专题4.2.4 相似三角形的应用（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

专题4.2.4  相似三角形应用（专项训练）

1．（2021秋•玉门市期末）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场有一处积水，若小李距积水2m，他正好从水面上看到距他约10m的前方一棵树顶端的影子（如图，积水水面大小忽略不计）．已知小李身高1.6m，请你计算一下树高大约是多少米？（积水与树和人都在同一直线上）

2．（2021秋•秦都区期末）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．

3.（2022•巨野县模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．

4．（2020秋•昌图县期末）如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度OE．

5．（2021秋•任丘市期末）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．

（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？

（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

6.（2022•富平县二模）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．

7．（2021秋•永定区期末）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？

8．（2017秋•响水县期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．

（1）求路灯A的高度；

（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？

专题4.2.4  相似三角形应用（专项训练）

1．（2021秋•玉门市期末）雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场有一处积水，若小李距积水2m，他正好从水面上看到距他约10m的前方一棵树顶端的影子（如图，积水水面大小忽略不计）．已知小李身高1.6m，请你计算一下树高大约是多少米？（积水与树和人都在同一直线上）

【解答】解：由题意得：△CDE∽△ABE，

∴，

∵CD＝1.6米，DE＝2米，BE＝8米，

即：，

解得：AB＝6.4，

所以树高大约是6.4米．

2．（2021秋•秦都区期末）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．

【解答】解：如图中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．

∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，

∵AB＝2.5米．

∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），

∵AJ∥CH，

∴△EAJ∽△ECH，

∴＝，

∴＝，

∴CH＝12.5（米），

∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．

答：大楼的高度CD为14米．

3.（2022•巨野县模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．

【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D

∴△DEF∽△DCB

∴＝

∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，

∴＝

∴BC＝5米，

∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5米

∴树高为6.5米．

4．（2020秋•昌图县期末）如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5m，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度OE．

【解答】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．

∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，

∴△BAF∽△OAE，

∴＝，即＝，

∴OE＝1.5OA，

∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，

∴△GDC∽△EOC，

∴＝，即＝，

∴OE＝OA+4，

∴OE＝1.5OA，

∴1.5OA＝OA+4，

∴OA＝8m，OE＝12m．

答：教学楼的高度OE为12m．

5．（2021秋•任丘市期末）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．

（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？

（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

【解答】解：（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．

∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，

∵AB＝2.5米．

∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），

∵AJ∥CH，

∴△EAJ∽△ECH，

∴＝，

∴＝，

∴CH＝12.5（米），

∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．

（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，

∵AR∥GT，

∴＝，

∴＝，

∴x＝2.5，

∵2.5﹣2＝0.5（米），

∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．

6.（2022•富平县二模）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．

【解答】解：过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，

∵AE∥BG，AB⊥BG，

∴AE⊥AB，

∵DM⊥AB，

∴AE∥MD∥BG，

∴AM等于△ADE的边AE上的高，

∵AB⊥BG，EH⊥BG，CD⊥BG，

∴AB∥EH∥CD，

∴AE＝BH＝3米．BM＝CD＝1.8米，

∵AE∥BG，

∴△ADE∽△GDF，

∴，即，

∴AM＝3.6（米），

∴AB＝AM+BM＝5.4（米），

答：路灯主杆AB的高度为5.4米

7．（2021秋•永定区期末）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？

【解答】解：∵BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴＝，

即＝，

∴AB＝30．

答：河的宽度AB为30米．

8．（2017秋•响水县期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．

（1）求路灯A的高度；

（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？

【解答】解：（1）设BC＝x米，AB＝y米，

由题意得，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，身高MC＝NE＝1.5米，

∵△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，

∴，，

，，

解得，

经检验，是分式方程的根，

∴路灯A的高度为6米．

（2）如图，连接AG交BF延长线于点H，

∵△ABH∽△GFH，GF＝1.5米，BH＝3+3+2+FH＝8+FH，

∴，

，

解得（米）．

答：当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是米．