高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试课后测评

第七章　万有引力与宇宙航行

本章复习提升

易混易错练

易错点1　混淆“r”的含义

1.(2021福建三明一中高一下期中,)某行星沿椭圆轨道绕太阳运动,近日点离太阳距离为a,远日点离太阳距离为b,行星在近日点的速率为va,则行星在远日点的速率为              (　　)

A.vb=va　　　　　　　　B.vb=va

C.vb=va　　　　　　　　D.vb=va

2.()宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,受到彼此的万有引力作用而互相绕转,称为双星系统。双星以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动,不会因万有引力作用而吸在一起(不考虑其他天体对它们的影响)。已知双星的质量分别为m1和m2,相距L,求它们运转的角速度ω。

易错点2　混淆绕地球运动的卫星与随地球自转的物体的受力

3.(2021湖北襄阳五中高一下月考,)(多选)地球同步卫星离地心距离为r,运行速率为v1,加速度为a1;地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R,则下列比值正确的是              (　　)

A.=　　　　　　　　B.=()2

C.=　　　　　　　　D.=

4.(2020天津静海四校高二上联考,)西昌卫星发射中心的火箭发射架上,有一待发射的卫星,它随地球自转的线速度为v1、加速度为a1;发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动,线速度为v2、加速度为a2;实施变轨后,使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动,运动的线速度为v3、加速度为a3。则v1、v2、v3的大小关系和a1、a2、a3的大小关系是              (　　)

A.v3>v2>v1;a3>a2>a1　　　　　　　　B.v2>v3>v1;a2>a3>a1

C.v2>v3>v1;a2<a3<a1　　　　　　　　D.v3>v2>v1;a2>a3>a1

易错点3　混淆稳定运行和变轨运动

5.()2019年春节电影《流浪地球》热播,观众分析《流浪地球》中的发动机推动地球的原理:行星发动机通过逐步改变地球绕太阳运行的轨道,达到极限以后通过引力弹弓效应弹出地球,整个流浪时间长达几十年。具体过程如图所示,轨道1为地球公转的近似圆轨道,轨道2、3为椭圆轨道,P、Q为椭圆轨道3长轴的端点。以下说法正确的是              (　　)

A.地球在1、2、3轨道的运行周期分别为T1、T2、T3,则T1>T2>T3

B.地球在1、2、3轨道运行时经过P点的速度分别为v1、v2、v3,则v1>v2>v3

C.地球在3轨道运行时经过P、Q点的速度分别为vP、vQ,则vP<vQ

D.地球在1轨道P点加速后进入2轨道,在2轨道P点再加速后进入3轨道

易错点4　混淆万有引力与重力

6.(2021东北三省三校联考,)设宇宙中某一小行星自转较快,但仍可近似看作质量分布均匀的球体,半径为R。宇航员在小行星上用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量,第一次在极点处,弹簧测力计的读数为F1=F0;第二次在赤道处,弹簧测力计的读数为F2=。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部,示数为F3;第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中,示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零,则以下判断正确的是              (　　)

A.F3=,F4=　　　　　　　　  B.F3=,F4=0

C.F3=,F4=0　　　　　　　　  D.F3=4F0,F4=

思想方法练

一、填补法

方法概述

有些题目中,所研究的物体被挖去一部分,求解时先填补被挖部分,使物体恢复对称性,从而使题目变得更易理解,这种解题方法叫作填补法。

1.(2021安徽蚌埠二中高一下期中,)如图所示,一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体,且r=,则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小变为              (　　)

A.F　　　　　B.F　　　　　C.F　　　　　D.F

2.()如图所示,将一半径为R、质量为M的均匀大球,沿直径挖去两个半径分别为大球半径一半的小球,并把其中一个放在球外与大球靠在一起,挖去小球的球心、球外小球的球心、大球的球心都在一条直线上,则大球中剩余部分与球外小球间的万有引力大小约为              (　　)

A.0.01　　　　　　　　B.0.02

C.0.05　　　　　　　　D.0.04

二、对称法

方法概述

对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中,一般情况下表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等。利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演算和推导,大大简化解题步骤。

3.()如图所示,三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心, 圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得,环的粗细忽略不计,若甲图中环对球的万有引力大小为F, 则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为              (　　)

A.F,2F　　　　　　　　   B.F,0

C.F,2F　　　　　　　　    D.F,F

三、数理结合法

方法概述

数理结合法指运用数学知识(函数图像、函数表达式),对所研究的物理问题进行定量分析的方法。

4.(2021安徽宿州高三下三模,)2020年12月19日,嫦娥五号采集的质量为1 731克的月壤正式交接,实现了我国首次地外天体样品储存、分析和研究工作。随着科技的进步,世界各航天强国将相继登月,采样回地球。假设月、地间距离不变,若干年后              (　　)

A.月球绕地球运动的周期变大

B.月球绕地球运动的角速度变小

C.月球绕地球运动的线速度变小

D.月球受到地球的引力变小

5.(2021陕西西安中学高三上月考,)在星球M上,将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,其加速度a与弹簧的压缩量x之间的关系如图中实线所示。在另一星球N上,用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体,已知星球M的半径是星球N的3倍,求:

(1)Q和P的质量之比;

(2)星球M和星球N的密度之比。

答案全解全析

易混易错练

1.C　该行星在近日点和远日点附近的运动可认为是圆周运动,设运动半径均为R,则在近日点有=m,在远日点有=m,由两式联立得vb=va,选C。

错解分析

本题易犯的错误在于误将该行星在近日点和远日点做圆周运动的半径认为是a和b,从而错选D。事实上椭圆是对称图形,行星在近日点和远日点的运动半径是相同的。很多学生遇到天体运动问题,就盲目套用公式=,很可能导致出错。错误主要源于对所用公式中各个物理量的具体含义理解不清,其中对不同距离(公式里通常都用r表示)的理解错误最为常见。在天体问题中,常见的距离主要有以下三种:

(1)万有引力公式F万=中的r,指两个质点间的距离;对匀质球体来说,指球心间的距离。

(2)向心力公式F向=中的r,对圆周运动而言,指轨道的半径;对不是标准圆周的运动,则为该处的曲率半径。

(3)星球体积公式V=中的r指星球半径。

要注意的是,在常见习题中,与中r的数值相等,但不能由此就认为两个r的含义相同,应具体问题具体分析。

2.答案　

解析　设质量分别为m1、m2的两星体的运动轨道半径为r1、r2,双星间的万有引力提供它们做圆周运动所需的向心力,有

G=m1r1ω2 ①

G=m2r2ω2 ②

且有r1+r2=L ③

联立①②③三式解得ω=

错解分析

有些同学在解答本题时,混淆万有引力表达式和向心力表达式中两个r的真实含义而出错。实际上,万有引力表达式F万=G中的r表示两个物体之间的距离,向心力表达式F向=m=mω2r中的r表示物体做匀速圆周运动的轨道半径,可见这两个公式中的r的含义是不同的。

3.AD　本题中涉及三个物体,地球同步卫星:轨道半径为r,运行速率为v1,加速度为a1;地球赤道上的物体:运动半径为R,随地球自转的向心加速度为a2;近地卫星:轨道半径为R,运行速率为v2。对于卫星,共同特点是由地球对其的万有引力提供向心力,有G=m,解得v=,故=;对于地球同步卫星和地球赤道上的物体,共同特点是角速度相等,有a=ω2r,故=。选A、D。

错解分析

本题常见出错的原因是没有具体分析赤道上物体的受力情况,而盲目地认为和地球卫星受力情况相同,只受万有引力。卫星在“天上”,万有引力全部提供向心力;而赤道上物体在“地上”,万有引力的一个分力(或者说是万有引力与地面支持力的合力)提供向心力。

4.B　对于近地卫星和地球同步卫星,有G=ma=m,解得a=,v=,可知v2>v3、a2>a3;待发射卫星和地球同步卫星的角速度相等,根据v=ωr可知v3>v1,根据a=ω2r可知a3>a1;综合以上分析可知v2>v3>v1、a2>a3>a1,选项B正确。

错解分析

待发射的卫星不是运行的卫星,是随地球一起转动的物体,其所受的万有引力是大于向心力的,不能用卫星运行规律来分析它的运动特点。此类问题最佳的突破方法是用同步卫星作为纽带,先将同步卫星与其他运行的卫星进行对比,再将同步卫星与随地球一起转动的物体进行对比。

5.D　根据题图结合开普勒第三定律=k可知地球在1、2、3轨道的运行周期关系为T1<T2<T3,选项A错误。地球从轨道1上的P点进入轨道2要做离心运动,需点火加速,可知v1<v2;同理,地球从轨道2上的P点进入轨道3要做离心运动,需点火加速,可知v2<v3;所以有v1<v2<v3,选项B错误,D正确。根据开普勒第二定律可知,地球在近日点的速度比在远日点的速度大,即vP>vQ,选项C错误。

错解分析

卫星或飞船的变轨是在万有引力之外的外力(如阻力、发动机的推力等)作用下,使运行速率发生变化,于是运动轨道发生改变(升高或降低)的过程。这是卫星或飞船的不稳定运行阶段,不能用公式v=分析速度变化和轨道变化的关系。卫星绕天体稳定运行时,由万有引力提供向心力,=m,解得v=,由此可知,轨道半径r越大,卫星的速度越小。当由于某种原因卫星速度v突然改变时,≠m,运行轨道发生变化:若v突然变大,<m,卫星做离心运动;若v突然变小,>m,卫星做近心运动。

6. B　设该行星的质量为M,则质量为m的物体在极点处受到的万有引力为F1==F0。由于在赤道处,弹簧测力计的读数为F2=,则Fn2=F1-F2=F0=mω2R。行星内部半径为部分球体的质量为M'=·M=M,物体在处受到的万有引力F'3==F1=F0,物体需要的向心力Fn3=mω2·=mω2R=F0,所以在赤道平面内深度为的隧道底部,弹簧测力计的示数为F3=F'3-Fn3=F0-F0=F0。第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时,物体受到的万有引力完全提供向心力,所以弹簧测力计的示数为0。综上可知B正确。

错解分析

本题常犯错误的原因是不清楚随行星自转的物体所受万有引力与重力的关系。极点处,物体在行星的自转轴上,此处重力等于万有引力,弹簧测力计的读数为F1=F0=F万;赤道处,万有引力与重力的关系式为G+F向=F万,弹簧测力计的读数等于物体在行星表面所受的重力大小,本题中赤道处万有引力的一半用来提供向心力。同理,可求解在赤道平面内深度为的隧道底部的弹簧测力计的示数F3。

思想方法练

1.C　设原球体的质量为M,质点P的质量为m0,球心与质点P的距离为L。根据m=ρπr3,知挖去部分的小球的质量m=M,未挖时,原球体对质点P的引力F=G,挖去的部分对质点P的引力F'==F,则剩余部分对质点P的引力F″=F-F'=F,选C。

2.D　由题意可得,挖去的小球的半径为、质量为。挖出小球前,大球对球外小球的万有引力为F=G=;将挖出的小球填回原位置,则填入左侧原位置的小球对球外小球的万有引力为F1=G=,填入右侧原位置的小球对球外小球的万有引力为F2=G=,则大球中剩余部分对球外小球的万有引力为F3=F-F1-F2≈0.04,故选D。

方法点津

先把挖去的部分“补”上,得到半径为R的完整球体,再根据万有引力公式,分别计算补回的左、右两个半径为的球体和半径为R的完整球体对球外小球的万有引力F1、F2、F,再利用力的合成与分解规律即可求得结果。

3.B　将甲图圆环看成是三个圆环的组合,关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零,由题知 圆环对球的万有引力大小为F,所以圆环对球的万有引力大小为F;将乙图半圆环看成是两个圆环的组合,根据平行四边形定则,乙图半圆环对球的万有引力大小为F,方向向上;将丙图完整圆环看成是4个圆环的组合,关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零,因此丙图整个圆环对球的引力为0。故选B。

方法点津

分析清甲图圆环的结构特点是本题的突破口。利用对称思想,推断出甲图中左上方圆环对球的万有引力大小为F,再将乙、丙中的圆环看成由几个圆环组成,利用矢量合成及对称法轻松解题。

4.D　月球绕地球运动,地球对月球的万有引力提供向心力,有G=m=mω2r=mr,可得v=,T=2π,ω=,因采样回地球,则地球的质量M变大,而月、地间距离r不变,由T=2π可知月球绕地球运动的周期变小,由ω=可知月球绕地球运动的角速度变大,由v=可知月球绕地球运动的线速度变大,A、B、C错误;月、地间距离r不变,月、地的总质量M0=M+m不变,地球的质量M变大,月球的质量m变小,月球受到地球的引力为F=G,设y=Mm=M(M0-M)=-M2+M0M=-+,因M>m,则M>,故当M增大时,由二次函数的单调性可知y变小,则G变小,D正确。

方法点津

本题中,地球质量M变大,月球质量m变小,不易直接根据公式F=判断地、月间引力大小的变化,利用数理结合,写出M与m乘积的函数表达式,利用表达式判断Mm的变化,则得到月球受到地球的引力大小变化情况。

5.答案　(1)6∶1　(2)1∶1

解析　(1)设星球M和星球N表面的重力加速度分别为gM和gN,P、Q两物体的质量分别为mP和mQ。

由牛顿第二定律可得mg-kx=ma

故加速度a=-+g

由题图可知=,=

解得mQ∶mP=6∶1

(2)由a=-+g结合题图可得gM∶gN=3∶1

在星球表面,有mg=G

可得gR2=GM

又有M=ρπR3

可得ρ=

故ρM∶ρN==1∶1

方法点津

根据题述物理过程,写出a-x函数关系式,根据关系式与a-x图像的对应关系,得出P、Q两物体的质量之比及M、N两星球表面的重力加速度之比,再推导出两星球密度之比。