北师大版七年级上册第五章 一元一次方程综合与测试练习

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第5章 一元一次方程（随堂训练）-北师大七年级上册单元测试题
一．选择题
1 ．下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　）
A．若a＝b，则a+5＝b+5 B．若a＝b，则ac＝bc
C．，则a＝b D．若a＝b，则
2 ．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，设哑巴所带的钱数为x文，则可列方程为（　　）
A．x﹣15＝2（x+25） B．x﹣25＝2（x+15）
C．x+15＝2（x﹣25） D．x+25＝2（x﹣15）
3 ．如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1cm，乙的速度为每秒5cm，已知正方形轨道ABCD的边长为2cm，则乙在第2022次追上甲时的位置（　　）

A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．AD上
4 ．妞妞和馨月都有一个比自己大3岁的姐姐，若妞妞姐姐的年龄是馨月姐姐的3倍，且妞妞的年龄是馨月年龄的m倍，则所有满足要求的正整数m的值的和为（　　）
A．11 B．15 C．20 D．24
5 ．将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（　　）

A．34 B．62 C．118 D．158
6 下列式子中，是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣x＝0 B．3x﹣7＝2x C．x＞2x+6 D．2x+5y＝8
7 某服装店分别用100元的价格卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件这两件服装的盈利情况是（　　）
A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定
8 解方程﹣3时，去分母正确的是（　　）
A．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3 B．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×5
C．5（2x﹣3）＝3×2x﹣3×15 D．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15
9 ．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆游向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（　　）千米．
A．30 B．36 C．44 D．48
10 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5 D．+＝5

二．填空题
11 ．对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号max{a，b}表示a，b两个数中最大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定则方程max{﹣x，0}＝3x+4的解为 　 　．
12 ．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追赶小明，并且在途中追上了他．则爸爸追上小明用了 　 　min．
13 ．某水果店购进1000kg水果，进价为每千克5元，售价为每千克9元，很快所有水果都销售完．
（1）这批水果全部出售后的利润是 　 　元．
（2）老板看到销售情况很好，第二次又以同样的价格购进了该水果1000kg，销售过程中有3%的水果因被损坏而不能出售．按每千克9元售出第二次进货量的一半后，为了尽快售完，水果店准备将余下的水果打折出售，两次获得的总利润为5765元．在余下的水果销售中，打了 　 　折．
14 ．若a+9＝b+8＝c+7，则（a﹣b）2+（b﹣c）2﹣（c﹣a）2＝　 　．
15 ．如图，C为线段AB上一点，AB＝45，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12．其中正确的结论是 　 　．


三．解答题
16 ．受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
17 ．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝　 　；
（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n＝　 　；
（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
18 ．已知数轴上的原点为O，A、B、C三点对应的数分别为﹣16，8和12，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 　 　，线段AC的长为 　 　．
（2）当点P运动到与点A、B距离相等时，求点P表示的数．
（3）当P、Q两点相遇时，求t的值．
（4）当PO+QB＝10时，直接写出t的值．


19 ．“端午临中夏，时清日复长”，临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
（1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
（2）两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
20 ．为了节约水资源，某地区对居民用水实行阶梯水价制度，将居民全年用水量（取整数）划分为三档，标准如表：
阶梯
居民家庭全年用水量
（立方米）
水价
（元/立方米）
其中
水费
（元/立方米）
水资源费
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
第一阶梯
0﹣180（含）
5
2.07
1.57
1.36
第二阶梯
181﹣260（含）
7
4.07
第三阶梯
260以上
9
6.07
如该地某户全年用水量为250立方米．则其应缴全年综合水费（含水费、水资源费、污水处理费）合计为180×5+（250﹣180）×7＝1390（元）．
（1）如该地某户全年用水量为300立方米．则其应缴全年综合水费（含水费、水资源费、污水处理费）合计为多少元？
（2）如该地某户缴纳全年综合水费（含水费、水资源费、污水处理费）1180元，求该户全年用水量是多少立方米？



参考答案与试题解析
一．选择题
1 ．【解答】解：A：若a＝b，两边同时加5得：a+5＝b+5，不符合题意；
B：若a＝b，两边同时乘c得：ac＝bc，不符合题意；
C：∵，
∴c≠0，
∴，不符合题意；
D：若a＝b，方程两边同时除以c（c≠0），得：，
∴D选项需要加c≠0，符合题意；
故选：D．
2 ．【解答】解：设哑巴所带的钱数为x文，则可列方程为x+25＝2（x﹣15）．
故选：D．
3 ．【解答】解：设乙走x秒第一次追上甲，
根据题意，得5x﹣x＝4，
解得x＝1，
∴乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是AB上；
设乙再走y秒第二次追上甲，
根据题意，得5y﹣y＝8，解得y＝2，
∴乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是BC上；
同理：乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是CD上；
同理乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是DA上；
乙在第5次追上甲时的位置又回到AB上；
∴2022÷4＝505......2，
∴乙在第2022次追上甲时的位置是BC上．
故选：B．
4 ．【解答】解：设馨月的年龄是x岁，则妞妞的年龄是mx岁，
根据题意得：mx+3＝3（x+3），
整理得：（m﹣3）x＝6，
则x＝，
∵m、x均为正整数，
∴m﹣3＝1，2，3，6，
∴m＝4，5，6，9，
∴4+5+6+9＝24．
故选：D．
5 ．【解答】解：由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，
则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，
∴T字框内四个数的和为：
2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．
故T字框内四个数的和为：8n+6．
A、由题意，令框住的四个数的和为34，则有：
8n+6＝34，解得n＝3.5．不符合题意．
故框住的四个数的和不能等于34，
故本选项符合题意；
B、由题意，令框住的四个数的和为62，则有：
8n+6＝62，解得n＝7．符合题意．
故本选项不符合题意；
C、由题意，令框住的四个数的和为118，则有：
8n+6＝118，解得n＝14．符合题意．
故本选项不符合题意；
D、由题意，令框住的四个数的和为158，则有：
8n+6＝158，解得n＝19．符合题意．
故本选项不符合题意；
故选：A．
6 【解答】解：A、含未知数的项最高次数为2，故A不符合题意．
B、含有一个未知数且最高次数为1的等式，故B符合题意．
C、该式子不是等式，故C不符合题意．
D、含有两个未知数，故D不符合题意．
故选：B．
7 【解答】解：设这件盈利的服装的进价为x元，这件亏损的服装的进价为y元，
根据题意得（1+20%）x＝100，（1﹣20%）y＝100，
解得x＝，y＝125，
∵+125＞100×2，且+125﹣100×2＝（元），
∴该服装店卖出这两件这两件服装共亏损元，
故选：B．
8 【解答】解：解方程﹣3时，去分母得：3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15．
故选：D．
9 【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，
由题意得：x+2＝2（x﹣2），
解得：x＝6，
则顺流时的速度为8千米/小时，逆流时的速度为4千米/小时，
设乙、丙两地相距y千米，
由题意得：+＝12，
解得：y＝26，
则y+18＝44，
即甲、丙两港间的距离为44千米．
故选：C．
10 【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．

二．填空题
11 ．【解答】解：当﹣x＞0，即x＜0时，﹣x＝3x+4，
∴x＝﹣1；
当﹣x＜0，即x＞0时，0＝3x+4，
∴x＝﹣（不合题意，舍去），
综上所述，x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12 ．【解答】解：设爸爸追上小明用了xmin，
依题意有（180﹣80）x＝80×5，
解得x＝4．
即：爸爸追上小明用了4min长时间．
故答案是：4．
13 ．【解答】解：（1）由题意可得，
这批水果全部出售后的利润是：（9﹣5）×1000
＝4×1000
＝4000（元），
故答案为：4000；
（2）设在余下的水果销售中，打了x折，
由题意可得：（9﹣5）×（1000×）+（9×﹣5）×[1000×（1﹣﹣3%）]+4000＝5765，
解得x＝5，
即在余下的水果销售中，打了5折，
故答案为：5．
14 ．【解答】解：∵a+9＝b+8＝c+7，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴原式＝（﹣1）2+（﹣1）2﹣22＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15 ．【解答】解：设BC＝x，
∴AC＝x+5
∵AC+BC＝AB
∴x+x+5＝45，
解得：x＝30，
∴BC＝30，AC＝15，
∴BC＝2AC，故①成立，
∵AP＝3t，BQ＝1.5t，
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP＝AB﹣AP＝45﹣3t，
∵M是BP的中点
∴MB＝BP＝﹣t
∵QM＝MB+BQ，
∴QM＝，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝3t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝3t﹣45，
∵M是BP的中点，
∴BM＝BP＝t﹣，
∵QM＝BQ﹣BM＝，N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
当t＞30时，
此时点P在Q的右侧，
∴AP＝3t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝3t﹣45，
∵M是BP的中点，
∴BM＝BP＝t﹣，
∴QM＝BQ﹣BM＝，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
综上所述，AB＝4NQ，故②正确，
当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP＝3t，BQ＝1.5t，
∴PB＝AB﹣AP＝45﹣3t，
∴45﹣3t＝t，
∴t＝12，
当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝3t，BQ＝1.5t，
∴PB＝AP﹣AB＝3t﹣45，
∴3t﹣45＝t，
∴t＝20，
当t＞30时，此时点P在Q的右侧，
∴AP＝3t，BQ＝1.5t，
∴PB＝AP﹣AB＝3t﹣45，
∴3t﹣45＝t，
∴t＝20，不符合t＞30，
综上所述，当PB＝BQ时，t＝12或20，故③错误；
故答案为：①②．



三．解答题
16 ．【解答】解：（1）由题意得：24（x+2）＝20（x+3），
解得：x＝3，
答：x的值为3；
（2）从滑雪道A端滑到B端的路程为：24×（3+2）＝120（米），
∵小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，
∴v＝．
17 ．【解答】（1）∵2x+1＝1，
解得x＝0；
把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：
1﹣2（0﹣m）＝3，
∴1+2m＝3，
解得：m＝1；
（2）解方程x2+3x﹣4＝0，
（x﹣1）（x+4）＝0，
解得：x1＝1或x2＝﹣4，
把x1＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：
6×1+2×12﹣3﹣n＝0，
解得：n＝5；
把x2＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：
6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，
解得：n＝5；
故满足条件的n的值为5．
（3）因a为正整数，则a≠0，
又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，
∴，
∵两方程均为立信方程，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴此时a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，
∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，
同理9x﹣3＝kx+14，
∴（9﹣k）x＝17，
显然，此时k≠9，则x＝，
∴9﹣k可取8，﹣810，26，
∴此时x＝17，1，﹣17，﹣1，
∴两方程相同的解为x＝﹣1，此时对应的a＝2，k＝26，
故符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
18 ．【解答】解：（1）|AB|＝|8﹣（﹣16）|＝24，
|AC|＝|12﹣（﹣16）|＝28，
即线段AB的长为 24，线段AC的长为 28；
（2）设点p表示的数为x，则
x﹣（﹣16）＝8﹣x，
解得x＝﹣4，即点p表示的数为﹣4；
（3）由题意得：
2t+t＝28，
解得t＝；
（4）t＝或10．
19 ．【解答】解：（1）设甲组平均每天能加工x袋粽子，乙两组平均每天能加工y袋粽子，
根据题意得：，
解得，
答：甲组平均每天能加工200袋粽子，乙两组平均每天能加工150袋粽子；
（2）设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子，由题意得：
2×（200+150）+（200+100a）（10﹣2﹣a）+150（8﹣2﹣a）＝3200+500，
整理得：2a2﹣9a+10﹣0，
解得：a1＝2，a2＝2.5，
∵甲、乙两组加工的天数均为整数，
∴a＝2，
∴200+100×2＝400（袋）．
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
20 ．【解答】解：（1）180×5+（260﹣180）×7+（300﹣260）×9＝1820（元），
答：应缴全年综合水费（含水费、水资源费、污水处理费）合计为1820元；
（2）180×5＝900（元），180×5+（260﹣180）×7＝1460（元）．
∵900＜1180＜1460，
∴180＜x＜260．
依题意得：900+7（x﹣180）＝1180，
解得：x＝220．
答：该户全年用水量是220立方米．
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