人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题

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6.3.5平面向量数量积的坐标表示
-----典例精讲

本节课知识点目录：
1、 向量数量积的坐标表示；
2、 长度与距离：模的坐标表示。
3、 垂直的坐标表示
4、 利用坐标求夹角
5、 投影的坐标表示
6、 坐标应用：建系设点技巧
7、 三角形中的向量坐标计算
8、 利用向量坐标求向量最值（难点）


一、向量数量积的坐标表示
、


【典型例题】
【例1】已知，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量数量积的坐标运算即可得解.
【详解】∵，∴ ∴故选：C.
【例2】在平行四边形ABCD中，=(1，0)，=(2，2)，则等于（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】先求得，由此求得.
【详解】如图，由向量的加减，可得=(1，2)，
=(0，2).
故=(1，2)·(0，2)=0+4=4.故选：A
【例3】若，，则______．
【答案】
【分析】
根据向量数量积的运算直接可得.
【详解】
由已知的坐标表示为，的坐标表示为，
所以，故答案为：.
【例4】已知向量，，且，，求向量的坐标．
【答案】
【分析】
设向量的坐标为，用坐标表示，，联立方程组即得解
【详解】由题意，设向量的坐标为则，
解得：故向量的坐标为
【例5】已知向量，满足，，求．
【答案】
【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，求得和，利用数量积的坐标运算，即可求解.
【详解】由题意向量，满足，，因为，可得，
则，即，可得，
又由，可得，则，
即，可得，所以.

【对点实战】
1.已知向量，且，则的值等于（ ）
A． B．- C． D．-
【答案】D
【分析】
利用向量数量积公式列方程，由此求得的值.
【详解】
依题意.故选：D
2.若向量，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
解：因为，，
所以，解得．故选：A
3.已知点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则的值为________．
【答案】
【分析】
根据点的坐标求出向量的坐标，从而根据向量数量积的坐标运算求即可.
【详解】
因为A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，所以，
所以.故答案为：.
4.已知，，，则（　　）
A． B． C．0 D．12
【答案】B
【分析】
根据向量的坐标运算计算．
【详解】由已知，所以．故选：B．


二、长度与距离：模的坐标运算

【典型例题】
【例1】已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】
因为向量，，所以.
故选：B.
【例2】已知向量则=______．
【答案】
【分析】先求出，再求.
【详解】因为向量所以,
所以.故答案为：
【例3】已知，，求：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据向量数量积的坐标运算即可直接求出答案；
（2）根据向量线性运算的坐标表示及向量数量积的坐标运算即可直接求出答案；
（3）根据向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标表示即可求出答案.
（1）
因为，，所以.
（2）
因为，，所以，
所以.
（3）
因为，，所以，
所以.
【例4】设，已知两个向量，，则向量长度的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
先求出的坐标，再利用坐标求模长，根据三角函数式的范围，得模长范围，便可确定结果.
【详解】由题得，，
，
，，，，长度的取值可以是，，．故选：ABC．
【例5】.设平面向量，若的模等于，试求k值.
【答案】或
【分析】
求出，表示出模，即可建立关系求解.
【详解】
因为，因为的模等于，
所以，化简得，解得或.


三、垂直
1..
2..

【典型例题】
【例1】．已知向量，，，则实数k的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【分析】
由，得，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：因为，，，
所以，即，解得，故选：C.
【例2】设，向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件利用向量垂直的坐标表示，求出即可计算作答.
【详解】
向量，，，则，解得，即，
所以.故选：A
【例3】已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出的坐标，利用坐标表示即可求解.
【详解】因为，，则，
因为，所以，解得：，故选：D.
【例4】设k为实数，已知，，若，求k的值．
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的坐标运算，由垂直条件构造方程可直接解出
【详解】∵, ∴
因为，所以
即,解得故答案为：
【例5】已知向量，，，若，则______.
【答案】
【分析】
利用向量的坐标运算求，然后结合已知条件利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
又因为，，所以，解得.故答案为：.
【例6】已知向量，求与向量垂直的单位向量的坐标．
【答案】或.
【分析】
设与向量垂直的单位向量为，根据列出方程组即可求出答案.
【详解】设与向量垂直的单位向量为，
则，即，解得或，
所以与向量垂直的单位向量的坐标为或.
【例7】已知向量，．
（1）求证：．
（2）是否存在不等于0的实数k和t，使向量，，且？如果存在，试确定k与t的关系；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明详见解析（2）存在，且.
【分析】
（1）根据向量和的坐标，利用两个向量的数量积公式求得，可得．
（2）假设存在不等于0的实数k和t，使得成立，可得，根据向量的数量积公式化简即可求出结果．
（1）证明：向量，，∴，∴．
（2）
解：假设存在不等于0的实数k和t，使得成立，则
整理得，又∵，，
∴，即，
所以存在非零实数k和t，使得成立；其关系为且.

【对点实战】
1.已知向量，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意首先求出的坐标，再根据，得到，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，，所以，因为，所以，解得，故选：A
2.已知向量，，若，则______．
【答案】10
【分析】
根据，求得，进而得到的坐标求解.
【详解】
因为向量，，且，
所以，解得，
则，，
所以，故答案为：10
3.若向量，，向量与向量垂直，则实数的值为____．
【答案】
【分析】
利用向量垂直的坐标运算列方程，化简求得的值.
【详解】，，
由于与垂直，
所以.故答案为：
4.已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．
【答案】.
【分析】设，根据与垂直，与平行，列出方程组，解之即可得出答案.
解：设，则，
因为与垂直，与平行，所以，解得，
所以点的坐标为.
5.已知，，，求的坐标．
【答案】或
【分析】设，由题意列方程组，即可求出的坐标.
【详解】设.因为，，，
所以，解得：或，
即或
6.已知向量，，且，，则______
【答案】
【分析】
根据求得，根据求得，从而求得.
【详解】
由知，，解得，故，又
则，解得，
。故答案为：




四、求夹角
非零向量与的夹角：.
【典型例题】
【例1】设向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意先求出，再利用数量积关系即可求出.
【详解】设，则，所有，解得，
所以.故选：D.
【例2】若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解.
【详解】由，，则，，，
设与的夹角余弦值为，所以
.故选：C
【例3】已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
【答案】##
【分析】由向量坐标运算可求得，代入向量夹角公式可求得，由此可得结果.
解：由题意得：，
设，则，即
故答案为：
【例4】已知且与的夹角为，则______
【答案】
【分析】
首先求出与的坐标，即可求出其模，再根据平面向量数量积的定义及坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，，所以，，，因为与的夹角为，所以，即，即，解得
故答案为：
【例5】若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
不妨设，，则，，进而由夹角公式可求得结果.
【详解】
不妨设，，则，，
所以，，，
设的夹角为，则，又，所以.
故选：C.
【例6】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后根据与的夹角为锐角得出，解得，最后根据与不平行即可得出结果.
【详解】因为，，所以，因为与的夹角为锐角，
所以，解得，若与平行，则，解得，
则实数的取值范围是，故选：B.
【例7】已知，若与的夹角为，则实数________.
【答案】
【分析】
利用向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】
，则，由夹角公式可得：

整理得，且，解得.故答案为：
【例8】已知向量，，设.
（1）若，求当取最小值时实数的值;
（2）若，问:是否存在实数，使得向量与向量的夹角为?若存在，求出实数;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）由题意可得，，从而可得，再利用二次函数的性质可得答案，
（2）由题意可得，再由可得，从而可求得，的值，从而可求出实数的值
【详解】（1）当时，，则，∴=，∴当时，取得最小值.
（2）假设存在满足条件的实数t.由条件得，∵，∴=，
=，，∴.∴，且，得.
∴存在满足条件.


【对点实战】
1.若向量，，则与的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
运用向量的平方即为模的平方求模，再求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到．
【详解】，，，，，
设与夹角的余弦值为，，所以．故选：
2.已知，是单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量夹角坐标公式求解即可．
【详解】
由题意可知，，
则解得故选：A
3.设向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意先求出，再利用数量积关系即可求出.
【详解】设，则，所有，解得，
所以.故选：D.
4.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由已知得且与不平行，根据向量的坐标运算可得选项.
【详解】
因为与的夹角为锐角，所以且与不平行，即且，解得且，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
5.设为实数，已知向量，.若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据得到，求得值，确定，再计算与的数量积及模长，即求得两向量夹角的余弦值.
【详解】
由题意可知，由，可得，即，解得，
所以，所以，
所以，又 ，
所以.
故选：A.
6.已知，，和的夹角为150°，则实数______．
【答案】
【分析】
根据和的夹角列方程，由此求得的值.
【详解】依题意，解得.故答案为：
7.已知向量
（1）若，求的值;
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）且.
【分析】
（1）由垂直的坐标表示可得；
（2）由且与不同向可得．
【详解】
解，
，

解得.
向量与的夹角为锐角，且与不同向

解得且. (没有扣2分）

五、投影的坐标表示
向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.
【典型例题】
【例1】已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量的模为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接根据在方向上的投影的计算公式求出，即可求出投影向量，从而求出向量的模即可求解．
解：，所以，
在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为，其模为故选：．
【例2】向量在向量上的射影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用数量积的几何意义直接求解即可
【详解】向量在向量上的射影为
，故选：D
【例3】已知点A（-1，1）､B（1，2）､C（-2，-1）､D（3，4），则向量在方向上的投影为___________.
【答案】
【分析】
求出，，再根据投影的定义即可得出答案.
解：，
所以向量在方向上的投影为.故答案为：.
【例4】已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据所给点的坐标求出向量，的坐标及模长，再求出与同向的单位向量，最后根据投影向量的定义求解.
【详解】
由题知点，，，，
有， ，
，.
与同向的单位向量为.
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：B.
【例5】设向量，．若，，则______，向量在向量上的投影向量为______．
【答案】13
【分析】
由向量的坐标运算求出向量、的坐标，由向量数量积的坐标运算即可求的值，根据投影向量的计算公式即可求向量在向量上的投影向量.
【详解】因为向量，，所以，
，所以，
由，可得：，，所以，
向量在向量上的投影向量为：，
故答案为：；.
【例6】已知向量满足,,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量数量积的几何意义可得，进而求出向量的夹角，再利用向量数量积求出向量的模即可.
【详解】
设两个向量的夹角为,则,
从而,,所以.
故选：A.


【对点实战】
1.已知，，则在方向上的数量投影为______．
【答案】
【分析】
根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.
【详解】
根据题意，可知在方向上的数量投影为.
故答案为：.
2.已知向量，，若，在向量上的投影相等，且，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
设，根据，在向量上的投影相等，得到，进而得到，再由，得到，联立求解.
【详解】设，因为，在向量上的投影相等，所以，即 ，
所以 ，即 ，即，因为，
所以，即，所以，
解得，所以.故选：AC
3.已知向量，，则在上的投影向量坐标为___________.
【答案】
【分析】
根据平面向量的坐标运算与数量积定义，计算投影即可得到答案
【详解】向量，，则在上的投影为
又在轴上，故在上的投影向量坐标为.故答案为：
4.设，若 在方向上的投影为 , 且在 方向上的投影为3，则和 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
试题分析：由向量的数量积可知，由 在 方向上的投影为 ，解得 ，在 方向上的投影为 ，解得 ，则 ．
所以和的夹角等于．故选：A
5.已知向量,在上的投影为______
【答案】-1
【分析】
由已知及向量数量积性质,结合可求，然后代入可求在上的投影．
【详解】
，，
,
,
在上的投影为，故答案为-1．


六、坐标应用：建系设坐标技巧
有模长，可以适当的设置对应向量点的坐标，作为向量计算的一个有用的技巧

【典型例题】
【例1】已知平面向量，，满足，，则的最大值是_______
【答案】##
【分析】
先求出向量，的夹角，从而可设，得到点在圆上，由，根据直线与圆的位置关系可得答案.
【详解】设向量，的夹角为 则。，则，则
则不妨设。由可得,即点在圆上。，则。即当满足时，求的最大值.
由直线，可得当直线在轴上的截距最大时，取得最大值.
又当直线与圆相切时，直线在轴上的截距取得最值.
由，解得，所以的最大值为.
故答案为：
【例2】在矩形中，，顶点分别在轴､轴的正半轴上（含原点）滑动，且矩形位于第一象限，则的最大值为___________.
【答案】6
【分析】
如图建立平面直角坐标系，设，表示两点坐标，计算，结合同角三角函数关系以及辅助角公式，即得解
【详解】如图所示，设
则由于故


其中：
故，当，即时等号成立
故的最大值为6。故答案为：6
【例3】已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的值为___________；的最大值为___________．
【答案】4 4
【分析】
分别以为轴建立平面直角坐标系，设，得出向量，，的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出答案.
【详解】如图分别以为轴建立平面直角坐标系.
则，设
所以，, 则
，由所以当时，的最大值为4
故答案为：4，4
【例4】已知，向量满足，当向量，夹角最大时，_________．
【答案】
【分析】
设=（1，0），=（x，y），把已知等式用坐标表示得出的关系，从而把用表示，再求出两向量夹角的余弦值，由换元法和函数的性质得出最小值即得向量夹角的最大值，由此可得.
【详解】设=（1，0），=（x，y），∵，∴，化简后可得，，
∴，∴
设t=，即0