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专题3-7 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）
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这是一份专题3-7 导数压轴大题归类：不等式证明归类（2）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版），共13页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练10等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 不等式证明6：凸凹翻转型1
\l "_Tc26924" 【题型二】 不等式证明7：三角函数与导数型2
\l "_Tc12217" 【题型三】 不等式证明8：极值点偏移（不含参）2
\l "_Tc30563" 【题型四】 不等式证明9：极值点偏移（含参）3
\l "_Tc30563" 【题型五】 不等式证明10：三个“极值点”（零点）型4
\l "_Tc30563" 【题型六】 不等式证明11：比值代换（整体代换等）型 4
\l "_Tc30563" 【题型七】 不等式证明11：非对称型（零点值x1与x2系数不一致）5
\l "_Tc30563" 【题型八】 不等式证明12：韦达定理型6
\l "_Tc30563" 【题型九】 不等式证明13：利用第一问构造（包括泰勒展开）6
\l "_Tc30563" 【题型十】 不等式证明14：含ex和lnx型7
\l "_Tc30563" 【题型十一】 不等式证明15：先放缩再证明型7
\l "_Tc30563" 【题型十二】 不等式证明16：切线放缩证明“两根差”型8
\l "_Tc30563" 【题型十三】 不等式证明17：条件不等式证明9
\l "_Tc30563" 【题型十四】 综合证明：x1与x2综合9
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练10
【题型一】 不等式证明6:凹凸翻转型
【典例分析】
已知，.
（1）求函数的单调区间；
（2）对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立.
【提分秘籍】
基本规律
类型特征：
特殊技巧；
分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。
【变式演练】
1.已知．
（1）求函数的极值；
（2）证明：对一切，都有成立．
2.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：.
【题型二】 不等式证明7：三角函数与导数不等式
【典例分析】
已知函数，，．
（1）若在上单调递增，求a的最大值；
（2）当a取（1）中所求的最大值时，讨论在R上的零点个数，并证明．
【提分秘籍】
基本规律
1.证明思路和普通不等式一样。
2.充分利用正余弦的有界性
【变式演练】
1.设函数.
（1）求的极值点；
（2）设函数.证明：.
2.已知函数
（1）若，成立，求实数的取值范围;
（2）证明：有且只有一个零点，且．
【题型三】 不等式证明8：极值点偏移之不含参型
【典例分析】
.已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
1.求出函数的极值点；
2.构造一元差函数；
3.确定函数的单调性；
4.结合，判断的符号，从而确定、的大小关系
【变式演练】
1.已知函数.
（1）当时，判断在区间上的单调性；
（2）当时，若，且的极值在处取得，证明：.
2.已知函数.（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.
【题型四】 不等式证明9：极值点偏移之含参型
【典例分析】
已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；
求证：．
【提分秘籍】
基本规律
1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；
2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.
【变式演练】
1..已知函数.
（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：；
（3）设函数的两个零点、，求证：.
2.已知函数.（1）若f（1）=2，求a的值；
（2）若存在两个不相等的正实数，满足，证明：
①；②.
【题型五】 不等式证明10：三个“极值点（零点）”不等式
【典例分析】
已知函数在处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，若函数的3个极值点分别为，，，求证：．
【提分秘籍】
基本规律
1.可以通过代换消去一个极值点。
2.一些函数也可以求出具体的极值点
3.通过分类讨论可以“锁定”一个的取值范围，适当放缩。
【变式演练】
1.已知函数.
（1）若曲线在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若函数有3个不同的零点，，，求实数的取值范围，并证明：.
2.已知函数f(x)=ex−ax21+x．
（1）若a=0，讨论f(x)的单调性．
（2）若f(x)有三个极值点x1，x2，x3．
①求a的取值范围；
②求证：x1+x2+x3>−2．
【题型六】 不等式证明11：比值代换（整体代换等）
【典例分析】
已知函数（为常数，且）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若有两个极值点，，证明：.
【提分秘籍】
基本规律
1.两个极值点（或者零点），可代入得到两个“对称”方程
2.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。
【变式演练】
1.已知函数，.
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；
（2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，证明：.
2.和是关于的方程的两个不同的实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：.
【题型七】 不等式证明11：非对称型（零点x1与x2系数不一致）
【典例分析】
已知，.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，是的极值点，求证：.
【提分秘籍】
基本规律
1.可以借助“比值”等代换方式引入参数，转化为一个变量。
2.可以利用“极值点”偏移构造新函数证明。
【变式演练】
1.已知函数．
（1）讨论函数零点的个数；
（2）若函数恰有两个零点，证明．
2.已知函数既有极大值，又有极小值.
（1）求实数的取值范围；
（2）记为函数的极小值点，实数且，证明：.
【题型八】 不等式证明12：韦达定理型
【典例分析】
已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去x1，x2留下参数
【变式演练】
1.已知函数，在定义域上有两个极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证:
2.已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：当，，，．
【题型九】 不等式证明13：利用第一问
【典例分析】
已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若正数m，n满足，求证．
【提分秘籍】
基本规律
1.可以利用第一问单调性提炼出不等式
2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式
3.可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）
【变式演练】
1.设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：.
2..已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）证明：.
【题型十】 不等式证明14：含ex和lnx型
【典例分析】
已知函数．
（1）若是的极值点，求，并讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
1.因为含有ex和lnx这类超越函数，，可以借助“不确定根”（隐零点）代换放缩证明
2.利用lnx求导为1/x，ex求导无限循环特性，把lnx独立分离出，降低导函数零点寻找的计算难度。
3.可以利用“同构”技巧
【变式演练】
1.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：，.
2.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【题型十一】 不等式证明15：先放缩再证明
【典例分析】
设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
放缩构造法：
1.根据已知条件适当放缩；
2.利用常见放缩结论；
【变式演练】
1.已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；
（2）若，证明：.
2.已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：．
【题型十二】 不等式证明16.：切线放缩证明两根差型（剪刀模型）
【典例分析】
已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；
（3）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．
【提分秘籍】
基本规律
本专题又称之为“剪刀模型”，可以如下图理解（其中一种思维）
【变式演练】
1.已知函数，其中.
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
(III)若关于的方程有两个正实根，求证： .
2.已知函数.
（1）设曲线在处的切线为，求证：；
（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.
【题型十三】 不等式证明17：条件不等式证明
【典例分析】
已知函数．
（1）设函数，讨论在区间上的单调性；
（2）若存在两个极值点，（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
1.可以利用“对称性”构造方程同解变形
2.一些题型的证法，实质是类似于“极值点偏移”
【变式演练】
1.已知.
（1）证明：是上的增函数，
（2）若，且，证明：.
2.已知函数.
（1）讨论零点的个数；
（2）设m，n为两个不相等的正数，且，证明：.
【题型十四】 综合证明：x1与x2型
【典例分析】
已知函数．
（1）判断函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证：．
【变式演练】
1.已知函数，，，是两个任意实数且．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（3）求证：．
2..已知函数．
（1）若函数在点处的切线斜率为，求的值．
（2）若函数存在减区间，求的取值范围．
（3）求证：若，，都有．
1.（2020广东省高考压轴卷）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线 在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；（2）求的单调区间；
（3）设，其中是的导函数．证明：对任意，．
2.（中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三上学期11月测试数学试题）已知函数.
（1）设且，求函数的最小值；
（2）当，证明：.
3.（江苏省常州市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知函数.（1）求函数的极大值；
（2）设实数a，b互不相等，且，证明：.
4.（山东省泰安市新泰市第一中学东校2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若．
（1）当，时，讨论函数的单调性；
（2）若，且有两个极值点，，证明．
5.（河南省新乡市2021-2022学年高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知函数.
（1）求的极值.
（2）若，，证明：.
6.（广东省揭阳市揭东区2022届高三上学期数学试题）已知，
（1）求在处的切线方程以及的单调性；
（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.
7.（山东省临沂市2021-2022学年高三上学期数学试题）已知函数.
（1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切，求实数的值；否则请说明理由；
（2）若函数恰好有两个零点、，求证：.
8.（辽宁省葫芦岛市协作校2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题）已知是函数的一个极值点.
（1）求的值；
（2）证明：.
9.（内蒙古赤峰市2021-2022学年高三上学期考试数学试题）已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
10.（河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数，.
（1）若恒成立，求实数m的取值范围；
（2）求证：当时，.
11.已知函数，.
（1）若，求函数的最大值；
（2）若，
（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；
（ii）设，为方程()的解，求证：.
12.（安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期11月数学试题）已知函数，
（1）求的极值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）已知，，且，求证：．
13.已知函数，
（1）不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值集合；
（2）若函数与函数的图象有且仅有一条公切线，求实数a的取值集合
（3）设，，若函数有两个极值点，且，求证：.
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 不等式证明6：凸凹翻转型1
\l "_Tc26924" 【题型二】 不等式证明7：三角函数与导数型2
\l "_Tc12217" 【题型三】 不等式证明8：极值点偏移（不含参）2
\l "_Tc30563" 【题型四】 不等式证明9：极值点偏移（含参）3
\l "_Tc30563" 【题型五】 不等式证明10：三个“极值点”（零点）型4
\l "_Tc30563" 【题型六】 不等式证明11：比值代换（整体代换等）型 4
\l "_Tc30563" 【题型七】 不等式证明11：非对称型（零点值x1与x2系数不一致）5
\l "_Tc30563" 【题型八】 不等式证明12：韦达定理型6
\l "_Tc30563" 【题型九】 不等式证明13：利用第一问构造（包括泰勒展开）6
\l "_Tc30563" 【题型十】 不等式证明14：含ex和lnx型7
\l "_Tc30563" 【题型十一】 不等式证明15：先放缩再证明型7
\l "_Tc30563" 【题型十二】 不等式证明16：切线放缩证明“两根差”型8
\l "_Tc30563" 【题型十三】 不等式证明17：条件不等式证明9
\l "_Tc30563" 【题型十四】 综合证明：x1与x2综合9
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练10
【题型一】 不等式证明6:凹凸翻转型
【典例分析】
已知，.
（1）求函数的单调区间；
（2）对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立.
【提分秘籍】
基本规律
类型特征：
特殊技巧；
分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。
【变式演练】
1.已知．
（1）求函数的极值；
（2）证明：对一切，都有成立．
2.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：.
【题型二】 不等式证明7：三角函数与导数不等式
【典例分析】
已知函数，，．
（1）若在上单调递增，求a的最大值；
（2）当a取（1）中所求的最大值时，讨论在R上的零点个数，并证明．
【提分秘籍】
基本规律
1.证明思路和普通不等式一样。
2.充分利用正余弦的有界性
【变式演练】
1.设函数.
（1）求的极值点；
（2）设函数.证明：.
2.已知函数
（1）若，成立，求实数的取值范围;
（2）证明：有且只有一个零点，且．
【题型三】 不等式证明8：极值点偏移之不含参型
【典例分析】
.已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
1.求出函数的极值点；
2.构造一元差函数；
3.确定函数的单调性；
4.结合，判断的符号，从而确定、的大小关系
【变式演练】
1.已知函数.
（1）当时，判断在区间上的单调性；
（2）当时，若，且的极值在处取得，证明：.
2.已知函数.（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.
【题型四】 不等式证明9：极值点偏移之含参型
【典例分析】
已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；
求证：．
【提分秘籍】
基本规律
1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；
2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.
【变式演练】
1..已知函数.
（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：；
（3）设函数的两个零点、，求证：.
2.已知函数.（1）若f（1）=2，求a的值；
（2）若存在两个不相等的正实数，满足，证明：
①；②.
【题型五】 不等式证明10：三个“极值点（零点）”不等式
【典例分析】
已知函数在处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，若函数的3个极值点分别为，，，求证：．
【提分秘籍】
基本规律
1.可以通过代换消去一个极值点。
2.一些函数也可以求出具体的极值点
3.通过分类讨论可以“锁定”一个的取值范围，适当放缩。
【变式演练】
1.已知函数.
（1）若曲线在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若函数有3个不同的零点，，，求实数的取值范围，并证明：.
2.已知函数f(x)=ex−ax21+x．
（1）若a=0，讨论f(x)的单调性．
（2）若f(x)有三个极值点x1，x2，x3．
①求a的取值范围；
②求证：x1+x2+x3>−2．
【题型六】 不等式证明11：比值代换（整体代换等）
【典例分析】
已知函数（为常数，且）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若有两个极值点，，证明：.
【提分秘籍】
基本规律
1.两个极值点（或者零点），可代入得到两个“对称”方程
2.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。
【变式演练】
1.已知函数，.
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；
（2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，证明：.
2.和是关于的方程的两个不同的实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：.
【题型七】 不等式证明11：非对称型（零点x1与x2系数不一致）
【典例分析】
已知，.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，是的极值点，求证：.
【提分秘籍】
基本规律
1.可以借助“比值”等代换方式引入参数，转化为一个变量。
2.可以利用“极值点”偏移构造新函数证明。
【变式演练】
1.已知函数．
（1）讨论函数零点的个数；
（2）若函数恰有两个零点，证明．
2.已知函数既有极大值，又有极小值.
（1）求实数的取值范围；
（2）记为函数的极小值点，实数且，证明：.
【题型八】 不等式证明12：韦达定理型
【典例分析】
已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去x1，x2留下参数
【变式演练】
1.已知函数，在定义域上有两个极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证:
2.已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：当，，，．
【题型九】 不等式证明13：利用第一问
【典例分析】
已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若正数m，n满足，求证．
【提分秘籍】
基本规律
1.可以利用第一问单调性提炼出不等式
2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式
3.可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）
【变式演练】
1.设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：.
2..已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）证明：.
【题型十】 不等式证明14：含ex和lnx型
【典例分析】
已知函数．
（1）若是的极值点，求，并讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
1.因为含有ex和lnx这类超越函数，，可以借助“不确定根”（隐零点）代换放缩证明
2.利用lnx求导为1/x，ex求导无限循环特性，把lnx独立分离出，降低导函数零点寻找的计算难度。
3.可以利用“同构”技巧
【变式演练】
1.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：，.
2.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【题型十一】 不等式证明15：先放缩再证明
【典例分析】
设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
放缩构造法：
1.根据已知条件适当放缩；
2.利用常见放缩结论；
【变式演练】
1.已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；
（2）若，证明：.
2.已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：．
【题型十二】 不等式证明16.：切线放缩证明两根差型（剪刀模型）
【典例分析】
已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；
（3）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．
【提分秘籍】
基本规律
本专题又称之为“剪刀模型”，可以如下图理解（其中一种思维）
【变式演练】
1.已知函数，其中.
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
(III)若关于的方程有两个正实根，求证： .
2.已知函数.
（1）设曲线在处的切线为，求证：；
（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.
【题型十三】 不等式证明17：条件不等式证明
【典例分析】
已知函数．
（1）设函数，讨论在区间上的单调性；
（2）若存在两个极值点，（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
1.可以利用“对称性”构造方程同解变形
2.一些题型的证法，实质是类似于“极值点偏移”
【变式演练】
1.已知.
（1）证明：是上的增函数，
（2）若，且，证明：.
2.已知函数.
（1）讨论零点的个数；
（2）设m，n为两个不相等的正数，且，证明：.
【题型十四】 综合证明：x1与x2型
【典例分析】
已知函数．
（1）判断函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证：．
【变式演练】
1.已知函数，，，是两个任意实数且．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（3）求证：．
2..已知函数．
（1）若函数在点处的切线斜率为，求的值．
（2）若函数存在减区间，求的取值范围．
（3）求证：若，，都有．
1.（2020广东省高考压轴卷）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线 在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；（2）求的单调区间；
（3）设，其中是的导函数．证明：对任意，．
2.（中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三上学期11月测试数学试题）已知函数.
（1）设且，求函数的最小值；
（2）当，证明：.
3.（江苏省常州市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知函数.（1）求函数的极大值；
（2）设实数a，b互不相等，且，证明：.
4.（山东省泰安市新泰市第一中学东校2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若．
（1）当，时，讨论函数的单调性；
（2）若，且有两个极值点，，证明．
5.（河南省新乡市2021-2022学年高三上学期第一次模拟考试数学试题）已知函数.
（1）求的极值.
（2）若，，证明：.
6.（广东省揭阳市揭东区2022届高三上学期数学试题）已知，
（1）求在处的切线方程以及的单调性；
（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.
7.（山东省临沂市2021-2022学年高三上学期数学试题）已知函数.
（1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切，求实数的值；否则请说明理由；
（2）若函数恰好有两个零点、，求证：.
8.（辽宁省葫芦岛市协作校2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题）已知是函数的一个极值点.
（1）求的值；
（2）证明：.
9.（内蒙古赤峰市2021-2022学年高三上学期考试数学试题）已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
10.（河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数，.
（1）若恒成立，求实数m的取值范围；
（2）求证：当时，.
11.已知函数，.
（1）若，求函数的最大值；
（2）若，
（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；
（ii）设，为方程()的解，求证：.
12.（安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期11月数学试题）已知函数，
（1）求的极值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）已知，，且，求证：．
13.已知函数，
（1）不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值集合；
（2）若函数与函数的图象有且仅有一条公切线，求实数a的取值集合
（3）设，，若函数有两个极值点，且，求证：.
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