

二、填空题

7．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，nγ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ．

可以填入的条件有________．

①和③　[由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，mγ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．]

8．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，

∴AC＝2．

又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，

平面ADC∩平面AB1C＝AC，

∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝．]

9．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为．]

三、解答题

10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点．求证：

(1)MN∥平面ABC；

(2)EF∥平面AA1B1B．

[证明]　(1)∵M、N分别是A1B和A1C的中点．

∴MN∥BC，又BC平面ABC，MN平面ABC，

∴MN∥平面ABC．

(2)如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD．

∵D为A1B1的中点，E为A1C1中点，

∴DE∥B1C1且DE＝B1C1，

在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中点，

∴BF∥B1C1且BF＝B1C1，

∴DE∥BF且DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形，∴EF∥BD，

又BD平面AA1B1B，EF平面AA1B1B，

∴EF∥平面AA1B1B．

11．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点．

(1)若M为BB′的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD；

(2)在(1)的条件下，当正方体的棱长为2时，求三棱锥M­EBF的体积．

[解]　(1)证明：∵在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点，M为BB′的中点，

∴ME∥AB，MF∥B′C′∥BC，

∵ME∩MF＝M，AB∩BC＝B，ME，MF平面MEF，AB，BC平面ABCD，

∴平面EMF∥平面ABCD．

(2)∵E，F分别是AB′，BC′的中点，M为BB′的中点，∴MEAB＝1，MFBC＝1，

BM⊥平面MEF，BM＝1，

∵AB⊥BC，∴EM⊥MF，

∴S△MEF＝×ME×MF＝×1×1＝，

∴三棱锥M­EBF的体积：

VM­EBF＝VB­MEF＝×S△EMF×BM＝××1＝．

1．如图所示，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

C　[由题图，显然①正确，②错误；

对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，

∴A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，FG平面EFGH，

∴A1D1∥平面EFGH(水面)．

∴③正确；

对于④，∵水是定量的(定体积V)，

∴S△BEF·BC＝V，

即BE·BF·BC＝V．

∴BE·BF＝(定值)，

即④正确，故选C．]

2．在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且它们分别是AB，BC，SC，SA的中点，那么四边形DEFH的面积为(　　)

A．18　　B．18　　C．36　　D．36

A　[因为D，E，F，H分别是AB，BC，SC，SA的中点，所以DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD＝SB＝6，DE＝AC＝3．

如图，取AC的中点O，连接OB、SO，

因为SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，

所以AC⊥SO，AC⊥OB，

又SO∩OB＝O，

所以AO⊥平面SOB，

所以AO⊥SB，

则HD⊥DE，即四边形 DEFH是矩形，

所以四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，故选A．]

3．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E、F分别是PA、PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．

[解]　直线l∥平面PAC，证明如下：

因为E、F分别是PA、PC的中点，

所以EF∥AC．

又EF平面ABC，

且AC平面ABC，

所以EF∥平面ABC．

而EF平面BEF，

且平面BEF∩平面ABC＝l，

所以EF∥l．

因为l平面PAC，EF平面PAC，

所以l∥平面PAC．

1．如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件__________时，就有MN∥平面B1BDD1．(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

点M在线段FH上(或点M与点H重合)　[连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，

则MN平面FHN，

∴MN∥平面B1BDD1．]

2．如图，四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD．

(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．

[解]　(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH，

因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，EH＝AB，

又AB∥CD，CD＝AB，

所以EH∥CD，EH＝CD，

因此四边形DCEH为平行四边形，

所以CE∥DH，

又DH平面PAD，CE平面PAD，

因此CE∥平面PAD．

(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，

证明如下：

取AB的中点F，连接CF，EF，

则AF＝AB，因为CD＝AB，

所以AF＝CD，

又AF∥CD，

所以四边形AFCD为平行四边形，

因此CF∥AD．

又AD平面PAD，CF平面PAD，

所以CF∥平面PAD，

由(1)可知CE∥平面PAD，

又CE∩CF＝C，

故平面CEF∥平面PAD，

故存在AB的中点F满足要求．