专题09 三大分布列归类与应用- 2022-2023学年高二数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019选择性必修第三册)

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专题09 三大分布列归类与应用

目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 二项分布 1
【题型二】 超几何分布 5
【题型三】 正态分布 10
【题型四】 分布列1：数列计算 13
【题型五】 分布列2：商场销售与制作工艺 18
【题型六】 分布列3：传球模式与游走模式 22
【题型七】 分布列4：药物检验 27
【题型八】 分布列综合应用 30
二、最新模考题组练 34





【题型一】二项分布
【例1】现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即；
（2）先求得，由显然可得，再变形，可证得.
【详解】（1）平均每组人，
设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，
所以，
所以该组试验只需第一轮注射的概率为．
（2）由（1）得，
，
所以

，
设，则，
又，
所以

，因为，所以，
又
，因为，所以，
所以．
【例2】新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 位密切关联者与之接触（而这个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为．
（1）求一天内被感染人数的概率的表达式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与位密切关联者接触．从某一名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第天新增患者的数学期望记为．
①当，，求的值；
②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式．当 取得最大值时，计算所对应的和所对应的 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取）．
（参考数据：，，， ，，计算结果保留整数）
【答案】（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性见解析．
【分析】（1）设事件：被病毒感染的人群，随机变量的取值为：0，1，2，…，．得到事件服从二项分布，即可求解．
（2）①根据题意，第天新增加人数的数学期望，即可求解的值．
②求得，利用导数求得函数的单调性和最值，进而得到，，分别求得和的人数，即可得到结论．
【详解】（1）根据题意，因为任何一个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均为，
又每天有位密切关联者与一患者接触，设事件：被病毒感染的人群，
随机变量的取值为：0，1，2，…，．显然事件服从二项分布，
即，显然．
（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，
第2天被感染人数增至为：；
第3天被感染人数增至为：，…，
显然第天被感染人数增至为：，第天被感染人数增至为：，
于是根据题意中均值定义，第天新增加人数的数学期望，
即，于是．
②根据题意函数，求导得：，
当且仅当时，，此时单调递增；当时，，
即单调递减，于是．
此时，，
于是（人），
（人）．
经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，
而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，
即远大于，于是戴口罩是非常必要的．
【例3】冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈4），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹，第5圈滑行直达终点；
②如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；
③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率；
(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
【答案】(1)
(2)乙选手水平更高，理由见解析
【分析】（1）求出“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”和“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”的概率即可求解；
（2）根据题意可得，，求出时间的期望即可求解.
(1)
甲滑雪用时比乙多秒分钟，
因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.
设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件B，
“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件C，
依题意，事件B和事件C是互斥事件，
，   
所以，.
所以甲胜乙的概率为.
(2)
依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y，则，，
所以甲被罚时间的期望为（分钟），
乙被罚时间的期望为（分钟），
又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，则甲最终用时的期望比乙多分钟，
因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.
【例4】随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见下表）
等级
A
B
询单转化率
[70%，90%）
[50%，70%）
人数
6
4

视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求出A，B等级客服的询单转化率分别为，设A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，对应的询单转化率中位数分别为，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
（2）将改革前的日均成交人数计算出为7200，进而表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，求出a的取值范围.
(1)
依题意得：A，B等级客服的询单转化率分别为，
设事件C表示“这4人的询单转化率的中位数不低于70%”，
A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，
对应每种情况的询单转化率中位数分别为，
故；
(2)
设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y，Z
改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
因为A，B等级客服的询单转化率分别为，
所以改革前日均成交人数为，
改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为，
由得：，①
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为，
则，解得：，②
由①②得：，所以a应该控制在
【题型二】超几何分布
【例1】某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：

质量指标值m
150≤m<350
100≤m<150或350≤m≤400
等级
A级
B级

(1)根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；
(2)从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
(3)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
【答案】(1)287.5
(2)分布列为：

0
1
2
3






数学期望为
(3)每箱零件的利润是4750元
【分析】（1）先确定分位数所在的区间，再设出分位数，列出方程，求出答案；（2）先求出的B级零件个数和质量指标值在[350，400]的零件个数，求出可能取值，并求出相对应的概率，求出分布列和期望值；（3）设出每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，得到Y与X的函数关系，先得到，进而估计出每箱零件的利润.
(1)
前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6
前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6
设分位数为，
，解得287.5
∴产品的质量指标值的分位数为287.5
(2)
，所以样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，
随机变量的分布列为

0
1
2
3






所以期望.
(3)
设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
由题意知：，由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为，A级零件的概率为1-0.1=0.9
所以， 所以，
所以(元).
所以每箱零件的利润是4750元
【例2】近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．

厨余垃圾桶
可回收物桶
其他垃圾桶
厨余垃圾
60
20
20
可回收物
10
40
10
其他垃圾
30
40
170

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列为
X
0
1
2
3
P





期望为
【分析】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解.
（2）根据超几何分布,即可得分布列和期望.
(1)
由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率；
(2)
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





所以
所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为．
【例3】为了解昆山震川高级中学中学高二年级学生身视力情况，对高二年级（1）班—（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行视力监测．经统计，每班10名学生中视力监测成绩达到优秀的人数统计如下：
班号
1
2
3
4
5
6
7
8
人数
8
6
9
4
7
5
9
8

(1)若用散点图预测高二年级学生视力情况，从高二年级学生中任意抽测1人，求该生视力监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高二（2）班的10名学生中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生视力优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的视力优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学视力优秀，“”表示第k班抽到的这名同学视力不是优秀（，2，×××，8）．写出方差，，，的大小关系．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
(3)
【分析】（1）根据散点图可求得抽取的人中，视力监测成绩达到优秀的人数，由古典概型概率公式可得结果；
（2）首先可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
（3）由两点分布方差计算公式可求得的值，由此可得大小关系.
(1)
抽取的人中，视力监测成绩达到优秀有人，
从高二年级学生中任意抽测人，该生视力监测成绩达到优秀的概率.
(2)
由散点图可知：高二（2）班的10名学生中，视力监测成绩达到优秀的人数为6人，按分层抽样，所抽5人，有3人视力监测成绩达到优秀，2人视力监测成绩没有达到优秀，记从5人任抽2人，设X表示2人中视力监测成绩达到优秀的人数，则X中能值为0，1，2.
所有可能的取值为，

则X的分布列为

0
1
2





.
(3)
由散点图知：，，；
，，；
，，；
，，；
.
【例4】某科技企业2021年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
女性录用比例
A
3
2
67%
3
2
67%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
269
167
62%
40
24
60%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
177
57
32%
184
59
32%
总计
533
264
50%
467
169
36%

(1)从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
(2)从应聘A岗位的6人中随机选择2人.记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.（只需写出结论）
【答案】(1)(2)见解析(3)A，B，D，E
【分析】（1）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；
（2）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；
（3）分析发现C岗位中男性较多拉高了整体录用率，再去掉C岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论
(1)
因为表中所有应聘人员总数为，
被该企业录用的人数为 ，
所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．
(2)
X可能的取值为．
因为应聘A岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，
所以 ； ；
．     
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
P




．
(3)
分析图表可得，C岗位中男女录取比例，但男性应聘人数明显更多，因此影响了总录取率，除去C岗位则男性应聘人数为264，录取人数为97，录取率约为 ；女性应聘人数为427，录取人数为145，录取率约为，二者之差的绝对值不大于5%
故只考虑其中A，B，D，E四种岗位，男性、女性的总录用比例也接近

【题型三】 正态分布
【例1】设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
【答案】②④##④②
【分析】随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【详解】因为，所以①不正确；
因为

，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
【例2】为抢占市场，特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Model3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).
（2）根据大量的测试数据，可以认为Model3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
（3）为迅速抢占市场举行促销活动，特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券6万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.已知硬币出现正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､第1格､第2格､……､第20格.车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次.若掷出正面，车模向前移动一格(从k到k+1)，若掷出反面，车模向前移动两格(从k到k+2)，直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为，试证明是等比数列；若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).
参考数据：若随机变量服从正态分布，则
【答案】（1）(千米)；（2）；（3）证明见解析，优惠券总金额的期望万元.
（1）利用频率分布直方图能估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值．
（2）服从正态分布，由此能求出它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．
（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种．①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为，②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，从而，进而能证明当时，数列是公比为的等比数列，由此能求出结果．
【详解】（1）（千米）
（2）因为服从正态分布
所以
（3）第一次掷硬币出现正面，车模从第0格移到第一格，其概率为即移动到第二格有两类情况.车模移到第()格的情况是下列两种，而且也只有两种.
①车模先到第格，又掷出反面，其概率为
②车模先到第格，又掷出正面，其概率为
所以，，
当时，数列是公比为的等比数列.
，经验证也满足.是公比为的等比数列.

以上各式相加，得
即
()，经检验时也符合.
，
获得优惠券的概率。获得车模的概率
设参与游戏的6人获得优惠券的有人，由题可知
的期望
设优惠卷总金额为万元，
优惠券总金额的期望万元
【例3】从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min），数据如下表：
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
62
56
68
62
58
61
61
52
61
59

将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
(1)求.
(2)假设路线一的全程时间X服从正态分布，路线二的全程时间Y服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？
【答案】(1)，，，
(2)甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二
【分析】（1）根据求平均数公式和方差公式进行求解；（2）根据正态曲线的对称性进行求解.
(1)
，
，
，
.
(2)
由（1）知.
因为，且，
所以，
因为，
又，所以，
所以送甲去机场应该选择路线一,送乙去机场应该选择路线二.
【例4】2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.
【分析】（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．
【详解】（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为











∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．

【题型四】 分布列1：数列计算
【例1】近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，），试探求：
（Ⅰ）的通项公式；
（Ⅱ）的通项公式．
【答案】(1)285分
(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（1）设全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X，则，在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y，则，求出，从而求出；
（2）得到，构造出，从而得到等比数列，求出的通项公式，进而用累加法求解的通项公式.
(1)
基于约定①，可以认为每名同学在每次专注度监测中完成签到的概率为0.9，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X，则，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y，则，
∴分．
(2)
（Ⅰ）依题意，，，
∴，
又∵，∴为等比数列，
∴，
（Ⅱ）∵，，…，，将这个式子相加得，
∴
【例2】一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为．
（1）求；
（2）设，求；
（3）证明：．
【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【详解】（1）∵或，∴，，
∴．
（2）∵当时，，
当时，第次取出来有个白球的可能性有两种：
第次袋中有个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，
即袋中有个白球，个黑球，第次取出来的也是白球的概率为；
第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次总数为12个，
故此时黑球数为个，这种情况发生的概率为；∴，∴综上可知，
（3）∵第次白球个数的数学期望分为两类情况：第次白球个数的数学期望为，由于白球和黑球的总数为12，第次取出来的是白球的概率为，第次取出来的是黑球的概率为，此时白球的个数为，∴
即．
【例3】甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.
（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；
（2）设第次由甲投掷的概率为，求.
【答案】（1）.（2）
【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有

共21种.则点数之和大于6的概率为，小于等于6的概率为.
（1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：
①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为，
②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为，
甲为“幸运儿”的概率为；
（2）第次由甲投掷这一事件，包含两类：①第次由甲投掷，第次由甲投掷，其概率为，
②第次由乙投掷，第次由甲投掷，其概率为，
从而有，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
【例4】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：
消费金额（单位：百元）






频数






由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】；①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据数据算出，由服从正态分布，算出概率，即，进而算出的数学期望；
①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为.所以.即，进而求证当时，是等比数列；②由①知，，，，，得，所以，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
【详解】
解：
，
因为服从正态分布，所以.
所以，
所以的数学期望为.
①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以，
即，且，所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.
②由①知，，，，，
以上各式相加，得， 所以.
所以闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为.
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.

【题型五】 分布列2：商场销售与制作工艺
【例1】为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作.经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点图如下：

根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月……分别为，，…，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活.但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入均只有2019年12月的预估值的.
（1）求该家庭2020年3月份的人均月纯收人；
（2）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为，为使该家庭2020年能实现小康生活，至少应为多少？（结果保留两位小数）
参考数据：，，，.
参考公式：线性回归方程中，，；
（，）.
【答案】（1）500元；（2）0.07.
【详解】（1）依题意得：，，
所以，，
所以，，
所以关于的线性回归方程为.令时，得2019年12月该家庭人均月纯收入预估值为元，所以，2020年第一季度每月的人均月纯收入均为元，
所以，2020年3月份该家庭的人均月纯收入为500元.
（2）因为每月的增长率为，设从3月开始到12月的纯收入之和为，则
，
依题意，令（*），
当时，，（*）成立；
当时，由（*）得，即，
所以，解得或（舍去），综上得：，
所以，为使该家庭2020年能实现小康生活，至少应为.
【例2】垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法．到2020年底，先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统；其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖．某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道．该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法：每位员工测试，，三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试，两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试，，三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为．（1）记某位员工被认定为“暂定”的概率为，求；
（2）每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的总费用为150元，除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且该600名员工全部参与测试，问上述方案是否会超过预算?请说明理由．
【答案】（1）；（2）不会超过预算.
【详解】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为，
每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为，
综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为+
，
（2）设每位员工测试的费用为元，则可能的取值为，
由题意知，，，所以随机变量的数学期望为
（元），，
令，则，
所以当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即(元)，
所以此方案的最高费用为（万元），
综上可知，若以此方案实施不会超过预算.
【例3】某公司生产了两种产品投放市场，计划每年对这两种产品托人200万元，每种产品一年至少投入20万元，其中产品的年收益，产品的年收益与投入（单位万元）分别满足；若公司有100名销售人员，按照对两种产品的销售业绩分为普销售、中级销售以及金牌销售，其中普销售28人，中级销售60人，金牌销售12人
（1）为了使两种产品的总收益之和最大，求产品每年的投入
（2）为了对表现良好的销售人员进行奖励，公司制定了两种奖励方案：
方案一：按分层抽样从三类销售中总共抽取25人给予奖励：普通销售奖励2300元，中级销售奖励5000元；金牌销售奖励8000元
方案二：每位销售都参加摸奖游戏，游戏规则：从一个装有3个白球，2个红球（求只有颜色不同）的箱子中，有放回地莫三次球，每次只能摸一只球.若摸到红球的总数为2，则可奖励1500元，若摸到红球总数是3，则可获得奖励3000元，其他情况不给予奖励，规定普通销售均可参加1次摸奖游戏；中级销售均可参加2次摸奖游戏，金牌销售均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立，奖励叠加）
（ⅰ）求方案一奖励的总金额；
（ⅱ）假设你是企业老板，试通过计算并结合实际说明，你会选择哪种方案奖励销售员.
【答案】（1）128 万元；（2）（i）；（ii）采用方案二.
【解析】
【分析】
（1）利用函数观点，得到两种产品的总收益的相关函数，再求解产品每年的收入.（2）1.分层抽样的观点，先得到各层的人数，进而求解相应的金额；2.利用方案二的分布列，进而求解期望，与方案相比较，进行判定.
【详解】
（1）由题意，记A产品每年收入x万元，总收益之和为 ，
则，
依题意得，解得，
故函数的解析式为，
令，则，
所以，
所以当时，取得最大值282.
所以A产品每年投入为 128 万元时，两种产品的总收益之和最大.
（2）由题意，①方案一、按分层抽样从普通销售、中级销售、金牌销售中总共抽取25人，其中普通销售、中级销售、金牌销售的人数分别是，
可得按照方案一奖励的总金额为：；
②方案二、设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能性为0，1500，3000
每次摸到红球的概率
所以，
，，
所以随机变量 的分布列为：

0
1500
3000





所以，
则按照方案二奖励的总金额为，
方案一奖励的总金额多于方案二的总金额，且方案二是对每个销售都发放奖励，有助于提高全体销售的销售积极性，故采用方案二.
【例4】某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为：

2
3
4

0.4



其中，
（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；
（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元）
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）若，求的数学期望的最大值.
【答案】（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望的最大值为280
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，由独立重复事件的特点得出，利用二项分布的概率公式，即可求出结果；

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由题意知，，解得，根据的分布列，得出的数学期望，结合，即可算出的最大值.
【详解】
解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，则，
则，
故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，
，，
，，
的分布列为：

200
250
300
350
400

0.16





（ⅱ），
由题意知，，，，
，又，即，解得，，
，
当时，的最大值为280， 所以的数学期望的最大值为280.

【题型六】 分布列3：传球游走
【例1】足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望；
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为．求证：数列为等比数列，并求．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)证明见解析；
【解析】【分析】(1)根据二项分布可求解；
(2)根据题意有，再根据递推关系可求解.
(1)
每个点球能被守门员扑出球门外的概率为，
由题知，
，，
，，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





∴．
(2)
由已知第次传球后球又回到甲脚下的概率为，
∴时，
∴，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，∴．
【例2】如图，直角坐标系中，圆的方程为，，，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．

（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；
（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）记，，，其中．证明：数列是等比数列，并求.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，.
【详解】（1），，
，，
综上，
棋子位置
掷骰子次数



2



3




（2）随机变量的可能数值为1，.综合（1）得，
，故随机变量的分布列为






.
（3）易知，因此，而当时，，
又，即.因此，
故
即数列是以为首项，公比为的等比数列.所以，
又故.
【例3】绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值；
（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；
（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，其中，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）300；（2）（i）；（ii）；（3）见解析，此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
【详解】（1）（千米）.
（2）（i）由.
.
（ⅱ）依题意有，所以.
（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即.
遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种；
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为.
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为.，.
时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．
，，，…，.

. ∴获胜的概率，
失败的概率.
.
∴获胜的概率大.∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
【例4】现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依次类推．
（1）通过三次传球，球经过乙的次数为X，求X的分布列与期望；
（2）设经过n次传球后，球落在甲手上的概率为，
①求，；
②求，并简要解释随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等．
【答案】（1）分布列见解析；期望为；（2）①，；②；答案见解析．
【解析】【分析】(1)写出X的可能值，求出X的每个取值时的概率即可得解；
(2)由题设条件可直接写出，，分析出与的关系，由此求出，探求传球次数的增多时值趋于一个常数即可得解.
【详解】
（1）X的取值为0，1，2，
；；；
所以X的分布列为
X
0
1
2
P




所以；
（2）①由题意可知：，；
②由题意：时，第n次传给甲的事件是第n-1次传球后，球不在甲手上并且第n次必传给甲的事件积，
于是有，即，数列是首项为，公比为的等比数列，
从而有，所以，
当时，，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，所以球落在每个人手上的概率都相等，所以球落在乙、丙、丁手上的概率为，
所以随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等．


【题型七】分布列4：药物检验
【例1】春季气温逐渐攀升，病菌滋生传播快，为了确保安全开学，学校按30名学生一批，组织学生进行某种传染病毒的筛查，学生先到医务室进行血检，检呈阳性者需到防疫部门]做进一步检测．学校综合考虑了组织管理、医学检验能力等多万面的因素，根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检学生随机等分成若干组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样合格，不必再做进一步的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测．现有两个分组方案：方案一：将30人分成5组，每组6人；方案二：将30人分成6组，每组5人．已知随机抽一人血检呈阳性的概率为0．5%，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（Ⅰ）请帮学校计算一下哪一个分组方案的工作量较少？
（Ⅱ）已知该传染疾病的患病率为0．45%，且患该传染疾病者血检呈阳性的概率为99．9%，若检测中有一人血检呈阳性，求其确实患该传染疾病的概率．（参考数据：（，）
【答案】（Ⅰ）方案一工作量更少．（Ⅱ）0.8991
解：（1）设方案一中每组的化验次数为X，则X的取值为1，7，
，∴X的分布列为：
X
1
7
P
0．970
0．030

．故方案一的化验总次数的期望值为：次．
设方案二中每组的化验次数为Y，则Y的取值为1，6，
，，∴Y的分布列为：
Y
1
6
P
0．975
0．025

．∴方案二的化验总次数的期望为次．
∵，∴方案一工作量更少．
（2）设事件A：血检呈阳性，事件B：患疾病，
则由题意得，，，
由条件概率公式可得，
∴该职工确实患该疾病的概率．

【例2】
冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验n次.
方式二：混合检验，将其中且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1.
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0 （1）若，试求p关于k的函数关系式p=f(k).
（2）若p与干扰素计量相关，其中2)是不同的正实数，满足x1=1且.
(i)求证：数列为等比数列；
(ii)当时采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值.
【答案】（1）（2）(i)证明见解析；(ii)4
【详解】（1）由已知得,的可能取值为1,,所以,,
所以,因为,即,
所以,所以
（2）(i)证明:因为,所以,所以,
所以或（舍去）,所以是以1为首项,以为公比的等比数列.
(ii)由(i)可知,则,即,由题意可知,则有,
整理得,设,则,
当时,；当时,,故在上单调递增,在上单调递减,
又,,所以的最大值为4.

【例3】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；
（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
【答案】（1）分布列见解析；（2）406.
【解析】
【分析】
（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.
（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.
【详解】
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.
所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.
依题意可知，，所以的分布列为：








（2）方案②中.
结合（1）知每个人的平均化验次数为：
时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，
时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，
时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，
即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，
故在这三种分组情况下，相比方案①，
当时化验次数最多可以平均减少次.

【例4】2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为，假设每位密切接触者不再接触其他患者.
（1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的数学期望记为.
（i）求数列的通项公式，并证明数列为等比数列；
（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率，当取最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取）
（结果保留整数，参考数据：）
【答案】（1）；.
（2）（i），证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.
【详解】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，则,，
的数学期望.
（2）（i）第天被感染人数为，第天被感染人数为，由题目中均值的定义可知，
则，且.是以为首项，为公比的等比数列.（ii）令，则.
在上单调递增，在上单调递减.
.则当，.
..戴口罩很有必要.

【题型八】分布列综合应用
【例1】一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为．
（1）求；
（2）设，求；
（3）证明：．
【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【详解】（1）∵或，∴，，
∴．
（2）∵当时，，
当时，第次取出来有个白球的可能性有两种：
第次袋中有个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，
即袋中有个白球，个黑球，第次取出来的也是白球的概率为；
第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次总数为12个，
故此时黑球数为个，这种情况发生的概率为；∴，∴综上可知，
（3）∵第次白球个数的数学期望分为两类情况：第次白球个数的数学期望为，由于白球和黑球的总数为12，第次取出来的是白球的概率为，第次取出来的是黑球的概率为，此时白球的个数为，∴
即．
【例2】小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
（1）规定第1次从小明开始．
（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望．
（2）若第1次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．
【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）见解析，（2）
【详解】（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为．
（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，
．
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，依题意，可取0，1，2，3，
所以，，
，．所以的分布列为

0
1
2
3






所以．
（2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为；②第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为．
因为①②两种情形是互斥的，所以，
所以．因为，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，即．
【例3】甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.
（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；
（2）设第次由甲投掷的概率为，求.
【答案】（1）.（2）
【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有

共21种.则点数之和大于6的概率为，小于等于6的概率为.
（1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：
①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为，
②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为，
甲为“幸运儿”的概率为；
（2）第次由甲投掷这一事件，包含两类：①第次由甲投掷，第次由甲投掷，其概率为，
②第次由乙投掷，第次由甲投掷，其概率为，
从而有，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
【例4】湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城.城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游.为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆.每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分.假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率.
（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取人（），记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）；（3）是常数
解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，记1分；参观马王堆的概率为，记2分，则的可能取值为3，4，5，6.其中，，，.所以的分布列为

3
4
5
6







.
（2）因为这人的合计得分为分，则其中有且只有1人计划参观马王堆，所以.
设，则.
两式相减，得，
所以.
（3）在随机抽取若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或
分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，则与为对立事件.
因为，，则（），即（）.
因为，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
即.因为，则时，，从而，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数.





1.垃圾分类，是指按一定标准将垃级分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
(1)当时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；
(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由.
【答案】(1)；
(2)不会超过预算，理由见解析.
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和次独立重复试验的概率计算公式进行求解即可；
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的所有可能取值为60，100，利用次独立重复试验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求出数学期望表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可.
(1)
设某个时间段在开启3套系统时就被确定需要检查污染源处理系统的事件为A，
则，
设某个时间段需要开启另外2套环境监测系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为B，
则．
所以某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为．
(2)
设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，
则X的所有可能取值为60，100．
且，．
．
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为．
所以实施此方案的最高费用为（万元）．
因为，所以不会超过预算．
2.从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；
(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望；
(3)用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在的数据组成新样本组A，其方差记为，把时间段在的数据组成新样本组B，其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）.
【答案】(1)平均数：4.35，75百分位数：5.25；
(2)分布列见解析，；
(3).
【分析】（1）用每一组的中点值乘以频率相加即得平均数，根据百分位数概念计算即可得第75百分位数的一个估计值；
（2）由题可得，服从二项分布，可根据公式求出分布列；
（3）根据前3组数据、后3组数据以及整体数据的离散程度进行判定
(1)
平均数等于，
前3组频率和，加上第4组得，
所以75百分位数：；
(2)
由题可知“预期合格”的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，则服从二项分布，




的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512

.
(3)
由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以，而这两组数据相比整体数据都要集中一些，所以.
3.设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：




…




…




…



·
…
…
…
…
…
…

现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．
(1)当n＝2时，求的联合分布列；
(2)设且计算．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由题意知：可取0，1，2，可取0，1，2，直接计算概率，列出的联合分布列即可；
（2）直接计算得，结合二项分布的期望公式求出即可.
(1)
可取0，1，2，可取0，1，2，则，，，
，，，
，故的联合分布列为：

0
1
2
0



1



2


·

(2)
当时，，
故，
所以，设服从二项分布，由二项分布的期望公式可得.
4.．2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0，2），[2，4），，[10，12]，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表．
时长/
[0，2）
[2，4）
[4，6）
[6，8）
[8，10）
[10，12]
频数
5
10
25
35
15
10

(1)若将频率作为概率，从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有1人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)现从戴口罩时长在[0，2）、[2，4）、[4，6）的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示戴口罩时长在[2，4）内的人数，求的分布列和数学期望；
(3)若将频率作为概率，政府为了鼓励市民在疫情频发期间积极佩戴口罩，准备每天按以下方案对每位市民发放口罩补贴（）：
时长/
[0，4）
[4，8）
[8，12]
补贴（元）
0



若全市有100万居民，试分析政府平均每天至少要准备多少经费用于此项开支？（参考数值：）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)政府平均每天至少要准备（元）用于此项开支
【分析】（1）由题意求出随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率，那么随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数服从二项分布，结合对立事件的概率，求得答案;
（2）由题意从戴口罩时长在[0，2）、[2，4）、[4，6）的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，戴口罩时长在[2，4）内的人数服从超几何分布，由此可求答案;
（3）由已知计算出发放口罩补贴Y的分布列，从而可计算发放补贴的期望，利用导数求其最值，可得答案.
(1)
居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为，
随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数为Z，则,
；
(2)
在[0，2）、[2，4）、[4，6）中分别抽取1，2，5人
X服从超几何分布，N＝8，M＝2，n＝3，
，k＝0，1，2．
X的分布列为
X
0
1
2
P




；
(3)
发放口罩补贴Y的分布列为
Y
0
1-t

P
0.15
0.6
0.25

令，
则，令，得，
f（t）在（0，ln2.4）上单调递减，在上单调递增，
故，
故政府平均每天至少要准备（元）用于此项开支．
5.甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率；
(2)求乙答对的题目数的分布列；
(3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
X
2
3
4
P




(3)甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数.
【分析】（1）根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率.
（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列.
（3）由（2）计算出乙平均答对题目数的期望值.利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值.由此得到两人平均答对的题目数的大小.
(1)
∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率
.
(2)
由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，
，
，
，
X的分布列为：
X
2
3
4
P




(3)
∵乙平均答对的题目数，
甲答对题目，
甲平均答对的题目数.

∴甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数.
6.2020年初，面对突如其来的新冠肺炎疫情，某省体育局适时推出线上万人健步走活动，全省14万人参赛，掀起了一场前所未有的“健步走热潮”，该省今年将继续举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数，并求中位数的估计值；
(2)若从样本中年龄在[50，70)的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)平均数为37，中位数估计值为35
(2)分布列见解析，数学期望为1
【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法，求得平均数和中位数.
（2）根据超几何分布的分布的知识计算出的分布列以及数学期望.
(1)
这60人年龄的平均数为15×0.15＋25×0.2＋35×0.3＋45×0.15＋55×0.1＋65×0.05＋75×0.05＝37.
前两组所占频率之和为（0.015＋0.020）×10＝0.35，
前三组数据频率之和为（0.015＋0.020＋0.030）×10＝0.65，
设中位数估计值为x，则0.35＋0.030×10×（x－30）＝0.5，解得x＝35.
(2)
由题意可知，年龄在[50，60）内的人数为6，[60，70）内的人数为3，X的可能取值有0，1，2，3.
，，
，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P





.
7.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0—25dB（分贝），并规定测试值在区间为非常优秀，测试值在区间为优秀，某单位25名人员都参加了听力测试，将所得测试值制成如图所示频率分布直方图：

(1)现从测试值在区间内的同学中任意抽取2人，其中听力非常优秀的同学人数为X，求X的数学期望；
(2)现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4.测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为，，，（其中，，，为编号音叉1，2，3，4的一个排列）.记，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求的概率.
【答案】(1)分布列见解析，。(2)
【分析】（1）结合超几何分布的数学期望计算方法，计算出的数学期望.
（2）结合古典概型的概率计算公式以及排列数的计算，计算出的概率.
(1)
听力等级为有人，听力等级为有人，
∴X的所有可能值为0，1，2.
∴，，.
∴X的数学期望为：.
(2)
序号，，，的排列总数为种，
当时，，，，，
当时，
，，，的取值为，，，或，，，或，，，.
所以时，序号，，，对应的情况为4种，
所以.
8.某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．

（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．
【分析】(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；
(2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；
②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.
【详解】解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
9.在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率



现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【分析】（1）直接根据公式计算得到，再根据正态分布的对称性及计算得到答案.
（2）获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，



（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
 
 20
 40
 50
 70
 100
 
 
 
 
 
 

∴.
10.2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【分析】（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：

0
1
2





.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
11.某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：

（1）求a，并试估计这盒产品的该项指标值的平均值．
（2）①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布，计算该批产品该项指标值落在上的概率；
②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中为优良，不高于为合格，高于为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品万盒的成本为万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润.
等级
合格
优良
优秀
售价




附：若，则，.
【答案】（1），；（2）①；② (万元)．
（1）由概率和为1，可求得；平均值等于每个小长方形面积（即概率）乘每组横坐标的中点，然后求和.
（2）①由题得，，结合参考数据知，即为所求概率；②设每盒该产品的售价为X元，列出X的分布列，利用期望公式即可求得每盒该产品的平均售价，进而求得结果．
【详解】（1）由，解得，
则平均值，
即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.
（2）①由题意可得，，则，则该批产品指标值落在上的概率为.
②设每盒该产品的售价为X元，由①可得X的分布列为
X
10
20
30
P




则每盒该产品的平均售价为，故每万盒的平均利润为 (万元)．
12.排球队的名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他人的概率相等，由甲开始传球
（1）求前次传球中，乙恰有次接到球的概率；
（2）设第次传球后球在乙手中的概率为，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（2）求得，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得数列的通项公式.
【详解】
（1）记事件为“前次传球中，乙恰有次接到球”，
；
（2）由题意，，，
，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，．
13.随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：
x
1
2
3
4
5
y(万人)
20
50
100
150
180

（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程中，.
【答案】（1），预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人；（2）约400元.
【分析】
（1）依题意，先求出，代入公式即可得到，，可得回归方程为，令，．所以预计到2022年该公司的网购人数能超过300万；
（2）遥控车移到第（）格的情况是下列两种，而且也只有两种.
①遥控车先到第格，又掷出偶数，其概率为
②遥控车先到第格，又掷出奇数，其概率为所以，即可证得是等比数列，
利用累加法求出数列的通项公式，即可求得失败和获胜的概率，从而计算出期望.
【详解】
解：（1）

故 从而
所以所求线性回归方程为，令，解得.
故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人
（2）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为,即.遥控车移到第（）格的情况是下列两种，而且也只有两种.
①遥控车先到第格，又掷出奇数，其概率为
②遥控车先到第格，又掷出偶数，其概率为所以，
当时，数列是公比为的等比数列

以上各式相加，得
（）， 获胜的概率
失败的概率设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为元，或
X的期望
参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约400元.