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2021-2022学年江西省宜春市七年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江西省宜春市七年级（上）期末数学试卷 解析版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．1202B．﹣2021C．D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．2a2+3a3＝5a5
C．7a3﹣3a3＝4a3D．22021﹣22020＝2
3．（3分）如图，上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．67.5°B．70°C．75°D．80°
4．（3分）一个立体图形由若干个完全相同的正方体构成，如图是分别从正面、左面、上面观察这个图形得到的视图．这个立体图形由多少个正方体组成？（ ）
A．8B．9C．10D．无法判断
5．（3分）若方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
6．（3分）将一副三角板如图①的位置摆放，其中30°直角三角板的直角边与等腰直角三角板的斜边重合，30°直角三角板直角顶点与等腰直角三角板的锐角顶点重合（为点O）．现将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，此时∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝ ．
8．（3分）第七次全国人口普查结果公布，宜春市常住人口总数大约为501万人，把数字501万用科学记数法表示为 ．
9．（3分）一个角比它的补角的3倍多40°，则这个角的度数为 ．
10．（3分）七年级部分学生去某处旅游，如果每辆汽车坐30人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐45人，那么空出1辆汽车．若设有x辆汽车，则可列方程为 ．
11．（3分）按一般规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第2021个数是 ．
12．（3分）已知线段AC，点D为AC的中点，B是直线AC上的一点，且BC＝AB，BD＝2cm，则AC＝ ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，若∠DOE＝55°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．
14．（6分）解方程：．
15．（6分）按照下列语句画出图形．
（1）画直线AB；
（2）画射线BD；
（3）连接BC；
（4）反向延长线段CD至E，使DE＝2CD．
16．（6分）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，先化简，再求值：（2a3﹣2b2）﹣3（a3b2+a3）+2（b2+b2a3）．
17．（6分）如图，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，原点为点O．
（1）化简：|a﹣c|+|c﹣b|﹣|b﹣a|．
（2）若B为线段AC的中点，OA＝8，OA＝4OB，求c的值．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）定义新运算“⊕”与“⊗”：a⊕b＝，a⊗b＝．
（1）计算[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）⊗（﹣1）]的值；
（2）若A＝[3b⊕（﹣a）]+[a⊗（2﹣3b）]，B＝[a⊕（﹣3b）]+[（﹣a）⊗（﹣2﹣9b）]，比较A和B的大小．
19．（8分）开学发新书，两摞规格相同的数学新课本如图所示，整齐地叠放在课桌上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：
（1）每本数学新课本的厚度为多少厘米？
（2）当数学新课本数为x（本）时，请直接写出同样叠放在桌面上的一摞数学新课本最上面高出地面的距离（用含x的代数式表示）．
（3）如果有一个班级的学生每人要领取1本数学新课本，全班的数学新课本放在桌面上，班级中的学生领取后，桌上剩余的数学新课本整齐地摆放成一摞，课本最上面高出地面的距离为96.8厘米，你能从中知道该班学生的人数吗？请说出理由．
20．（8分）某商店对A，B两种商品在进价的基础上提高50%作为标价出售．春节期间，该商店对A，B两种商品开展促销活动，活动方案如下：
（1）商品B降价后的售价为 元（用含a的代数式表示）；
（2）不考虑其他成本，在春节期间商店卖出A种商品20件，B种商品10件，获得总利润1000元，试求a的值．
五、（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年江西省宜春市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．1202B．﹣2021C．D．﹣
【分析】绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
【解答】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．
根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．2a2+3a3＝5a5
C．7a3﹣3a3＝4a3D．22021﹣22020＝2
【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可解答．
【解答】解：A.3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B.2a2与3a3不能合并，故B不符合题意；
C.7a3﹣3a3＝4a3，故C符合题意；
D.22021÷22020＝2，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．67.5°B．70°C．75°D．80°
【分析】首先根据题意画出草图，再根据钟表表盘的特征：钟面上每一格30°，进行解答．
【解答】解：如图：
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°＝75°．
故选：C．
4．（3分）一个立体图形由若干个完全相同的正方体构成，如图是分别从正面、左面、上面观察这个图形得到的视图．这个立体图形由多少个正方体组成？（ ）
A．8B．9C．10D．无法判断
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层与第三层正方体的个数，相加即可．
【解答】解：由从上面看到的图形易得最底层有5个正方体，由主视图和左视图可得第二层有3个正方体，第三层有1个正方体，
那么共有5+3+1＝9个正方体组成，
故选：B．
5．（3分）若方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【分析】根据一元一次方程的定义得出|m﹣2|＝1且m﹣1≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m﹣2|＝1且m﹣1≠0，
即m＝3或1且m≠1，
∴m＝3，
故选：C．
6．（3分）将一副三角板如图①的位置摆放，其中30°直角三角板的直角边与等腰直角三角板的斜边重合，30°直角三角板直角顶点与等腰直角三角板的锐角顶点重合（为点O）．现将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，此时∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【分析】由旋转的性质可得∠2+∠1+∠AOC＝90°，即可求解．
【解答】解：如图②，
∵将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，
∴∠2+∠1+∠3＝90°，
∴∠2+25°+（180°﹣45°﹣90°）＝90°，
∴∠2＝25°，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝ 4 ．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得m＝3，n＝1，再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴m+n＝3+1＝4．
故答案为：4．
8．（3分）第七次全国人口普查结果公布，宜春市常住人口总数大约为501万人，把数字501万用科学记数法表示为 5.01×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：501万＝5010000＝5.01×106，
故答案为：5.01×106．
9．（3分）一个角比它的补角的3倍多40°，则这个角的度数为 145° ．
【分析】根据补角的定义解决此题．
【解答】解：设这个角的度数为x．
由题意得，x＝3（180°﹣x）+40°．
∴x＝145°．
故答案为：145°．
10．（3分）七年级部分学生去某处旅游，如果每辆汽车坐30人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐45人，那么空出1辆汽车．若设有x辆汽车，则可列方程为 30x+15＝45（x﹣1） ．
【分析】设一共有汽车x辆，根据两种不同的坐法学生人数不变建立方程．
【解答】解：若设有x辆汽车，则可列方程为30x+15＝45（x﹣1）．
故答案为：30x+15＝45（x﹣1）．
11．（3分）按一般规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第2021个数是 ．
【分析】根据题目中给出的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第2021个数．
【解答】解：∵一列数依次为：，，，，，，…，
∴这列数的分子都是1，而分母与这个数是第几个数有关，当这个数是第奇数个数时，分母就是对应的奇数的平方加1，当这个数是第偶数个数时，分母就是对应的偶数的平方减1，
∴第2021个数为．
故答案为：．
12．（3分）已知线段AC，点D为AC的中点，B是直线AC上的一点，且BC＝AB，BD＝2cm，则AC＝ 8cm或2cm ．
【分析】首先根据题意画出图形，分两种情况：①B在线段AC上，②B在射线AC上，然后利用方程思想设出未知数，表示出BC、AB、AC和BD的长即可解决问题．
【解答】解：如图，当点B在线段AC上时，
设BC＝xcm，则AB＝3xcm，AC＝4xcm，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝2xcm，
∴BD＝xcm，
∵BD＝2cm，
∴x＝2，
∴AC＝8cm；
如图2，当点B在射线AC上时，
设BC＝xcm，则AB＝3xcm，AC＝2xcm，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝xcm，
∴BD＝2xcm，
∵BD＝2cm，
∴2x＝2，
解得：x＝1，
∴AC＝2cm．
综上所述，线段AC的长为8cm或2cm．
故答案为：8cm或2cm．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，若∠DOE＝55°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．
【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则先算乘方再算乘除最后做加减，有括号的先算括号里面的；
（2）设∠BOE＝x°，则∠DOB＝55°﹣x°，利用已知条件和角平分线的定义，用x的代数式分别表示出∠DOB，∠EOC的度数，利用∠AOC＝140°，列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣（2﹣9）××（﹣10）
＝﹣1﹣7××10
＝﹣1﹣10
＝﹣11；
（2）设∠BOE＝x°，则∠DOB＝55°﹣x°，
∵，
∴∠EOC＝2x°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠DOB＝2（55﹣x）°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOE+∠EOC＝140°，
∴2x+x+2（55﹣x）＝140．
解得：x＝30．
∴∠EOC＝2x°＝60°．
14．（6分）解方程：．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，据此求出方程的解即可．
【解答】解：去分母，得：6﹣2（x﹣13）＝3（9﹣3x）+6x，
去括号，得6﹣2x+26＝27﹣9x+6x，
移项，得：﹣2x+9x﹣6x＝27﹣6﹣26，
合并同类项，得：x＝﹣5．
15．（6分）按照下列语句画出图形．
（1）画直线AB；
（2）画射线BD；
（3）连接BC；
（4）反向延长线段CD至E，使DE＝2CD．
【分析】根据几何语言画出对应的几何图形．
【解答】解：（1）如图，直线AB为所作；
（2）如图，射线BD为所作；
（3）如图，BC为所作；
（4）如图，DE为所作．
16．（6分）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，先化简，再求值：（2a3﹣2b2）﹣3（a3b2+a3）+2（b2+b2a3）．
【分析】先根据条件可求出a与b的值，然后根据整式的加减运算法则进行化简，最后将a与b的值代入即可求出答案．
【解答】解：∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2．
原式＝2a3﹣2b2﹣3a3b2﹣3a3+2b2+2a3b2
＝﹣a3﹣a3b2，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝﹣（﹣1）3﹣（﹣1）3×22
＝5．
17．（6分）如图，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，原点为点O．
（1）化简：|a﹣c|+|c﹣b|﹣|b﹣a|．
（2）若B为线段AC的中点，OA＝8，OA＝4OB，求c的值．
【分析】（1）由数轴知，c＜0＜b＜a，所以a﹣c＞0，c﹣b＜0，b﹣a＜0，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数解答即可；
（2）先确定a和b的值，再根据B为线段AC的中点，得AB＝BC，即a﹣b＝b﹣c，代入可得结论．
【解答】解：（1）因为c＜0＜b＜a，
所以a﹣c＞0，c﹣b＜0，b﹣a＜0，
所以|a﹣c|+|c﹣b|﹣|b﹣a|＝a﹣c+（b﹣c）+b﹣a＝a﹣c+b﹣c+b﹣a＝2b﹣2c；
（2）因为OA＝8，OA＝4OB，
所以OB＝2，
所以a＝8，b＝2，
因为B为线段AC的中点，
所以a﹣b＝b﹣c，
即8﹣2＝2﹣c，
所以c＝﹣4．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）定义新运算“⊕”与“⊗”：a⊕b＝，a⊗b＝．
（1）计算[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）⊗（﹣1）]的值；
（2）若A＝[3b⊕（﹣a）]+[a⊗（2﹣3b）]，B＝[a⊕（﹣3b）]+[（﹣a）⊗（﹣2﹣9b）]，比较A和B的大小．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）A和B利用题中的新定义化简，判断即可．
【解答】解：（1）由题意可知：
[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）⊗（﹣1）]
＝﹣
＝+
＝1；
（2）由题意可知：
∵A＝+
＝
＝3b﹣1，
B＝+
＝
＝3b+1，
∴A﹣B＝3b﹣1﹣（3b+1）＝3b﹣1﹣3b﹣1＝﹣2＜0，
则A＜B．
19．（8分）开学发新书，两摞规格相同的数学新课本如图所示，整齐地叠放在课桌上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：
（1）每本数学新课本的厚度为多少厘米？
（2）当数学新课本数为x（本）时，请直接写出同样叠放在桌面上的一摞数学新课本最上面高出地面的距离（用含x的代数式表示）．
（3）如果有一个班级的学生每人要领取1本数学新课本，全班的数学新课本放在桌面上，班级中的学生领取后，桌上剩余的数学新课本整齐地摆放成一摞，课本最上面高出地面的距离为96.8厘米，你能从中知道该班学生的人数吗？请说出理由．
【分析】（1）结合图形列出算式（88.8﹣86.4）÷3，计算即可；
（2）用课桌的高度加上x本新课本的高度即可；
（3）先求出还未领取课本的的学生人数，再乘以3即可．
【解答】解：（1）每本数学新课本的厚度为（88.8﹣86.4）÷3＝0.8（厘米）；
（2）同样叠放在桌面上的一摞数学新课本最上面高出地面的距离为0.8x+（86.4﹣3×0.8）＝84+0.8x；
（3）由题意知，还未领取课本的的学生人数为，
则该班学生人数为16×3＝48（人）．
20．（8分）某商店对A，B两种商品在进价的基础上提高50%作为标价出售．春节期间，该商店对A，B两种商品开展促销活动，活动方案如下：
（1）商品B降价后的售价为 225（1﹣a%） 元（用含a的代数式表示）；
（2）不考虑其他成本，在春节期间商店卖出A种商品20件，B种商品10件，获得总利润1000元，试求a的值．
【分析】（1）根据标价225元，出售价格按标价降低a%，写出降价后的价格；
（2）根据商店卖出A种商品20件，B种商品10件，获得总利润1000元列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）B商品标价是225元，出售价格按标价降低a%，
那么降价后的标价是225（1﹣a%）元，
故答案为：225（1﹣a%）；
（2）设A商品进价为m元，则m（1+50%）＝150．
解得m＝100．
设B商品的进价为n元，则n（1+50%）＝225．
解得n＝150．
由题意得：[150×（1﹣10%）﹣100]×20+[225（1﹣a%）﹣150]×10＝1000．
解得：a＝20，
∴a的值是20．
五、（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案；
（2）根据已知条件∠BOE＝∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，再根据周角的关系可得到∠AOD的等量关系，再根据∠DOF＝∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠AOF可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分三种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，可得出结果，当射线OG在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，③当OG在∠EOF外部且在直线OE上方的时，可得出结果．
【解答】（1）∠AOD+∠BOC＝180°．
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，
同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝3a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB
＝360°﹣90°﹣4a﹣90°
＝180°﹣4a，
∵∠DOF＝∠AOD，
∴∠DOF＝（180°﹣4a）＝135°﹣3a，
∴∠AOF＝∠AOD＝（180°﹣4a）＝45°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+45°﹣a＝135°，
∠EOF的度数为135°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时，
∴∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOF+∠GOE）＝∠EOF＝×135°＝40.5°；
②当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOE﹣∠GOF）
＝∠EOF
＝（∠DOF+∠COD+∠EOC）
＝ （135°﹣3a+90°+3a）
＝67.5°．
③当OG在∠EOF外部且在直线OE上方的时候求得的∠GOE超过180度，不合题意舍去．
综上所述，∠GOF 的度数是40.5°或67.5°．
商品
A
B
标价（元/件）
150
225
春节期间每件商品出售的价格
按标价降价10%
按标价降价a%
商品
A
B
标价（元/件）
150
225
春节期间每件商品出售的价格
按标价降价10%
按标价降价a%
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．1202B．﹣2021C．D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．2a2+3a3＝5a5
C．7a3﹣3a3＝4a3D．22021﹣22020＝2
3．（3分）如图，上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．67.5°B．70°C．75°D．80°
4．（3分）一个立体图形由若干个完全相同的正方体构成，如图是分别从正面、左面、上面观察这个图形得到的视图．这个立体图形由多少个正方体组成？（ ）
A．8B．9C．10D．无法判断
5．（3分）若方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
6．（3分）将一副三角板如图①的位置摆放，其中30°直角三角板的直角边与等腰直角三角板的斜边重合，30°直角三角板直角顶点与等腰直角三角板的锐角顶点重合（为点O）．现将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，此时∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝ ．
8．（3分）第七次全国人口普查结果公布，宜春市常住人口总数大约为501万人，把数字501万用科学记数法表示为 ．
9．（3分）一个角比它的补角的3倍多40°，则这个角的度数为 ．
10．（3分）七年级部分学生去某处旅游，如果每辆汽车坐30人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐45人，那么空出1辆汽车．若设有x辆汽车，则可列方程为 ．
11．（3分）按一般规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第2021个数是 ．
12．（3分）已知线段AC，点D为AC的中点，B是直线AC上的一点，且BC＝AB，BD＝2cm，则AC＝ ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，若∠DOE＝55°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．
14．（6分）解方程：．
15．（6分）按照下列语句画出图形．
（1）画直线AB；
（2）画射线BD；
（3）连接BC；
（4）反向延长线段CD至E，使DE＝2CD．
16．（6分）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，先化简，再求值：（2a3﹣2b2）﹣3（a3b2+a3）+2（b2+b2a3）．
17．（6分）如图，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，原点为点O．
（1）化简：|a﹣c|+|c﹣b|﹣|b﹣a|．
（2）若B为线段AC的中点，OA＝8，OA＝4OB，求c的值．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）定义新运算“⊕”与“⊗”：a⊕b＝，a⊗b＝．
（1）计算[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）⊗（﹣1）]的值；
（2）若A＝[3b⊕（﹣a）]+[a⊗（2﹣3b）]，B＝[a⊕（﹣3b）]+[（﹣a）⊗（﹣2﹣9b）]，比较A和B的大小．
19．（8分）开学发新书，两摞规格相同的数学新课本如图所示，整齐地叠放在课桌上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：
（1）每本数学新课本的厚度为多少厘米？
（2）当数学新课本数为x（本）时，请直接写出同样叠放在桌面上的一摞数学新课本最上面高出地面的距离（用含x的代数式表示）．
（3）如果有一个班级的学生每人要领取1本数学新课本，全班的数学新课本放在桌面上，班级中的学生领取后，桌上剩余的数学新课本整齐地摆放成一摞，课本最上面高出地面的距离为96.8厘米，你能从中知道该班学生的人数吗？请说出理由．
20．（8分）某商店对A，B两种商品在进价的基础上提高50%作为标价出售．春节期间，该商店对A，B两种商品开展促销活动，活动方案如下：
（1）商品B降价后的售价为 元（用含a的代数式表示）；
（2）不考虑其他成本，在春节期间商店卖出A种商品20件，B种商品10件，获得总利润1000元，试求a的值．
五、（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年江西省宜春市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．1202B．﹣2021C．D．﹣
【分析】绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
【解答】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．
根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．2a2+3a3＝5a5
C．7a3﹣3a3＝4a3D．22021﹣22020＝2
【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可解答．
【解答】解：A.3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B.2a2与3a3不能合并，故B不符合题意；
C.7a3﹣3a3＝4a3，故C符合题意；
D.22021÷22020＝2，故D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．67.5°B．70°C．75°D．80°
【分析】首先根据题意画出草图，再根据钟表表盘的特征：钟面上每一格30°，进行解答．
【解答】解：如图：
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°＝75°．
故选：C．
4．（3分）一个立体图形由若干个完全相同的正方体构成，如图是分别从正面、左面、上面观察这个图形得到的视图．这个立体图形由多少个正方体组成？（ ）
A．8B．9C．10D．无法判断
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层与第三层正方体的个数，相加即可．
【解答】解：由从上面看到的图形易得最底层有5个正方体，由主视图和左视图可得第二层有3个正方体，第三层有1个正方体，
那么共有5+3+1＝9个正方体组成，
故选：B．
5．（3分）若方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【分析】根据一元一次方程的定义得出|m﹣2|＝1且m﹣1≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m﹣2|＝1且m﹣1≠0，
即m＝3或1且m≠1，
∴m＝3，
故选：C．
6．（3分）将一副三角板如图①的位置摆放，其中30°直角三角板的直角边与等腰直角三角板的斜边重合，30°直角三角板直角顶点与等腰直角三角板的锐角顶点重合（为点O）．现将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，此时∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【分析】由旋转的性质可得∠2+∠1+∠AOC＝90°，即可求解．
【解答】解：如图②，
∵将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，
∴∠2+∠1+∠3＝90°，
∴∠2+25°+（180°﹣45°﹣90°）＝90°，
∴∠2＝25°，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝ 4 ．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得m＝3，n＝1，再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴m+n＝3+1＝4．
故答案为：4．
8．（3分）第七次全国人口普查结果公布，宜春市常住人口总数大约为501万人，把数字501万用科学记数法表示为 5.01×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：501万＝5010000＝5.01×106，
故答案为：5.01×106．
9．（3分）一个角比它的补角的3倍多40°，则这个角的度数为 145° ．
【分析】根据补角的定义解决此题．
【解答】解：设这个角的度数为x．
由题意得，x＝3（180°﹣x）+40°．
∴x＝145°．
故答案为：145°．
10．（3分）七年级部分学生去某处旅游，如果每辆汽车坐30人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐45人，那么空出1辆汽车．若设有x辆汽车，则可列方程为 30x+15＝45（x﹣1） ．
【分析】设一共有汽车x辆，根据两种不同的坐法学生人数不变建立方程．
【解答】解：若设有x辆汽车，则可列方程为30x+15＝45（x﹣1）．
故答案为：30x+15＝45（x﹣1）．
11．（3分）按一般规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第2021个数是 ．
【分析】根据题目中给出的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第2021个数．
【解答】解：∵一列数依次为：，，，，，，…，
∴这列数的分子都是1，而分母与这个数是第几个数有关，当这个数是第奇数个数时，分母就是对应的奇数的平方加1，当这个数是第偶数个数时，分母就是对应的偶数的平方减1，
∴第2021个数为．
故答案为：．
12．（3分）已知线段AC，点D为AC的中点，B是直线AC上的一点，且BC＝AB，BD＝2cm，则AC＝ 8cm或2cm ．
【分析】首先根据题意画出图形，分两种情况：①B在线段AC上，②B在射线AC上，然后利用方程思想设出未知数，表示出BC、AB、AC和BD的长即可解决问题．
【解答】解：如图，当点B在线段AC上时，
设BC＝xcm，则AB＝3xcm，AC＝4xcm，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝2xcm，
∴BD＝xcm，
∵BD＝2cm，
∴x＝2，
∴AC＝8cm；
如图2，当点B在射线AC上时，
设BC＝xcm，则AB＝3xcm，AC＝2xcm，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝xcm，
∴BD＝2xcm，
∵BD＝2cm，
∴2x＝2，
解得：x＝1，
∴AC＝2cm．
综上所述，线段AC的长为8cm或2cm．
故答案为：8cm或2cm．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：；
（2）如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，若∠DOE＝55°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．
【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则先算乘方再算乘除最后做加减，有括号的先算括号里面的；
（2）设∠BOE＝x°，则∠DOB＝55°﹣x°，利用已知条件和角平分线的定义，用x的代数式分别表示出∠DOB，∠EOC的度数，利用∠AOC＝140°，列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣（2﹣9）××（﹣10）
＝﹣1﹣7××10
＝﹣1﹣10
＝﹣11；
（2）设∠BOE＝x°，则∠DOB＝55°﹣x°，
∵，
∴∠EOC＝2x°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠DOB＝2（55﹣x）°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOE+∠EOC＝140°，
∴2x+x+2（55﹣x）＝140．
解得：x＝30．
∴∠EOC＝2x°＝60°．
14．（6分）解方程：．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，据此求出方程的解即可．
【解答】解：去分母，得：6﹣2（x﹣13）＝3（9﹣3x）+6x，
去括号，得6﹣2x+26＝27﹣9x+6x，
移项，得：﹣2x+9x﹣6x＝27﹣6﹣26，
合并同类项，得：x＝﹣5．
15．（6分）按照下列语句画出图形．
（1）画直线AB；
（2）画射线BD；
（3）连接BC；
（4）反向延长线段CD至E，使DE＝2CD．
【分析】根据几何语言画出对应的几何图形．
【解答】解：（1）如图，直线AB为所作；
（2）如图，射线BD为所作；
（3）如图，BC为所作；
（4）如图，DE为所作．
16．（6分）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，先化简，再求值：（2a3﹣2b2）﹣3（a3b2+a3）+2（b2+b2a3）．
【分析】先根据条件可求出a与b的值，然后根据整式的加减运算法则进行化简，最后将a与b的值代入即可求出答案．
【解答】解：∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2．
原式＝2a3﹣2b2﹣3a3b2﹣3a3+2b2+2a3b2
＝﹣a3﹣a3b2，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝﹣（﹣1）3﹣（﹣1）3×22
＝5．
17．（6分）如图，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，原点为点O．
（1）化简：|a﹣c|+|c﹣b|﹣|b﹣a|．
（2）若B为线段AC的中点，OA＝8，OA＝4OB，求c的值．
【分析】（1）由数轴知，c＜0＜b＜a，所以a﹣c＞0，c﹣b＜0，b﹣a＜0，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数解答即可；
（2）先确定a和b的值，再根据B为线段AC的中点，得AB＝BC，即a﹣b＝b﹣c，代入可得结论．
【解答】解：（1）因为c＜0＜b＜a，
所以a﹣c＞0，c﹣b＜0，b﹣a＜0，
所以|a﹣c|+|c﹣b|﹣|b﹣a|＝a﹣c+（b﹣c）+b﹣a＝a﹣c+b﹣c+b﹣a＝2b﹣2c；
（2）因为OA＝8，OA＝4OB，
所以OB＝2，
所以a＝8，b＝2，
因为B为线段AC的中点，
所以a﹣b＝b﹣c，
即8﹣2＝2﹣c，
所以c＝﹣4．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）定义新运算“⊕”与“⊗”：a⊕b＝，a⊗b＝．
（1）计算[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）⊗（﹣1）]的值；
（2）若A＝[3b⊕（﹣a）]+[a⊗（2﹣3b）]，B＝[a⊕（﹣3b）]+[（﹣a）⊗（﹣2﹣9b）]，比较A和B的大小．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）A和B利用题中的新定义化简，判断即可．
【解答】解：（1）由题意可知：
[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）⊗（﹣1）]
＝﹣
＝+
＝1；
（2）由题意可知：
∵A＝+
＝
＝3b﹣1，
B＝+
＝
＝3b+1，
∴A﹣B＝3b﹣1﹣（3b+1）＝3b﹣1﹣3b﹣1＝﹣2＜0，
则A＜B．
19．（8分）开学发新书，两摞规格相同的数学新课本如图所示，整齐地叠放在课桌上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：
（1）每本数学新课本的厚度为多少厘米？
（2）当数学新课本数为x（本）时，请直接写出同样叠放在桌面上的一摞数学新课本最上面高出地面的距离（用含x的代数式表示）．
（3）如果有一个班级的学生每人要领取1本数学新课本，全班的数学新课本放在桌面上，班级中的学生领取后，桌上剩余的数学新课本整齐地摆放成一摞，课本最上面高出地面的距离为96.8厘米，你能从中知道该班学生的人数吗？请说出理由．
【分析】（1）结合图形列出算式（88.8﹣86.4）÷3，计算即可；
（2）用课桌的高度加上x本新课本的高度即可；
（3）先求出还未领取课本的的学生人数，再乘以3即可．
【解答】解：（1）每本数学新课本的厚度为（88.8﹣86.4）÷3＝0.8（厘米）；
（2）同样叠放在桌面上的一摞数学新课本最上面高出地面的距离为0.8x+（86.4﹣3×0.8）＝84+0.8x；
（3）由题意知，还未领取课本的的学生人数为，
则该班学生人数为16×3＝48（人）．
20．（8分）某商店对A，B两种商品在进价的基础上提高50%作为标价出售．春节期间，该商店对A，B两种商品开展促销活动，活动方案如下：
（1）商品B降价后的售价为 225（1﹣a%） 元（用含a的代数式表示）；
（2）不考虑其他成本，在春节期间商店卖出A种商品20件，B种商品10件，获得总利润1000元，试求a的值．
【分析】（1）根据标价225元，出售价格按标价降低a%，写出降价后的价格；
（2）根据商店卖出A种商品20件，B种商品10件，获得总利润1000元列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）B商品标价是225元，出售价格按标价降低a%，
那么降价后的标价是225（1﹣a%）元，
故答案为：225（1﹣a%）；
（2）设A商品进价为m元，则m（1+50%）＝150．
解得m＝100．
设B商品的进价为n元，则n（1+50%）＝225．
解得n＝150．
由题意得：[150×（1﹣10%）﹣100]×20+[225（1﹣a%）﹣150]×10＝1000．
解得：a＝20，
∴a的值是20．
五、（本大题共1小题，共10分）
21．（10分）已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案；
（2）根据已知条件∠BOE＝∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，再根据周角的关系可得到∠AOD的等量关系，再根据∠DOF＝∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠AOF可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分三种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，可得出结果，当射线OG在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，③当OG在∠EOF外部且在直线OE上方的时，可得出结果．
【解答】（1）∠AOD+∠BOC＝180°．
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，
同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝3a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB
＝360°﹣90°﹣4a﹣90°
＝180°﹣4a，
∵∠DOF＝∠AOD，
∴∠DOF＝（180°﹣4a）＝135°﹣3a，
∴∠AOF＝∠AOD＝（180°﹣4a）＝45°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+45°﹣a＝135°，
∠EOF的度数为135°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时，
∴∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOF+∠GOE）＝∠EOF＝×135°＝40.5°；
②当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOE﹣∠GOF）
＝∠EOF
＝（∠DOF+∠COD+∠EOC）
＝ （135°﹣3a+90°+3a）
＝67.5°．
③当OG在∠EOF外部且在直线OE上方的时候求得的∠GOE超过180度，不合题意舍去．
综上所述，∠GOF 的度数是40.5°或67.5°．
商品
A
B
标价（元/件）
150
225
春节期间每件商品出售的价格
按标价降价10%
按标价降价a%
商品
A
B
标价（元/件）
150
225
春节期间每件商品出售的价格
按标价降价10%
按标价降价a%
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