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专题23与垂径定理有关的拓展探究-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）
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专题23 与垂径定理有关的拓展探究
1．问题提出
（1）如图①，的半径为8，弦，则点O到的距离是__________．
问题探究
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等腰直角三角形的边是的弦，直角顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植草坪，在和区域内种植花卉．记和的面积和为，和的面积和为．
①求种植草坪的区域面积．
②求种植花卉的区域面积的最大值．
【答案】（1）8；（2）32；（3）①，②．
【分析】（1）作交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；
（2）作交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出，进一步可求出的面积；
（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出；②表示出，利用完全平方公式求出，当时，有最大值为．
【详解】解：作交AB于点C，连接OA，
∵，
由垂径定理可知：，
∵，
∴；
（2）作交AB于点D，连接OA，
∵，若使面积最大，则CD应最大，
∴当CD经过圆心O的时候取值最大，
由垂径定理可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）①连接OD，OA，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
②由①可知：，
设，，故，
∵，
∴，当时，等号成立，
∴，当时，有最大值为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小问较难，解题的关键是表示出，求出AD，利用完全平方公式求出．
2．问题提出：（1）如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为______．
问题探究：（2）如图2，在中，已知，，求的最大面积．
问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，MC的长度为8米或12米．
【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；
（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．
【详解】】解：（1）作AD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴BD=1，
∴AD==，
∴△ABC的面积为，
故答案为：；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，
∵∠BAC=120°，BC=，
∴点A在上运动，
当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，
∴∠BOA'=60°，BH=CH=，
∴OH=3，OB=6，
∴A'H=OA'-OH=6-3=3，
∴△ABC的最大面积为；
（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，
过O作HG⊥AB于H，交CD于G，
∵AB=20米，
∴AH=OH=10米，OA=10米，
∵BC=24米，
∴OG=14米，
∵10＞14，
∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，
∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，
过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，
∴EF=OH=10米，OM1=10米，
∴EM1=14米，
∴OE==2米，
∴CM1=BF=8米，
同理CM2=BH+OE=10+2=12（米），
∴MC的长度为8米或12米．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理圆周角定理等知识，掌握以上知识是解题的关键．
3．【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______°．
【初步运用】
（2）如图，在四边形ABCD中，，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图，已知矩形ABCD，，，M为边CD上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．
②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；②
【分析】（1）根据圆周角定理求解即可；
（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则，即可得到A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，则；
（3）先作等边三角形OAB，再以O为圆心，AB的长为半径画弧与直线l的交点即为所求；
（4）①如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则当时满足题意，据此求解即可；②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形，分别求出AF、DF即可得到答案．
【详解】解：（1）∵AB=AC=AD，
∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，
∵∠BAC=90°，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，
∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点，
∴，
∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，
∴；
、
（3）如图所示，、即为所求；
（4）①如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=90°，
∴B在圆O上，，
∴，
∵OH⊥EF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即
②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
在直角△BOC中BC=BD+CD=8，
∴，
∵OE⊥BC，
∴，
∴DE=OF=2，，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．
4．小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点C是上一动点，直径AB＝8cm，过点C作CDAB交于D，O为AB的中点．连接OC，OD，当△ABC的面积为3.5cm2时，求线段CD的长．
小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
(1)根据点C在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CD，OC的长度和△OCD的面积，得到下表的几组对应值（当点C与点A或点B重合时，△OCD的面积为0）．
CD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
0
1.9
3.9
5.6
m
7.8
7.9
6.8
0
填空：m＝ （结果保留一位小数）；
(2)将线段CD的长度作为自变量x，△OCD的面积是x的函数，记为y，请在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象，并写出△OCD面积的最大值；
(3)在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值（结果保留一位小数）．
【答案】(1)6.9
(2)图见解析，△OCD面积的最大值为7.9cm2
(3)1.8cm或7.8cm
【分析】（1）由直径AB＝8cm，当CD＝4 cm时，OC＝OD＝4 cm，可得△OCD为等边三角形，即可求出△OCD的面积；
（2）根据表格中的数据，先描点，再用光滑的曲线连接起来，即可画出函数图象；结合函数图象及表格可得△OCD面积的最大值；
（3）设，，利用得出关于的方程，求解方程得到或即可．
(1)
解：∵直径AB＝8cm，
∴OC＝OD＝4.0cm，
∴当CD＝4.0cm时，△OCD为等边三角形，
设△OCD的高为h，则h＝4×sin60°＝cm，
∴cm2，
故答案为：6.9；
(2)
解：如图所示，
结合函数图象及表格得，△OCD面积的最大值为7.9cm2；
(3)
解：当时，如图所示：
由图象可知：设CD＝x cm时，过O作OH⊥CD，垂足为H，
则cm，OC＝4 cm，设高OH＝h cm，则h2＝，
根据题意得，
∴，即
将代入上式得，
令，则，即，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值为1.8cm或7.8cm．
【点睛】本题考查了函数与几何综合问题．（1）在圆的背景下，准确发现等边三角形是解该问关键；（2）结合统计表，准确描点作图，读懂表与图是解出该问的关键；（3）准确表示出三角形面积，掌握方程的恰当求解是解决此问的关键．
5．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____．
【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：
【分析问题】先看两种特殊情况：
（2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值）
（3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值）
【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值．
【答案】（1）；；（2）；（3）；；（4）
【分析】（1）直接用中位线性质定理得出结论；
（2）由等边三角形判定得出△为等边三角形，得到，即可得到答案；
（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到，即，计算即可得知答案；
（4）过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PM与CD交于点F，由中位线定理得出OF是△MNP的中位线，EF是△PNQ的中位线，得到，，即，计算即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点、分别是的边、边的中点，
∴是的一条中位线，
∴，，
故答案为：，．
（2）∵MN为直径，O为圆心，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，
∴∠MAB＝90°，O为MN的中点，
∴在Rt△MAB中，，，
∴，
∴，
∴△为等边三角形，
∵
∴，，
∴，
故答案为：
（3）当时，、重合，
∵，
∴在Rt△AOP中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
（4）∵于，于，
∴过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PN与CD交于点F，如图：
∴点O为MN的中点，，
∴点F为PN的中点，点E为PQ的中点，
∴在△MNP中，OF是△MNP的中位线，
∴，
在△PNQ中，EF是△PNQ的中位线，
∴，
∴，
∵在Rt△AOE中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．
6．学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ ．（直接写答案）
问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数；
问题拓展：如图3，在ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．
【答案】（1）45°；（2）25°；（3）
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；
（2）由、、、共圆，得出；
（3）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得，，进而求解．
【详解】解：（1）如图，，，
点、、在以点为圆心，长为半径的圆上，
是所对的圆心角，而是所对的圆周角，
，
故答案为：；
（2）如图，取的中点，连接、．
，点为的中点，
∴
点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上，
∵
，
，
；
（3）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．
，
，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，
．
∵，，，
，
，，
∵在中，，，
，
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的定义、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
7．小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是线段上一动点，线段，的垂直平分线交于，取线段的中点，连接并延长交于，连接．若是等腰三角形，求线段的长度．
小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在线段上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．
/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
/cm
6.7
5.6
4.5
3.5
3.5
4.5
6.7
/cm
6.7
6.5
6.2
5.7
5.0
4.2
3.6
3.2
2.9
填空：的值为_________，的值为___________；
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
【答案】（1）3.0,5.6；（2）见解析；（3）3.3cm,4.6cm,或5.4cm
【分析】（1）根据垂径定理和图表数据，即可求出m的值；根据表中EF长度数据的对称性，求出n的值；
（2）根据表格描点连线即可；
（3）根据横坐标即为AF的长， 表示AF与EF的函数关系，表示AF与AE的函数关系，将等腰三角形的分类讨论转化为求函数交点即可．
【详解】（1）∵CD⊥AB，
∴,
由表可知，当AF=4时，点F与点D重合，如图，
则E与C重合，EF=CD,AC=AE,
在Rt△AEF中，已知AF=4.0,AE=5.0,
∴EF=3.0，即m=3.0;
由表可知，EF的长度数据关于m对称，
∴当AF=7.0时和当AF=1.0时，EF的长度相等，
∴EF=5.6，
故填5.6；
（2）如图，描点连线：
（3）如图，作直线y=x,
为等腰三角形有三种情况：
①AE=EF时，即AF=x为与的交点横坐标，如图，
AF=5.4cm，
②当AF=EF时，即求y=x与的交点横坐标，如图，
AF=3.3cm,
③当AE=AF时，即求与y=x的交点横坐标，如图，
AF=4.6cm，
综上所述，当△AEF为等腰三角形时，AF的长为3.3cm,4.6cm,或5.4cm．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的分类讨论，函数的图像与性质，解题关键是理解题意，熟练掌握相关知识点．
8．问题提出
（1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_______（填“＞”“＜”或“＝”）；
问题探究
（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．
【答案】（1）=；（2）108；（3）．
【分析】（1）由平行线的性质，据同底等高的两三角形面积相等作答；
（2）AB长不变，只要AB边上的高最大，面积最大．由图知当C是优弧的中点时，AB边上的高最大，面积最大．求得优弧的中点到AB的距离就可求得最大面积；
（3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，得∠F=，先证得四边形ADCE的面积=△ACF的面积；据∠F=60°得点F在以AC为边向外作的等边三角形的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，△ACF的面积最大，即四边形ADCE的面积最大．最后计算出△ACF的面积即是四边形ADCE的面积最大值．
【详解】（1）如下图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N．
∵a∥b
∴∠MAB=∠AMN=90°
∴四边形AMNB是矩形，
∴AM=BN
∴
又、
∴；
（2）取优弧的中点记为，过作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知过O且AD=BD，如下图②所示．
过C作AB的平行线a，
∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即的AB边上的高增大，得当a运动到最高点时，的AB边上的高最大，
又AB为常数，
∴当C运动到时的面积最大，下面计算的面积．
连接OB
在RT△OBD中：
∵AB=12、圆O的直径为20
∴BD=6、BO=10、
由勾股定理得
∴
∴的面积为，
∴面积的最大值为108；
（3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，如下图③-1所示
∴∠F=∠ADB=60°
∵AD∥CE
∴四边形DECF是平行四边形
∴DF=CE，FC=DE
又DC=CD
∴△DFC≌△CED
∴
又由（1）的结论知
∴
所以只需求得最大值即得的最大值．
以AC为边向外作等边三角形，再作等边的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示．
∵∠F=60°
∴点F在的外接圆上，
由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，最大=．
在RT△ABC中：
由勾股定理得
∴
∴
∴
∴四边形ADCE的最大面积是．
【点睛】此题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、正三角形及其外接圆、平行四边形等考点，熟悉相关知识并能综合应用是关键．
9．【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．
【探究】等弧所对弦的弦心距相等．
（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．
【应用】
（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）在圆上取相等的两段弧，使，则有，然后过圆心分别作弦、的垂线，垂足分别为，，然后通过三角形全等证明弦心距；
（2）过点作，，垂足分别为、，结合（1）的结论证明，利用全等三角形的性质得到．
【详解】（1）已知：，于点，于点．
求证：．
证明：∵，∴．
∵，，
∴，，∴．
在和中，，
∴（HL），
∴．
（2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接．
由（1）可知，当时，．
在和中，，
∵
∴（HL），
∴，即平分．
【点睛】本题考查圆的弦、弦心距等相关问题，解答时，垂径定理、直角三角形全等的证明等知识点的运用是关键．
10．[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
[类比应用]
已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．
（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是 ；
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围 ；
[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是 ．（直接写出答案）
【答案】【类比应用】（1）；；（2）①不变化，PM长为；②；【拓展应用】．
【分析】[类比应用]：（1）理解“密距”之意义，运用垂径定理相关知识，构造直角三角形，运用勾股定理容易作答．（2）①运用同圆中等弦的的弦心距相等，易得答；②运用两点之间线段最短，易得弦AB到原点O的“密距”d的取值范围．
[拓展应用]：先证得弦AB的中点M运动轨迹是以(0,3)为圆心，以1为半径的圆，再求出此圆心到直线y=-x-3的“密距”，加1即可得弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值．
【详解】[类比应用]（1）如下图2
连接PA、PM、OM、
∵P为圆心，M是弦AB（非直径）的中点
∴PM⊥AB
在RT△PAM中，由勾股定理得
即圆心P到弦AB的中点M的距离是；
∵AB∥y轴
∴PM⊥y轴
在RT△OMP中，由勾股定理得
∴由“密距”的意义得
弦AB到原点O的“密距”是．
（2）①不变化
连接PM、PA、
∵点M是弦AB（非直径）的中点，P为圆心，
∴PM⊥AB，MA=MB=1，
∴PM=
②由图知
∴；
[拓展应用]：如下图3
C是PA中点，连接CM、过C作CD⊥EF于D
∵M是AB（非直径）中点，P是⊙P的圆心
∴PM⊥AB
又∵C是PA中点
∴
当AB是⊙P的直径时，CM=CP=1
∴当B点在⊙P上运动是，M的运动轨迹是以C为圆心，以1为半径的圆．
易知直线y=-x-3与两坐标轴的交点为E(0,-3)、F(-3,0)
∴OE=OF=3，
∴EC=AO+OE+AC=2+3+1=6
又∵x轴⊥y轴
∴∠DEC=45°
∴
由图易知M到EF的最远距离为CD+CM=
所以弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值为．
【点睛】此题主要考查垂径定理的相关知识．其关键是读懂题意理解“密距”，在拓展应用中还有一关键是发现弦AB的中点的轨迹是圆．
11．问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是 ．
问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）12；（2）9；（3）能实现；170（米）．
【分析】（1）当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．
（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．
【详解】（1）如图①中，
∵BC＝6，AD＝4，
∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝×6×4＝12．
故答案为12．
（2）∵矩形的周长为12，
∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，
∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．
（3）如图③中，
∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，
∴AC2＝AB2+BC2
∴∠ABC＝90°，
作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，
∵∠ADC＝60°，
∴点D在优弧ADC上运动，
当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，
设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝∠ADC，
∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，
∴DF＝DA，
∵DF+DC≥CF，
∴DA+DC≥D′A+D′C，
∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，
∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．
答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）．
【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：
（1）利用平方为非负的性质求解；
（2）利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中
12．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．
(1)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)PA+PB=PC；
(2)为的中点，四边形最大面积为
【分析】（1）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得结论；
（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．
（1）
解：在PC上截取PD=AP，如图，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，则∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴PC=BP+AP．
（2）
当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
此时
∴为等边三角形，
∴
∴
∴S四边形APBC=．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，掌握圆周角定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．如图，△ABC是圆内接等腰三角形，其中AB=AC，点P在上运动（点P与点A在弦BC的两侧），连结PA，PB，PC，设∠BAC=α，=y，小明为探究y随α的变化情况，经历了如下过程
（1）若点P在弧BC的中点处，α=60°时，y的值是______．
（2）小明探究α变化获得了一部分数据，请你填写表格中空缺的数据．在如图2平面直角坐标系中以表中各组对应值为点的坐标进行描点，并画出函数图象：
α
…
30°
60°
90°
120°
150°
170°
…
y
．．
0.52
1.73
1.93
1.99
…
（3）从图象可知，y随着α的变化情况是______；y的取值范围是______．
【答案】(1)1；(2)图象见解析；(3)随增大而增大，.
【分析】（1）连OB，OC，由△ABC是圆内接等腰三角形及α＝60°可知△ABC是⊙O的内接正三角形，由点P是弧BC的中点，根据垂径定理的推论得到AP为⊙O的直径，易得△OBP和△OPC都是等边三角形，于是得到结论；
（2）当α＝60°时，由(1)可知y=1；当α＝90°时，使三角形ACP绕A点旋转使得AC与AB重合；求出P、B、P’共线即可得出答案；
（3）观察图像可知y随着α增大而增大，并可看出的取值范围.
【详解】解：(1) 解：（1）连OB，OC，如图
∵△ABC是圆内接等腰三角形，α＝60°，
∴△ABC是⊙O的内接正三角形，
∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠BPO=∠ACB，∠APC=∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠BPO=∠APC=60°，
∴△OBP和△OPC都是等边三角形，
∴PB=PC=OP=OA，
∴PB+PC=PA，
则.
(2) 当α＝60°时，由(1)可知y=1；
当α＝90°时
使三角形ACP绕A点旋转使得AC与AB重合，如图
∵∠4=∠5,
∵∠3+∠4=90°，
∴∠3+∠5=90°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴P、B、P’共线，
∵△APP’为直角三角形且AP=AP’，
∴=== ≈1.41
...
30°
60°
90°
120°
150°
170°
...
...
0.52
1
1.41
1.73
1.93
1.99
...
(3)由图象可知：随增大而增大，的取值范围是：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、圆的性质、垂径定理等，正确的作出辅助线是解题的关键．
专题23 与垂径定理有关的拓展探究
1．问题提出
（1）如图①，的半径为8，弦，则点O到的距离是__________．
问题探究
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等腰直角三角形的边是的弦，直角顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植草坪，在和区域内种植花卉．记和的面积和为，和的面积和为．
①求种植草坪的区域面积．
②求种植花卉的区域面积的最大值．
【答案】（1）8；（2）32；（3）①，②．
【分析】（1）作交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；
（2）作交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出，进一步可求出的面积；
（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出；②表示出，利用完全平方公式求出，当时，有最大值为．
【详解】解：作交AB于点C，连接OA，
∵，
由垂径定理可知：，
∵，
∴；
（2）作交AB于点D，连接OA，
∵，若使面积最大，则CD应最大，
∴当CD经过圆心O的时候取值最大，
由垂径定理可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）①连接OD，OA，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
②由①可知：，
设，，故，
∵，
∴，当时，等号成立，
∴，当时，有最大值为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小问较难，解题的关键是表示出，求出AD，利用完全平方公式求出．
2．问题提出：（1）如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为______．
问题探究：（2）如图2，在中，已知，，求的最大面积．
问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，MC的长度为8米或12米．
【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；
（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．
【详解】】解：（1）作AD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴BD=1，
∴AD==，
∴△ABC的面积为，
故答案为：；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，
∵∠BAC=120°，BC=，
∴点A在上运动，
当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，
∴∠BOA'=60°，BH=CH=，
∴OH=3，OB=6，
∴A'H=OA'-OH=6-3=3，
∴△ABC的最大面积为；
（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，
过O作HG⊥AB于H，交CD于G，
∵AB=20米，
∴AH=OH=10米，OA=10米，
∵BC=24米，
∴OG=14米，
∵10＞14，
∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，
∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，
过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，
∴EF=OH=10米，OM1=10米，
∴EM1=14米，
∴OE==2米，
∴CM1=BF=8米，
同理CM2=BH+OE=10+2=12（米），
∴MC的长度为8米或12米．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理圆周角定理等知识，掌握以上知识是解题的关键．
3．【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______°．
【初步运用】
（2）如图，在四边形ABCD中，，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图，已知矩形ABCD，，，M为边CD上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．
②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；②
【分析】（1）根据圆周角定理求解即可；
（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则，即可得到A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，则；
（3）先作等边三角形OAB，再以O为圆心，AB的长为半径画弧与直线l的交点即为所求；
（4）①如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则当时满足题意，据此求解即可；②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形，分别求出AF、DF即可得到答案．
【详解】解：（1）∵AB=AC=AD，
∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，
∵∠BAC=90°，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，
∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点，
∴，
∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，
∴；
、
（3）如图所示，、即为所求；
（4）①如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=90°，
∴B在圆O上，，
∴，
∵OH⊥EF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即
②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
在直角△BOC中BC=BD+CD=8，
∴，
∵OE⊥BC，
∴，
∴DE=OF=2，，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．
4．小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点C是上一动点，直径AB＝8cm，过点C作CDAB交于D，O为AB的中点．连接OC，OD，当△ABC的面积为3.5cm2时，求线段CD的长．
小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
(1)根据点C在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CD，OC的长度和△OCD的面积，得到下表的几组对应值（当点C与点A或点B重合时，△OCD的面积为0）．
CD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
0
1.9
3.9
5.6
m
7.8
7.9
6.8
0
填空：m＝ （结果保留一位小数）；
(2)将线段CD的长度作为自变量x，△OCD的面积是x的函数，记为y，请在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象，并写出△OCD面积的最大值；
(3)在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值（结果保留一位小数）．
【答案】(1)6.9
(2)图见解析，△OCD面积的最大值为7.9cm2
(3)1.8cm或7.8cm
【分析】（1）由直径AB＝8cm，当CD＝4 cm时，OC＝OD＝4 cm，可得△OCD为等边三角形，即可求出△OCD的面积；
（2）根据表格中的数据，先描点，再用光滑的曲线连接起来，即可画出函数图象；结合函数图象及表格可得△OCD面积的最大值；
（3）设，，利用得出关于的方程，求解方程得到或即可．
(1)
解：∵直径AB＝8cm，
∴OC＝OD＝4.0cm，
∴当CD＝4.0cm时，△OCD为等边三角形，
设△OCD的高为h，则h＝4×sin60°＝cm，
∴cm2，
故答案为：6.9；
(2)
解：如图所示，
结合函数图象及表格得，△OCD面积的最大值为7.9cm2；
(3)
解：当时，如图所示：
由图象可知：设CD＝x cm时，过O作OH⊥CD，垂足为H，
则cm，OC＝4 cm，设高OH＝h cm，则h2＝，
根据题意得，
∴，即
将代入上式得，
令，则，即，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值为1.8cm或7.8cm．
【点睛】本题考查了函数与几何综合问题．（1）在圆的背景下，准确发现等边三角形是解该问关键；（2）结合统计表，准确描点作图，读懂表与图是解出该问的关键；（3）准确表示出三角形面积，掌握方程的恰当求解是解决此问的关键．
5．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____．
【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：
【分析问题】先看两种特殊情况：
（2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值）
（3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值）
【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值．
【答案】（1）；；（2）；（3）；；（4）
【分析】（1）直接用中位线性质定理得出结论；
（2）由等边三角形判定得出△为等边三角形，得到，即可得到答案；
（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到，即，计算即可得知答案；
（4）过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PM与CD交于点F，由中位线定理得出OF是△MNP的中位线，EF是△PNQ的中位线，得到，，即，计算即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点、分别是的边、边的中点，
∴是的一条中位线，
∴，，
故答案为：，．
（2）∵MN为直径，O为圆心，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，
∴∠MAB＝90°，O为MN的中点，
∴在Rt△MAB中，，，
∴，
∴，
∴△为等边三角形，
∵
∴，，
∴，
故答案为：
（3）当时，、重合，
∵，
∴在Rt△AOP中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
（4）∵于，于，
∴过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PN与CD交于点F，如图：
∴点O为MN的中点，，
∴点F为PN的中点，点E为PQ的中点，
∴在△MNP中，OF是△MNP的中位线，
∴，
在△PNQ中，EF是△PNQ的中位线，
∴，
∴，
∵在Rt△AOE中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．
6．学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ ．（直接写答案）
问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数；
问题拓展：如图3，在ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．
【答案】（1）45°；（2）25°；（3）
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；
（2）由、、、共圆，得出；
（3）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得，，进而求解．
【详解】解：（1）如图，，，
点、、在以点为圆心，长为半径的圆上，
是所对的圆心角，而是所对的圆周角，
，
故答案为：；
（2）如图，取的中点，连接、．
，点为的中点，
∴
点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上，
∵
，
，
；
（3）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．
，
，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，
．
∵，，，
，
，，
∵在中，，，
，
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的定义、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
7．小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是线段上一动点，线段，的垂直平分线交于，取线段的中点，连接并延长交于，连接．若是等腰三角形，求线段的长度．
小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在线段上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．
/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
/cm
6.7
5.6
4.5
3.5
3.5
4.5
6.7
/cm
6.7
6.5
6.2
5.7
5.0
4.2
3.6
3.2
2.9
填空：的值为_________，的值为___________；
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
【答案】（1）3.0,5.6；（2）见解析；（3）3.3cm,4.6cm,或5.4cm
【分析】（1）根据垂径定理和图表数据，即可求出m的值；根据表中EF长度数据的对称性，求出n的值；
（2）根据表格描点连线即可；
（3）根据横坐标即为AF的长， 表示AF与EF的函数关系，表示AF与AE的函数关系，将等腰三角形的分类讨论转化为求函数交点即可．
【详解】（1）∵CD⊥AB，
∴,
由表可知，当AF=4时，点F与点D重合，如图，
则E与C重合，EF=CD,AC=AE,
在Rt△AEF中，已知AF=4.0,AE=5.0,
∴EF=3.0，即m=3.0;
由表可知，EF的长度数据关于m对称，
∴当AF=7.0时和当AF=1.0时，EF的长度相等，
∴EF=5.6，
故填5.6；
（2）如图，描点连线：
（3）如图，作直线y=x,
为等腰三角形有三种情况：
①AE=EF时，即AF=x为与的交点横坐标，如图，
AF=5.4cm，
②当AF=EF时，即求y=x与的交点横坐标，如图，
AF=3.3cm,
③当AE=AF时，即求与y=x的交点横坐标，如图，
AF=4.6cm，
综上所述，当△AEF为等腰三角形时，AF的长为3.3cm,4.6cm,或5.4cm．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的分类讨论，函数的图像与性质，解题关键是理解题意，熟练掌握相关知识点．
8．问题提出
（1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_______（填“＞”“＜”或“＝”）；
问题探究
（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．
【答案】（1）=；（2）108；（3）．
【分析】（1）由平行线的性质，据同底等高的两三角形面积相等作答；
（2）AB长不变，只要AB边上的高最大，面积最大．由图知当C是优弧的中点时，AB边上的高最大，面积最大．求得优弧的中点到AB的距离就可求得最大面积；
（3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，得∠F=，先证得四边形ADCE的面积=△ACF的面积；据∠F=60°得点F在以AC为边向外作的等边三角形的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，△ACF的面积最大，即四边形ADCE的面积最大．最后计算出△ACF的面积即是四边形ADCE的面积最大值．
【详解】（1）如下图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N．
∵a∥b
∴∠MAB=∠AMN=90°
∴四边形AMNB是矩形，
∴AM=BN
∴
又、
∴；
（2）取优弧的中点记为，过作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知过O且AD=BD，如下图②所示．
过C作AB的平行线a，
∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即的AB边上的高增大，得当a运动到最高点时，的AB边上的高最大，
又AB为常数，
∴当C运动到时的面积最大，下面计算的面积．
连接OB
在RT△OBD中：
∵AB=12、圆O的直径为20
∴BD=6、BO=10、
由勾股定理得
∴
∴的面积为，
∴面积的最大值为108；
（3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，如下图③-1所示
∴∠F=∠ADB=60°
∵AD∥CE
∴四边形DECF是平行四边形
∴DF=CE，FC=DE
又DC=CD
∴△DFC≌△CED
∴
又由（1）的结论知
∴
所以只需求得最大值即得的最大值．
以AC为边向外作等边三角形，再作等边的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示．
∵∠F=60°
∴点F在的外接圆上，
由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，最大=．
在RT△ABC中：
由勾股定理得
∴
∴
∴
∴四边形ADCE的最大面积是．
【点睛】此题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、正三角形及其外接圆、平行四边形等考点，熟悉相关知识并能综合应用是关键．
9．【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．
【探究】等弧所对弦的弦心距相等．
（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．
【应用】
（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）在圆上取相等的两段弧，使，则有，然后过圆心分别作弦、的垂线，垂足分别为，，然后通过三角形全等证明弦心距；
（2）过点作，，垂足分别为、，结合（1）的结论证明，利用全等三角形的性质得到．
【详解】（1）已知：，于点，于点．
求证：．
证明：∵，∴．
∵，，
∴，，∴．
在和中，，
∴（HL），
∴．
（2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接．
由（1）可知，当时，．
在和中，，
∵
∴（HL），
∴，即平分．
【点睛】本题考查圆的弦、弦心距等相关问题，解答时，垂径定理、直角三角形全等的证明等知识点的运用是关键．
10．[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
[类比应用]
已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．
（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是 ；
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围 ；
[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是 ．（直接写出答案）
【答案】【类比应用】（1）；；（2）①不变化，PM长为；②；【拓展应用】．
【分析】[类比应用]：（1）理解“密距”之意义，运用垂径定理相关知识，构造直角三角形，运用勾股定理容易作答．（2）①运用同圆中等弦的的弦心距相等，易得答；②运用两点之间线段最短，易得弦AB到原点O的“密距”d的取值范围．
[拓展应用]：先证得弦AB的中点M运动轨迹是以(0,3)为圆心，以1为半径的圆，再求出此圆心到直线y=-x-3的“密距”，加1即可得弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值．
【详解】[类比应用]（1）如下图2
连接PA、PM、OM、
∵P为圆心，M是弦AB（非直径）的中点
∴PM⊥AB
在RT△PAM中，由勾股定理得
即圆心P到弦AB的中点M的距离是；
∵AB∥y轴
∴PM⊥y轴
在RT△OMP中，由勾股定理得
∴由“密距”的意义得
弦AB到原点O的“密距”是．
（2）①不变化
连接PM、PA、
∵点M是弦AB（非直径）的中点，P为圆心，
∴PM⊥AB，MA=MB=1，
∴PM=
②由图知
∴；
[拓展应用]：如下图3
C是PA中点，连接CM、过C作CD⊥EF于D
∵M是AB（非直径）中点，P是⊙P的圆心
∴PM⊥AB
又∵C是PA中点
∴
当AB是⊙P的直径时，CM=CP=1
∴当B点在⊙P上运动是，M的运动轨迹是以C为圆心，以1为半径的圆．
易知直线y=-x-3与两坐标轴的交点为E(0,-3)、F(-3,0)
∴OE=OF=3，
∴EC=AO+OE+AC=2+3+1=6
又∵x轴⊥y轴
∴∠DEC=45°
∴
由图易知M到EF的最远距离为CD+CM=
所以弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值为．
【点睛】此题主要考查垂径定理的相关知识．其关键是读懂题意理解“密距”，在拓展应用中还有一关键是发现弦AB的中点的轨迹是圆．
11．问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是 ．
问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）12；（2）9；（3）能实现；170（米）．
【分析】（1）当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．
（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．
【详解】（1）如图①中，
∵BC＝6，AD＝4，
∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝×6×4＝12．
故答案为12．
（2）∵矩形的周长为12，
∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，
∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．
（3）如图③中，
∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，
∴AC2＝AB2+BC2
∴∠ABC＝90°，
作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，
∵∠ADC＝60°，
∴点D在优弧ADC上运动，
当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，
设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝∠ADC，
∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，
∴DF＝DA，
∵DF+DC≥CF，
∴DA+DC≥D′A+D′C，
∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，
∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．
答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）．
【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：
（1）利用平方为非负的性质求解；
（2）利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中
12．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．
(1)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)PA+PB=PC；
(2)为的中点，四边形最大面积为
【分析】（1）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得结论；
（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．
（1）
解：在PC上截取PD=AP，如图，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，则∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴PC=BP+AP．
（2）
当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
此时
∴为等边三角形，
∴
∴
∴S四边形APBC=．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，掌握圆周角定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．如图，△ABC是圆内接等腰三角形，其中AB=AC，点P在上运动（点P与点A在弦BC的两侧），连结PA，PB，PC，设∠BAC=α，=y，小明为探究y随α的变化情况，经历了如下过程
（1）若点P在弧BC的中点处，α=60°时，y的值是______．
（2）小明探究α变化获得了一部分数据，请你填写表格中空缺的数据．在如图2平面直角坐标系中以表中各组对应值为点的坐标进行描点，并画出函数图象：
α
…
30°
60°
90°
120°
150°
170°
…
y
．．
0.52
1.73
1.93
1.99
…
（3）从图象可知，y随着α的变化情况是______；y的取值范围是______．
【答案】(1)1；(2)图象见解析；(3)随增大而增大，.
【分析】（1）连OB，OC，由△ABC是圆内接等腰三角形及α＝60°可知△ABC是⊙O的内接正三角形，由点P是弧BC的中点，根据垂径定理的推论得到AP为⊙O的直径，易得△OBP和△OPC都是等边三角形，于是得到结论；
（2）当α＝60°时，由(1)可知y=1；当α＝90°时，使三角形ACP绕A点旋转使得AC与AB重合；求出P、B、P’共线即可得出答案；
（3）观察图像可知y随着α增大而增大，并可看出的取值范围.
【详解】解：(1) 解：（1）连OB，OC，如图
∵△ABC是圆内接等腰三角形，α＝60°，
∴△ABC是⊙O的内接正三角形，
∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠BPO=∠ACB，∠APC=∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠BPO=∠APC=60°，
∴△OBP和△OPC都是等边三角形，
∴PB=PC=OP=OA，
∴PB+PC=PA，
则.
(2) 当α＝60°时，由(1)可知y=1；
当α＝90°时
使三角形ACP绕A点旋转使得AC与AB重合，如图
∵∠4=∠5,
∵∠3+∠4=90°，
∴∠3+∠5=90°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴P、B、P’共线，
∵△APP’为直角三角形且AP=AP’，
∴=== ≈1.41
...
30°
60°
90°
120°
150°
170°
...
...
0.52
1
1.41
1.73
1.93
1.99
...
(3)由图象可知：随增大而增大，的取值范围是：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、圆的性质、垂径定理等，正确的作出辅助线是解题的关键．
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