江西省鹰潭市余江区正源学校2021-2022学年七年级上学期第二次月考数学试卷 （含答案）

这是一份江西省鹰潭市余江区正源学校2021-2022学年七年级上学期第二次月考数学试卷 （含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
江西省鹰潭市余江县正源学校2021-2022学年七年级上学期第二次月考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．如图四个图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，△ADE≌△BCF，AD＝10cm，CD＝6cm，则BD的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．不能确定
4．数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，∠1＝∠2，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠BCA＝∠DCA C．AB＝AD D．BC＝DC
6．如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（　　）

A．15° B．20° C．30° D．40°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，这样做的数学道理是　 　．

8．计算：3x•（2x2﹣x）＝　 　．
9．如图，点B，C在直线l上，且BC＝6cm，△ABC的面积为18cm2．若P是直线l上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为 　 　cm．

10．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　 　cm．

11．李华放学回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若李华骑车的速度始终不变，从出发开始计时，李华离家的距离s（m）与时间t（min）的对应关系如图所示，则文具店与李华家的距离为 　 　m．

12．在△ABC中，三个内角的大小之比为3：4：5，点P为△ABC内一点，AP1与AP关于AB对称，AP2与AP关于AC对称，连接P1P2，∠P1AP2的大小为 　 　．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：（﹣）﹣1﹣2+（π﹣3.14）°；
（2）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．

14．（6分）化简求值：（x+2）2﹣（x﹣1）（x+1），其中x＝﹣1．
15．（6分）如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．

16．（6分）请仅用无刻度的直尺完成以下作图：

（1）如图1，点D为△ABC的边AC上一点，点A，C关于BD对称，CE⊥AB于E，请作出BC的一条垂线；
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，点D为边AC上一点，点B，C关于DE对称，请作出BD的一条垂线．

17．（6分）已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小．
（1）求x的取值范围；
（2）当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图所示为一张直角三角形纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它与AE重合，点E为AB的中点，求证：△BDE≌△ADC．

19．（8分）学校团支部书记暑假带领该校部分学生进行“研学”活动，与两家旅行社联系，甲社说：“若团支部书记买全票一张，则学生可享受4折优惠”．乙旅行社说：“包括团支部书记在内都半价优惠”．若全票价是1800元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
20．（8分）如图1，已知∠DAF＝∠B＝90°，DF∥CE，AD＝BC，AB＝CD．

（1）求证：EF＝CD；
（2）如图2，延长FD到M，连接CM，若△CDM与△CEB关于CF对称，∠BEC＝50°，求∠DFC．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝10，（a+b）2＝18，则ab＝　 　．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，长方形ABFD，DA⊥AB，FB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　 　．

22．（9分）（1）探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G，P，H分别在直线AB，CD，EF上，连结PG，PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH；
（2）拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP，∠EHP，∠GPH之间的关系，并说明理由；
（3）应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G，H分别在直线AB，EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG，QH．若∠GQH＝70°，求∠AGQ+∠EHQ的值．

六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，连接CD．

【问题发现】
（1）如图1，若AC＝BC，则△BCD的面积为 　 　；（请用含a的式子表示△BCD的面积；提示：过点D作BC边上的高DE）
【类比探究】
（2）如图2，若AC≠BC，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将△ABC沿AC翻折，得到△ABM，AC≠BC，连接MD．试直接用含a的式子表示△MBD的面积．（不写探究过程）


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．如图四个图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：如图四个图案中，是轴对称图形的有：A．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形内角和定理解决此题．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（50°+80°）＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
3．如图，△ADE≌△BCF，AD＝10cm，CD＝6cm，则BD的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．不能确定
【分析】根据全等三角形的性质得出BC＝AD＝10cm，再求出BD即可．
【解答】解：∵△ADE≌△BCF，AD＝10cm，
∴BC＝AD＝10cm，
∵CD＝6cm，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、BE是△ABC中AC边上的高，符合题意；
B、BE不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
C、BE不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
D、AE是△EAC中AC边上的高，不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
5．如图，∠1＝∠2，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠BCA＝∠DCA C．AB＝AD D．BC＝DC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠1＝∠2，∠B＝∠D，AC＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
B．∠1＝∠2，AC＝AC，∠ACB＝∠ACD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
C．AB＝AD，∠1＝∠2，AC＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
D．BC＝DC，AC＝AC，∠1＝∠2，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
6．如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（　　）

A．15° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE，推出∠B＝∠AED，然后根据三角形的外角的性质求解．
【解答】解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE．
∴∠B＝∠AED，
∵∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
即20°+∠C+∠C＝60°，
∴∠C＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平角的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和是180°．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，这样做的数学道理是　三角形的稳定性　．

【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
【解答】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，两条拉线与地面就构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案是：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
8．计算：3x•（2x2﹣x）＝　6x3﹣3x2　．
【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【解答】解：3x•（2x2﹣x）＝6x3﹣3x2．
故答案为：6x3﹣3x2．
【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
9．如图，点B，C在直线l上，且BC＝6cm，△ABC的面积为18cm2．若P是直线l上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为 　6　cm．

【分析】根据垂线段最短知，当AP⊥BC时，AP的长度最小．从而由三角形的面积公式可求出AP，即三角形ABC的高．
【解答】解：根据垂线段最短知，当AP⊥BC时，AP的长度最小．
此时△ABC的面积为18cm2，
即，可得3AP＝18，
解得：AP＝6（cm）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的面积计算，明确当AP⊥BC时，AP的长度最小是关键．
10．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　20　cm．

【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
11．李华放学回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若李华骑车的速度始终不变，从出发开始计时，李华离家的距离s（m）与时间t（min）的对应关系如图所示，则文具店与李华家的距离为 　900　m．

【分析】先求得李华骑车的速度，然后再求得李华两小时行驶的距离，最后，再用总路程﹣行驶的路程，从而可求得文具店与李华家的距离．
【解答】解：李华骑车的速度为：1500÷（6﹣1）＝300（米/分钟）．
文具店与李华家的距离为：1500﹣300×2＝900（米）．
故答案为：900．
【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据函数图象求得李华骑车的速度是解题的关键．
12．在△ABC中，三个内角的大小之比为3：4：5，点P为△ABC内一点，AP1与AP关于AB对称，AP2与AP关于AC对称，连接P1P2，∠P1AP2的大小为 　90°或180°或120°　．
【分析】利用轴对称的性质分三种情形分别求解即可．
【解答】解：如图，

∵三个内角的大小之比为3：4：5，
∴△ABC的三个内角分别为45°，60°，75°，
当∠CAB＝45°，
∵AP1与AP关于AB对称，AP2与AP关于AC对称，
∴∠CAP＝∠CAP2，∠BAP＝∠BAP1，
∴∠P1AP2＝2∠CAB＝90°，
当∠CAB＝90°时，同法可得∠P1AP2＝180°，
当∠CAB＝75°时，同法可得∠P1AP2＝150°，
综上所述，∠P1AP2为90°或180°或120°．
【点评】本题考查轴对称，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：（﹣）﹣1﹣2+（π﹣3.14）°；
（2）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．

【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算；
（2）根据直角三角形两锐角互余、同角的余角相等证明即可．
【解答】（1）解：原式＝﹣2﹣2+1＝﹣3；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
【点评】本题考查的是实数的运算、直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
14．（6分）化简求值：（x+2）2﹣（x﹣1）（x+1），其中x＝﹣1．
【分析】利用完全平方公式及平方差公式进行运算，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可．
【解答】解：（x+2）2﹣（x﹣1）（x+1）
＝x2+4x+4﹣（x2﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5，
当x＝﹣1时，
原式＝4×（﹣1）+5
＝﹣4+5
＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（6分）如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．

【分析】根据题意得出BC＝EF，即可利用SAS证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
16．（6分）请仅用无刻度的直尺完成以下作图：

（1）如图1，点D为△ABC的边AC上一点，点A，C关于BD对称，CE⊥AB于E，请作出BC的一条垂线；
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，点D为边AC上一点，点B，C关于DE对称，请作出BD的一条垂线．

【分析】（1）根据△ABC的三条高交于一点，解决问题即可．
（2）根据△BCD的三条高交于一点，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，直线AO即为所求；
（2）如图2中，直线CT即为所求．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的高等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．（6分）已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小．
（1）求x的取值范围；
（2）当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长．
【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三条边长x的取值范围；
（2）从求得的自变量的取值范围中找到x的最大值求得周长的最大值即可．
【解答】解：（1）由三角形的三边关系，得2＜x＜18，
∵x为最小，
∴x的取值范围是2＜x≤8；

（2）当x＝8时，三角形的周长最大，
且最大值是8+10+8＝26．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图所示为一张直角三角形纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它与AE重合，点E为AB的中点，求证：△BDE≌△ADC．

【分析】由翻折可得CD＝ED，∠C＝∠AED＝90°＝∠BED，AC＝AE，然后利用SAS即可证明△BDE≌△ADC．
【解答】证明：由翻折可知：CD＝ED，∠C＝∠AED＝90°＝∠BED，AC＝AE，
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC，
在△BDE和△ADC中，

∴△BDE≌△ADC（SAS）．
【点评】本题主要考查的是翻折变换，全等三角形的判定，利用翻折的性质是解题的关键．
19．（8分）学校团支部书记暑假带领该校部分学生进行“研学”活动，与两家旅行社联系，甲社说：“若团支部书记买全票一张，则学生可享受4折优惠”．乙旅行社说：“包括团支部书记在内都半价优惠”．若全票价是1800元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费关系式即可；
（2）利用（1）中所求进而得出两关系式相等时的学生数．
【解答】解：（1）设学生人数为x人，由题意，得
y甲＝0.4×1800x+1800＝720x+1800，
y乙＝0.5×1800x+0.5×1800＝900x+900；
（2）当y甲＝y乙时，
720x+1800＝900x+900，
解得：x＝5，
故当x＝5时，两旅行社一样优惠．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确得出函数关系式是解题关键．
20．（8分）如图1，已知∠DAF＝∠B＝90°，DF∥CE，AD＝BC，AB＝CD．

（1）求证：EF＝CD；
（2）如图2，延长FD到M，连接CM，若△CDM与△CEB关于CF对称，∠BEC＝50°，求∠DFC．

【分析】（1）先由DF∥CE证明∠F＝∠BEC，还有∠DAF＝∠B＝90°，AD＝BC这两个条件，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ADF≌△BCE，得FA＝EB，即可证明EF＝AB＝CD；
（2）连接DE，由△CDM与△CEB关于CF对称得∠MDC＝∠BEC＝50°，CD＝CE，CF垂直平分DE，则∠DCF＝∠DFC＝∠FCE，即可求得∠DFC＝∠MDC＝25°．
【解答】（1）证明：如图1，∵DF∥CE，
∴∠F＝∠BEC，
在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（AAS），
∴FA＝EB，
∴FA+AE＝EB+AE，
∴EF＝AB，
∵AB＝CD，
∴EF＝CD．
（2）解：如图2，连接DE，
∵△CDM与△CEB关于CF对称，
∴∠MDC＝∠BEC＝50°，CD＝CE，
∵CF垂直平分DE，
∴∠DCF＝∠FCE，
∵∠DFC＝∠FCE，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴∠DFC+∠DCF＝∠MDC＝50°，
∴2∠DFC＝50°，
∴∠DFC＝25°．


【点评】此题重点考查全等三角形的判定、轴对称的性质、等腰三角形的“三线合一”性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明补全三角形全等的条件是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝10，（a+b）2＝18，则ab＝　4　．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，长方形ABFD，DA⊥AB，FB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　10　．

【分析】（1）由ab＝可计算此题结果；
（2）由a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可计算此题结果；
（3）设AC＝a，BC＝b，根据ab＝可计算图中阴影部分的面积为﹣﹣＝＝ab＝10．
【解答】解：（1）由题意得，ab＝＝＝4，
故答案为：4；
（2）由a2+b2＝（a+b）2﹣2ab得，
（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255；
（3）设AC＝a，BC＝b，根据ab＝可得，
图中阴影部分的面积为：﹣﹣
＝
＝ab
＝AC•BC
＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据完全平方公式的变形解决相关问题．
22．（9分）（1）探究：如图①，AB∥CD∥EF，点G，P，H分别在直线AB，CD，EF上，连结PG，PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠AGP+∠EHP＝∠GPH；
（2）拓展：将图①的点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，如图②．试探究∠AGP，∠EHP，∠GPH之间的关系，并说明理由；
（3）应用：如图③，AB∥CD∥EF，点G，H分别在直线AB，EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG，QH．若∠GQH＝70°，求∠AGQ+∠EHQ的值．

【分析】（1）由于AB∥CD是条件，因此理由是“已知”，由于∠DPH与∠EHP内错角，因此由CD∥EF推出∠DPH＝∠EHP的理由是“两直线平行，内错角相等”，由∠GPD+∠DPH＝∠GPH得到∠AGP+∠EHP＝∠GPH，是将∠GPD换成∠AGP，将∠DPH换成∠EHP，因此理由是“等量代换”；
（2）拓展：只需运用平行线的性质就可解决问题；
（3）应用：只需运用探究得到的结论就可解决问题．
【解答】【答案】
（1）证明：∵AB∥CD
∴∠AGP＝∠GPD．
∵∵CD∥EF，
∴∠DPH＝∠EHP．
∵∠GPD+∠DPH＝∠GPH，
∴∠AGP+∠EHP＝∠GPH；
（2）解：∠AGP+∠EHP+∠GPH＝360°．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠AGP+∠GPC＝180°．
∵CD∥EF，
∴∠CPH+∠EHP＝180°．
∵∠GPC+∠CPH＝∠GPH，
∴∠AGP+∠GPH+∠EHP＝360°．
（3）解：∠GQH＝70°．
当点Q在GH的左侧时，∠AGQ+∠EHQ＝∠GQH＝70°；
当点Q在GH的右侧时，∠AGQ+∠EHQ+∠GQH＝360°，
∴∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°．
综上所述：∠AGQ+∠EHQ的值为70°或290°．
【点评】本题主要考查的平行线的性质、证明的格式等知识，运用分类讨论的思想是解决应用的关键．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，连接CD．

【问题发现】
（1）如图1，若AC＝BC，则△BCD的面积为 　a2　；（请用含a的式子表示△BCD的面积；提示：过点D作BC边上的高DE）
【类比探究】
（2）如图2，若AC≠BC，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将△ABC沿AC翻折，得到△ABM，AC≠BC，连接MD．试直接用含a的式子表示△MBD的面积．（不写探究过程）

【分析】（1）如图1中，△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝8．进而由三角形的面积公式得出结论．
（2）如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．进而由三角形的面积公式得出结论．
（3）如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF＝BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF＝DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【解答】解：（1）如图1，

如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE，
∴S△BCD＝，
故答案为：．

（2）△BCD的面积为．
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．

∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝DE＝a．
∵S△BCD＝BC•DE，
∴S△BCD＝a2；

（3）如图3，过点D作DE⊥MB的延长线于点E，

∵将△ABC沿AC翻折，得到△ABM，
∴∠AFB＝∠ACM＝90°，BC＝CM＝a．
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠CAB＝∠EBD．
在△ACB和△BED中，
，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC＝DE＝a．
∵S△MBD＝BM•DE，
∴S△BCD＝×2a•a＝a2．
∴△MBD的面积为a2．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．