2021-2022学年重庆市九龙坡区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市九龙坡区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列各数中为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在下列条件中，能判断的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是(    )

A. 调查我国首艘货运飞船“天舟一号”的零部件质量
B. 调查九龙坡区中学生对动物园景区的喜爱程度
C. 调查某社区居民对九龙坡区特产的知晓率
D. 调查九龙坡区居民观看天天节目的情况

5. 若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题中，真命题是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角互补
D. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

7. 已知是二元一次方程组的解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空：二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人乘车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 观察下列一组图形中点的个数，其中第个图中共有个点，第个图中共有个点，第个图中共有个点，按此规律，则第个图中共有点的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的值可能为下面(    )

A.  B.  C.  D.

11. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 整数使得关于，的二元一次方程组的解为正整数均为正整数，且使得关于的不等式组
    无解，则所有满足条件的的和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 计算______．
14. 点在轴上，则点的坐标是______．
15. 如图，，直线交于点，过点作，交于点，若，则______度．

16. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是______．
17. 如图，已知，，，则______度．

18. 小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得分，套中小猴一次得分，套中小狗一次得分．小明共套次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次．小明套次共得分，问：小鸡被套中______次．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 解方程组：
    ；
    ．
20. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解．
     
21. 某校有学生人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了部分学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题：
    
    本次抽样调查的样本容量是______；
    请你补全条形统计图，并在图上标明国学和篮球的具体数据；
    参与科技制作社团所在扇形的圆心角为______度；
    请你估计全校有多少学生报名参加国学社团活动．
22. 已知：如图，．
    求证：；
    若平分，平分，且，求的度数．

23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，点为内任意一点，把按某个方向平移后，点的对应点为点，点，，的对应点分别为，，．
    写出点、、的坐标；
    在图中画出平移后的；
    若点在轴上，且的面积等于的面积的，求点的坐标．

24. “新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱生产物资；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱生产物资．
    求辆大货车和辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
    现计划用这样的两种货车共辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次运输需要费用元，每辆小货车一次运输需要费用元．若运输物资不少于箱，并且运输总费用小于元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
25. 阅读材料：
    已知关于，的二元次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为为整数问题：求方程的所有正整数解．
    小明参考阅读材料，解决该问题如下：
    解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为为整数．
    因为，解得因为为整数，所以或．
    所以该方程的正整数解为和．
    通过你所知晓的知识，请解决以下问题：
    方程的全部整数解表示为：为整数，则______；
    请你参考小明的解题方法，求方程的全部正整数解；
    若，均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点，、的长满足．
    求，两点坐标；
    如图，把线段绕点顺时针旋转到线段，点在第二象限，轴于点．
    如图，点为线段上一点，于点，于点若，求的值；
    如图，点为延长线上一点，，交直线于点，的平分线与的邻补角的平分线交于点问：点在运动的过程中，的大小是否变化？并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
根据无理数的定义无理数是指无限不循环小数逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：开方开不尽的根式，含有的，一些有规律的数，如两个之间依次多一个等．
 

2.【答案】 

【解析】解：的算术平方根是，
故选：．
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，可以表示为，其中，正的平方根叫做的算术平方根．正数的算术平方根是正数，的算术平方根是，负数没有算术平方根．
本题考查算术平方根的定义，明确平方根与算术平方根的区别与联系是本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
故A不符合题意；
由，不能判定，
故B不符合题意；
，
，
故C不符合题意；
，
，
故D符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理判断即可得解．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：调查我国首艘货运飞船“天舟一号”的零部件质量，适宜采用全面调查方式，因此选项A符合题意；
B.调查九龙坡区中学生对动物园景区的喜爱程度，适合使用抽样调查，因此选项B不符合题意；
C.调查某社区居民对九龙坡区特产的知晓率，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D.调查九龙坡区居民观看天天节目的情况，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时乘，不等号方向改变，即，必须规定，故本选项不符合题意．
B、在不等式的两边同时减去，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意．
C、在不等式的两边同时乘，再加上，不等号方向改变，即，故本选项符合题意．
D、不妨设，，则，故本选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
 

6.【答案】 

【解析】解：相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，是假命题，故本选项不符合题意；
B.平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，故本选项符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法错误，是假命题，故本选项不符合题意；
D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项说法错误，是假命题，故本选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角的定义，平行线的判定和性质解答即可．
本题主要考查了对顶角的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握相关的定义和定理是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是二元一次方程组的解，
代入得：，
解得：，，
，
故选：．
把代入二元一次方程组，即可求出、的值，再把、的值代入，即可求出答案．
本题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值，能求出、的值是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：若设有人，辆车，
根据题意可得：，
故选：．
根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】方法一：
解：第个图中共有个点，
第个图中共有个点，
第个图中共有个点，
第个图中共有个点，

第个图有个点．
所以第个图中共有点的个数是．
故选：．
由图可知：其中第个图中共有个点，第个图中共有个点，第个图中共有个点，由此规律得出第个图有个点．
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
，
解得，
又，
的值可能为．
故选：．
根据第二象限内的点的纵坐标大于零，可得不等式，解不等式，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

11.【答案】 

【解析】解：设长方形纸片的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
，，
点的坐标为
故选：．
设长方形纸片的长为，宽为，根据点的坐标，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合点的位置，即可得出点的坐标．
本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标确定位置，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程组，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
为整数，，为正整数，
或或或，
解得：或或或，
不等式组整理得：，
不等式组无解，
，
解得：，
满足题意的值为或或，之和为．
故选：．
表示出方程组的解，由为整数且方程组的解为正整数确定出的值，再由不等式组无解，确定出满足题意的值，求出之和即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
先化简，去绝对值符号，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得：，
故，
故点的坐标为：．
故答案为：．
直接利用轴上横坐标为，进而得出的值即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，根据轴上点的横坐标为得出关于的方程是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
．
又，
，
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质推知，则由垂直的定义和直角三角形的两个锐角互余的性质来求的度数．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握“两直线平行，内错角相等”的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
不等式组有解，
，
解得，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，延长至，并交于点，

，，
，
，
又，，
．
故答案为：．
如图，延长至，并交于点由于，所以，那么，根据三角形外角的性质，可推断出．
本题主要考查平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，
根据题意，得，
，消去，得，
解得，，
，
，
解得：，
的取值只能是，，，，，
，是整数，
必须是的倍数，
或，
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，．
小鸡被套中次，
故答案为：．
设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，根据题意列出三元一次方程组，解方程组时，根据、、都是正整数来确定它们的取值．
本题考查的是三元一次不定方程的解法，根据题意列出方程，并讨论符合条件、、都是整数的未知数的取值是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
得，，
得，，
将代入得，，
解得，
所以方程组的解为；
，
由得，，
由得，，
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
所以方程组的解为． 

【解析】方程变形为，再运用加减消元法解答即可；
先将方程组的两个方程整理化简，然后运用加减消元法解答即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
 

20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次抽样调查的样本容量是，
故答案为：；
参与篮球社的人数人，
参与国学社的人数为人，
补全条形统计图如图所示；

参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
名，
答：估计全校有名学生报名参加国学社团活动．
利用摄影社团的人数除以摄影社团所占的百分比即可得到结论；
求出参与篮球社的人数和国学社的人数，补全条形统计图即可；
利用科技制作社团所占的百分比乘以即可得到结论；
利用全校学生数乘以参加国学社团活动所占的百分比即可得到结论．
此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】证明：，
，
又，
，
；
解：由得：，
，，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质即可得出，再根据条件，即可得到，进而判定．
由，得，由角平分线的性质可求得的度数，再由，求得．
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的综合应用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
 

23.【答案】解：点的对应点为点，
将向左平移一个单位，向上平移个单位，
，，；
如图，即为所求；

的面积，
，
，
，
或，
或 

【解析】根据平移的特征知，将向左平移一个单位，向上平移个单位，从而得出点、、的坐标；
根据平移的性质，即可画出平移后的；
首先求出的面积，再根据面积关系得出的长，从而得出点的坐标．
本题主要考查了平移的性质，三角形的面积等知识，根据面积关系求出的长度是解题的关键．
 

24.【答案】解：设辆大货车可以运输箱生产物资，辆小货车一次可以运输箱生产物资，
根据题意得：，
解得，
答：辆大货车可以运输箱生产物资，辆小货车一次可以运输箱生产物资；
设用大货车辆，则用小货车辆，
运输物资不少于箱，并且运输总费用小于元，
，
解得，
为整数，
可取，，，
一共有种方案：
用大货车辆，用小货车辆；用大货车辆，用小货车辆；用大货车辆，用小货车辆；
设运输所需费用为元，
，
，
随的增大而增大，
时，最小，最小为元，
此时辆，
答：一共有种方案：用大货车辆，用小货车辆；用大货车辆，用小货车辆；用大货车辆，用小货车辆；当用大货车辆，用小货车辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是元． 

【解析】设辆大货车可以运输箱生产物资，辆小货车一次可以运输箱生产物资，根据题意得：，解得辆大货车可以运输箱生产物资，辆小货车一次可以运输箱生产物资；
设用大货车辆，根据运输物资不少于箱，并且运输总费用小于元，得，解得，即得一共有种方案：用大货车辆，用小货车辆；用大货车辆，用小货车辆；用大货车辆，用小货车辆；设运输所需费用为元，，由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组、一元一次不等式组及函数关系式．
 

25.【答案】 

【解析】解：依题意有：，
解得．
故答案为：；
该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为为整数．
因为，解得．
因为为整数，所以或或．
所以该方程的全部正整数解为和和；
由可得或或，
，均为正整数，
．
该方程组有组正整数解，正整数解为和和．
根据二元一次方程的解的定义求出即可；
参考小明的解题方法，可求方程的全部正整数解；
根据可得或或，参考小明的解题方法即可求解．
本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
 

26.【答案】解：，
，，
直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点，
点，点；
如图，连接，过点作于，

把线段绕点顺时针旋转到线段，
，
轴，轴，
，
，
又，
≌，
，
，
，
；
的大小不变，理由如下：
设与的交点为，

，
，
，
，
设，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
． 

【解析】由非负性可求，，即可求解；
由“”可证≌，可得，由面积法可求解；
由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了非负性，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，面积法，角平分线的性质和外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．