人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程一课一练

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经过两点P1x1,y1,P2x2,y2(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线的方程是y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.
解释
① 证明：当x1≠x2时，经过两点P1x1,y1,P2x2,y2的直线斜率k=y2-y1x2-x1，再取点P1x1,y1，由点斜式可得y-y1=y2-y1x2-x1x-x1；
当y1≠y2时，可得y-y1y2-y1=x-x1x2-x1.
② 在P1x1,y1,P2x2,y2中，如果x1=x2或y1=y2，则直线P1P2没有两点式;
③ 两点式从代数的角度明确了”两点确定一直线”的事实.
【例】利用两点式求过点A(0,1)和B(1,2)的直线方程.
解 直线方程为y-12-1=x-01-0，化简为y=x+1.
2 直线的截距式方程
我们把xa+yb=1(其中a，b分别是直线在x轴、y轴上的截距且a≠0,b≠0)叫做直线的截距式方程，简称截距式.
解释
① 证明：因为直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，由两点式可得y-0b-0=x-a0-a，即xa+yb=1.
② 使用截距式的前提是直线xx轴、y轴上的截距均不为0.
【例】求经过点A(0,2)和B(-1,0)的直线方程.
解 直线的截距式方程为x-1+y2=1，化简为y=2x+2.
【题型1】直线的两点式与截距式
【典题1】 已知△ABC的三个顶点A(1,1)，B(-2,-1)，C(3,－3)，求△ABC三条边所在的直线方程和AB边的中线所在直线的方程．
解析 由两点式方程，得直线AB的方程是y-1-1-1=x-1-2-1
整理，得2x－3y+1=0．
直线BC的方程是y+1-3-(-1)=x+23-(-2)，
整理，得2x+5y+9=0，
直线AC的方程是y-1-3-1=x-13-1，整理，得2x+y－3=0．
设AB的中点D(x,y)，则x=1-22=-12,y=1-12=0，
∴点D的坐标为-12,0．
∴直线CD的方程为y-0-3-0=x+123--12，
整理，得6x+7y+3=0．
因此△ABC三边AB，BC，AC及中线CD所在的直线方程分别是
2x－3y+1=0，2x+5y+9=0，2x+y－3=0，6x+7y+3=0． 科网]

【典题2】已知直线l经过点(2,1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解析 方法一 设直线l在两坐标轴上的截距均为a，若a≠0，
则l的方程可设为xa+ya=1．
又∵l过点(2,1)，代入xa+ya=1，得a=3，
∴直线l的方程为x3+y3=1，即x+y-3=0．
若a=0时，l过点(0,0)与(2,1)，∴l的斜率k=12．
∴直线l的方程为y=12x，即x-2y=0．
∴直线l的方程为x+y-3=0或x-2y=0．
方法二 由题意可知直线l的斜率存在且不为0．
设过点A(2,1)的直线方程为y-1=k(x-2)(k≠0)．
令x=0，则y=1-2k；
令y=0，则x=2-1k．
由已知条件，得1-2k=2-1k，解得k=-1或k=12．
∴所求直线的方程为x+y-3=0或x-2y=0．
【巩固练习】
1. 直线经过点(-2,0)和(0,3)，则直线的方程为( )
A．x2+y3=1 B．x-2+y3=1 C．x-2+y-3=1 D．x2+y-3=1
答案 B
2. 过两点(5,0)，(2,-5)的直线的方程是( )
A．5x+3y-25=0 B．5x-3y-25=0
C．3x-5y-25=0 D．5x-3y+25=0
答案 B
解析 由两点式得y-0x-5=0+55-2，化简得5x-3y-25=0，故选B.
3.梯形ABCD四个顶点坐标分别为A(－5,1)，B(1,－3)，C(4,1)，D(1,3)．求该梯形中位线所在直线的方程．
答案 2x+3y－2=0
解析 ∵kAB=-23,kCD=-23， ∴AB∥CD来源:ZXXK]
又AD中点M(－2,2)，BC中点N52,-1，
由直线的两点式方程得梯形的中位线MN所在直线方程为y-2-1-2=x+252+2，
化简得2x+3y－2=0．
4.已知直线l与x轴，y轴分别交于A,B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．
答案 x+4y－8=0
解析 由题意可设A(x,0)，B(0,y)，由中点坐标公式可得&x+02=4,&0+y2=1解得&x=8&y=2
∴A(8,0)，B(0,2)．
由直线方程的截距式得l方程为x8+y2=1，即x+4y－8=0．
5.求过点P(2,3)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线方程．
答案 x+2y-8=0或3x-2y=0
解析 方法一：设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b．
若b=0，则直线过(0,0)与(2,3)点，则其方程为3x-2y=0．
若b≠0，则设其方程为x2b+yb=1，又∵过点(2,3)，
∴22b+3b=1，即b=4．
∴x8+y4=1，即x+2y－8=0．
综上，所求直线方程为3x-2y=0或x+2y-8=0．
方法二：由题意知直线的斜率存在且不为0．
设过点P的直线方程为y-3=k(x-2)．
由x=0得y=3－2k；由y=0得x=2-3k．
由已知条件，得2-3k=2(3-2k)，解得k=-12或k=32．
所以所求直线方程为x+2y-8=0或3x-2y=0．
【题型2】综合练习
【典题1】 过点P(2,1)作直线l分别与x,y轴正半轴交于A、B两点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解析 设，，，．
(1)设直线方程为xa+yb=1，
代入P(2,1)得2a+1b=1⩾22ab，
得ab⩾8，从而S△AOB=12ab⩾4，此时2a=1b,k=-ba=-12
∴方程为x+2y-4=0．
(2)a+b=(a+b)2a+1b=1=3+ab+2ba⩾3+22，
此时ab=2ba,k=-ba=-22．
∴方程为x+2y-2-2=0．

【巩固练习】
1.若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 C
解析 设直线l的截距式为xa+yb=1，
∵直线l经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，
∴&1a+1b=1&12|ab|=2，
解得a=b=2，或a=2+22,b=2－22，或a=2－22,b=2+22
直线l的条数为3．
故选：C．
2.过点M(2,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B，若△ABO的面积S最小，试求直线l的方程．
答案 x+2y-4=0
解析 设A(a,0),B(0,b),(a,b>0)，
则直线l的方程为xa+yb=1，
又∵M(2,1)在直线l上，∴2a+1b=1
又∵1=2a+1b⩾22ab，∴ab⩾8，
∴S=12ab⩾4，
等号当且仅当，即a=4,b=2时成立，
∴直线l的方程为：x4+y2=1，即x+2y-4=0．