专题1.2 矩形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份专题1.2 矩形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共28页。

专题1.2 矩形的性质与判定（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1、掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系；
2、理解并掌握矩形的性质定理、直角三角形斜边中线定理及证明过程;会用矩形的性质定理进行推导证明;
3、会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．
【知识点梳理】
考点 1 矩形的性质 ：
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）对角线相等
（3）四个角都是直角。
注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
考点2 直角三角形斜边上的中线：
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。


考点3 矩形的判定：
※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）四个角都相等的四边形是矩形。
【典例分析】
【考点 1 矩形的性质】
【典例1】（2022•青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO＝5，AB＝6，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．28 B．32 C．48 D．50
【变式1-1】（2022春•东城区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝6，则OC＝（　　）

A．12 B． C．6 D．3
【变式1-2】（2022春•中山市期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AD的长为（　　）

A．4 B．5 C．3 D．4
【变式1-3】（2022•青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO＝5，AB＝6，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．28 B．32 C．48 D．50



【典例2】（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（　　）




A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2-1】（2022•武功县一模）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB交BC于点P，连接OD，若OP＝3，AD＝8，则OD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-2】（2022•兰州模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，AD＝4，则OE＝（　　）

A． B． C．2 D．
【考点2 直角三角形斜边上的中线】
【典例3】（2022春•防城区期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（　　）

A．3km B．4km C．5km D．6km
【变式3-1】（2022春•北京期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【变式3-2】（2022•宁德模拟）如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，若BD＝6，则AO＝　 　．

【变式3-3】（2021秋•龙泉驿区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．10
【考点3 矩形的判定】
【典例4】（2022春•越秀区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（　　）

A．∠OBC＝∠OCB B．∠AOB＝60° C．AC⊥BD D．AB＝AD
【变式4-1】（2021春•丰台区期末）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明▱ABCD是矩形，这个条件可以是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠AOB＝60°

【变式4-2】（2021秋•高新区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO
【变式4-3】（2021秋•法库县期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中三个角是否都为直角
C．测量对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【典例5】（2022春•开封期中）如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求证：▱ABCD是矩形．


【变式5-1】（2021秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；

【变式5-2】（2021秋•皇姑区校级期中）如图，点B在线段MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C和点D．试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．


【典例6】（2022春•盐城月考）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AF∥CB交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由．


【变式6-1】（2022•青岛一模）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E为AB中点，过点A作AF∥BD，交DE延长线于点F．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请证明你的结论．


【变式6-2】（2022春•滨海县月考）如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．






【考点 4 矩形的性质与判定】
【典例7】（2022春•景县期中）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：四边形BEFD是矩形；
（3）四边形BEFD的周长为 　 　．






【变式7-1】（2022春•长沙期中）如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积．





【变式7-2】（2022•隆阳区模拟）如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若S四边形ABCD＝4，求BD的长．









【变式7-3】（2022春•邗江区校级月考）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
（1）求证：四边形OCEB是矩形；
（2）如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长．

















专题1.2 矩形的性质与判定（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1、掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系；
2、理解并掌握矩形的性质定理、直角三角形斜边中线定理及证明过程;会用矩形的性质定理进行推导证明;
3、会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．
【知识点梳理】
考点 1 矩形的性质 ：
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）对角线相等
（3）四个角都是直角。
注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
考点2 直角三角形斜边上的中线：
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。


考点3 矩形的判定：
※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）四个角都相等的四边形是矩形。
【典例分析】
【考点 1 矩形的性质】
【典例1】（2022•青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO＝5，AB＝6，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．28 B．32 C．48 D．50
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝10，∠ABC＝90°，
∴BC＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×8＝48，
故选：C．
【变式1-1】（2022春•东城区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝6，则OC＝（　　）

A．12 B． C．6 D．3
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90，AC＝BD＝2OC，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AB＝6，
∴BD＝2AB＝12，
∵BD＝2OC，
∴OC＝6．
故选：C．
【变式1-2】（2022春•中山市期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AD的长为（　　）

A．4 B．5 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝8，
∴AC＝BD＝8，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝OA＝4，
∴AD＝＝4，
故选：D．
【变式1-3】（2022•青羊区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO＝5，AB＝6，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．28 B．32 C．48 D．50
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝10，∠ABC＝90°，
∴BC＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×8＝48，
故选：C．

【典例2】（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（　　）




A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB，
∵AE＝2，
∴OE＝2，
∴OD＝OB＝2OE＝4；
故选：C．
【变式2-1】（2022•武功县一模）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB交BC于点P，连接OD，若OP＝3，AD＝8，则OD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝8，OP＝3，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OP∥AB，
∴P是BC边的中点，
∴BC＝AD＝8，AB＝2OP＝6，∠B＝90°，
∴AC＝＝10，
∵点O为AC的中点，∠ADC＝90°，
∴OD＝AC＝5，
故选：C．
【变式2-2】（2022•兰州模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，AD＝4，则OE＝（　　）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵∠DAE＝2∠BAE，
∴∠BAE＝30°，∠DAE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠AOE＝∠ADO+∠DAO＝60°，
∴tan∠AOE＝，
∵AD＝4，
∴AE＝AD＝2，
∴OE＝＝＝，
故选：A．

【考点2 直角三角形斜边上的中线】
【典例3】（2022春•防城区期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（　　）

A．3km B．4km C．5km D．6km
【答案】D
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵点M是AB的中点，
∴CM＝AB＝6（千米），
故选：D．
【变式3-1】（2022春•北京期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，
则OB＝AC＝5，
故选：A．
【变式3-2】（2022•宁德模拟）如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，若BD＝6，则AO＝　 　．

【答案】3
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，AO＝AC，BO＝BD，
∵BD＝6，
∴AO＝BO＝BD＝3．
故答案为：3
【变式3-3】（2021秋•龙泉驿区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，OB＝OD，
∴BD＝＝＝10，
∴BO＝BD＝5；
故选：C
【考点3 矩形的判定】
【典例4】（2022春•越秀区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（　　）

A．∠OBC＝∠OCB B．∠AOB＝60° C．AC⊥BD D．AB＝AD
【答案】A
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【变式4-1】（2021春•丰台区期末）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明▱ABCD是矩形，这个条件可以是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠AOB＝60°
【答案】B
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、由四边形ABCD是平行四边形，∠OAB＝60°，不能判定▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•高新区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO
【答案】B
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．

【变式4-3】（2021秋•法库县期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中三个角是否都为直角
C．测量对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【答案】B
【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B．
【典例5】（2022春•开封期中）如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求证：▱ABCD是矩形．

【答案】略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵E是DC边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SSS）；
（2）由（1）可知，△ADE≌△BCE，
∴∠D＝∠C，
∵∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【变式5-1】（2021秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；

【答案】略
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
【变式5-2】（2021秋•皇姑区校级期中）如图，点B在线段MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C和点D．试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．

【答案】略
【解答】解：四边形ACBD是矩形，理由如下：
∵CD∥MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OB＝OC＝OD，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形ACBD是矩形．
【典例6】（2022春•盐城月考）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AF∥CB交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由．

【答案】（1） 略 （2）：AB＝AC时，四边形BDAF为矩形
【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD；
（2）解：△ABC满足：AB＝AC时，四边形BDAF为矩形，
理由如下：
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，
由（1）知四边形BDAF为平行四边形，
∴▱BDAF为矩形
【变式6-1】（2022•青岛一模）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E为AB中点，过点A作AF∥BD，交DE延长线于点F．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请证明你的结论．

【答案】（1） 略（2）当△ABC满足AB＝CB时，四边形AFBD是矩形
【解答】（1）证明：∵AF∥BD，
∴∠FAE＝∠DBE，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA），
∴AF＝BD；
（2）解：当△ABC满足AB＝CB时，四边形AFBD是矩形，理由如下：
由（1）可知，AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝CB，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【变式6-2】（2022春•滨海县月考）如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．

【答案】（1） OE＝OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
【解答】解：（1）OE＝OF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，
∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴OE＝OC，OC＝OF，
∴OE＝OF．
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO＝CO，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF＝∠BCD，
∴∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
【考点 4 矩形的性质与判定】
【典例7】（2022春•景县期中）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：四边形BEFD是矩形；
（3）四边形BEFD的周长为 　 　．

【答案】（1）略（2）略 （3）2+2
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝1，AC＝，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝××1＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵CE＝CD，CF＝BC，
∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线，
∴OC∥BE，
∴BE⊥BD，
∴∠DBE＝90°，
∴平行四边形BEFD是矩形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC，
由（2）可知，OC是△BDE的中位线，
∴BE＝2OC＝AC＝，
∵四边形BEFD是矩形，
∴EF＝BD＝1，BE＝DF＝，
∴四边形BEFD的周长＝2（BD+BE）＝2+2，
故答案为：2+2．
【变式7-1】（2022春•长沙期中）如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积．


【答案】（1）略 （2）3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是▱ABCD中BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，
∴∠ACF＝90°，
∴AC⊥DF，
∵△AFD是等边三角形，
∴AF＝DF＝2，CF＝DF＝，
∴AC＝＝＝3，
∴S矩形ABFC＝AC•CF＝3×＝3．
【变式7-2】（2022•隆阳区模拟）如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若S四边形ABCD＝4，求BD的长．

【答案】（1）略 （2）4
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∵AO＝CO，
∴AC＝2OA，
∴AC＝2AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BC＝＝＝AB，
∵S四边形ABCD＝AB•BC＝AB2＝4，
∴AB2＝4，
∴AB＝＝2，
∴OB＝2，
∴BD＝2OB＝4．
【变式7-3】（2022春•邗江区校级月考）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
（1）求证：四边形OCEB是矩形；
（2）如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长．

【答案】（1）略 （2）10
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∵平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10．