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专题24.1 圆的有关性质（基础）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）
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这是一份专题24.1 圆的有关性质（基础）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版），文件包含九年级数学上册专题241圆的有关性质基础原卷版docx、九年级数学上册专题241圆的有关性质基础解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc116602178" 圆的认识 PAGEREF _Tc116602178 \h 1
\l "_Tc116602179" 圆的相关概念 PAGEREF _Tc116602179 \h 2
\l "_Tc116602180" 求相关角度 PAGEREF _Tc116602180 \h 3
\l "_Tc116602181" 求相关长度 PAGEREF _Tc116602181 \h 4
\l "_Tc116602182" 有关证明 PAGEREF _Tc116602182 \h 5
\l "_Tc116602183" 垂径定理的计算 PAGEREF _Tc116602183 \h 5
\l "_Tc116602184" 垂径定理的应用 PAGEREF _Tc116602184 \h 6
\l "_Tc116602185" 圆周角圆心角相关概念 PAGEREF _Tc116602185 \h 8
\l "_Tc116602186" 圆周角与圆心角求角度 PAGEREF _Tc116602186 \h 9
\l "_Tc116602187" 圆周角与圆心角求长度 PAGEREF _Tc116602187 \h 10
\l "_Tc116602188" 垂径定理的推论 PAGEREF _Tc116602188 \h 12
\l "_Tc116602189" 内接四边形 PAGEREF _Tc116602189 \h 13
\l "_Tc116602190" 证明综合 PAGEREF _Tc116602190 \h 14
圆的认识
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
①表示方法：⊙O，读作“圆O”
②确定一个圆的条件：
下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ ）
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．半径相等的两个半圆是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半圆是圆中最长的弧
在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
圆的相关概念
已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm
已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
求相关角度
如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为（ ）
A．150°B．120°C．100°D．60°
如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．
如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
求相关长度
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．53B．8C．6D．5
如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．6B．5C．4D．2
如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．52C．3D．10
有关证明
已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
垂径定理的计算
垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ；
要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．10B．8C．5D．3
如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．363B．243C．183D．723
如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（ ）
A．4+5B．9C．45D．62
已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）
A．1个B．3个C．6个D．7个
垂径定理的应用
往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（ ）
A．4π−3312πcmB．12π−932πcmC．12π−93πcmD．12π−932cm
往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝72cm，则水的最大深度为（ ）
A．36cmB．27cmC．24cmD．15cm
如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB＝8cm．若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（ ）
A．0.5cm/sB．0.75cm/sC．1cm/sD．2cm/s
如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．
诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
圆周角圆心角相关概念
圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ．
圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ．
下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．所对圆心角相等的弧是等弧
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
下列说法中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径也平分弦所对的弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧
A．1个B．2个C．3个D．4个
圆周角与圆心角求角度
如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ ）
A．158°B．58°C．64°D．116°
如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
圆周角与圆心角求长度
如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10B．13C．12D．11
如图，在半径为25的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）
A．42B．22C．4D．2
如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10B．13C．15D．16
垂径定理的推论
垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ；
要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AM＝BMB．CM＝DMC．AC=BCD．AD=BD
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．OE＝DEC．AC=BCD．AD=BD
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条件是（ ）
A．AB⊥CDB．AC=ADC．BC=BDD．OE＝ED
如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC=AD；②BC=BD；③EO＝EB；④EC＝ED．其中一定成立的是（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．①②③④
内接四边形
定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠ABC＝108°，则∠AOC的度数为（ ）
A．72°B．108°C．144°D．150°
如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝50°，则∠ADC的大小为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是AD上一点，则∠APD等于（ ）
A．120°B．125°C．135°D．150°
证明综合
如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．
（1）求证：CG＝AG；
（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D是BC的中点，连结OC，AD，交于点E，连结BE，BD．
（1）求∠EBA的度数．
（2）求证：AE=2BD．
（3）若DE＝1，求⊙O的面积．
一．选择题（共8小题）
1．下列说法正确的是
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍
D．已知的半径为8，为平面内的一点，且，那么点在上
2．小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是
A．4B．5C．10D．11
3．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于
A．B．C．D．
4．如图，的直径，弦垂直于点．若，则的长为
A．B．C．D．
5．已知的半径为5，点到弦的距离为3，则上到弦所在直线的距离为2的点有
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，则该拱门的半径为
A．B．C．D．
7．如图，在中，以直角边为直径的交线段于点，点是弧的中点，交于点，的半径是6，则的长度为
A．B．C．3D．
8．如图，在中，，连接，，则与的关系是
A．B．C．D．无法比较
二．填空题（共4小题）
9．运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于米，则跑道的宽度为 米．
10．大圆的半径是，小圆的半径是大圆半径的一半，则大圆面积比小圆面积大 ．
11．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”（例如圆的直径就是圆的“等分线段” ．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”长度的取值范围是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，若该圆向轴正方向滚动2022圈（滚动时在轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为 ．
三．解答题（共3小题）
13．在平面内，给定不在同一直线上的点，，，如图所示．点到点，，的距离均等于为常数），到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连接，．
求证：．
14．如图，的半径，为上一点，，，垂足分别为、，，求直径的长．
15．已知：如图，、是的高，为的中点．试说明点、、、在以点为圆心的同一个圆上．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc116602178" 圆的认识 PAGEREF _Tc116602178 \h 1
\l "_Tc116602179" 圆的相关概念 PAGEREF _Tc116602179 \h 2
\l "_Tc116602180" 求相关角度 PAGEREF _Tc116602180 \h 3
\l "_Tc116602181" 求相关长度 PAGEREF _Tc116602181 \h 4
\l "_Tc116602182" 有关证明 PAGEREF _Tc116602182 \h 5
\l "_Tc116602183" 垂径定理的计算 PAGEREF _Tc116602183 \h 5
\l "_Tc116602184" 垂径定理的应用 PAGEREF _Tc116602184 \h 6
\l "_Tc116602185" 圆周角圆心角相关概念 PAGEREF _Tc116602185 \h 8
\l "_Tc116602186" 圆周角与圆心角求角度 PAGEREF _Tc116602186 \h 9
\l "_Tc116602187" 圆周角与圆心角求长度 PAGEREF _Tc116602187 \h 10
\l "_Tc116602188" 垂径定理的推论 PAGEREF _Tc116602188 \h 12
\l "_Tc116602189" 内接四边形 PAGEREF _Tc116602189 \h 13
\l "_Tc116602190" 证明综合 PAGEREF _Tc116602190 \h 14
圆的认识
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
①表示方法：⊙O，读作“圆O”
②确定一个圆的条件：
下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ ）
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．半径相等的两个半圆是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半圆是圆中最长的弧
在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
圆的相关概念
已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm
已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
求相关角度
如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为（ ）
A．150°B．120°C．100°D．60°
如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．
如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
求相关长度
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A．53B．8C．6D．5
如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．6B．5C．4D．2
如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．52C．3D．10
有关证明
已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
垂径定理的计算
垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ；
要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．10B．8C．5D．3
如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．363B．243C．183D．723
如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（ ）
A．4+5B．9C．45D．62
已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）
A．1个B．3个C．6个D．7个
垂径定理的应用
往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（ ）
A．4π−3312πcmB．12π−932πcmC．12π−93πcmD．12π−932cm
往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝72cm，则水的最大深度为（ ）
A．36cmB．27cmC．24cmD．15cm
如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB＝8cm．若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（ ）
A．0.5cm/sB．0.75cm/sC．1cm/sD．2cm/s
如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．
诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
圆周角圆心角相关概念
圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ．
圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ．
下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．所对圆心角相等的弧是等弧
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
下列说法中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径也平分弦所对的弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧
A．1个B．2个C．3个D．4个
圆周角与圆心角求角度
如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ ）
A．158°B．58°C．64°D．116°
如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
圆周角与圆心角求长度
如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10B．13C．12D．11
如图，在半径为25的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）
A．42B．22C．4D．2
如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10B．13C．15D．16
垂径定理的推论
垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ；
要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AM＝BMB．CM＝DMC．AC=BCD．AD=BD
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．OE＝DEC．AC=BCD．AD=BD
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条件是（ ）
A．AB⊥CDB．AC=ADC．BC=BDD．OE＝ED
如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC=AD；②BC=BD；③EO＝EB；④EC＝ED．其中一定成立的是（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．①②③④
内接四边形
定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠ABC＝108°，则∠AOC的度数为（ ）
A．72°B．108°C．144°D．150°
如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝50°，则∠ADC的大小为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是AD上一点，则∠APD等于（ ）
A．120°B．125°C．135°D．150°
证明综合
如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．
（1）求证：CG＝AG；
（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D是BC的中点，连结OC，AD，交于点E，连结BE，BD．
（1）求∠EBA的度数．
（2）求证：AE=2BD．
（3）若DE＝1，求⊙O的面积．
一．选择题（共8小题）
1．下列说法正确的是
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍
D．已知的半径为8，为平面内的一点，且，那么点在上
2．小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是
A．4B．5C．10D．11
3．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于
A．B．C．D．
4．如图，的直径，弦垂直于点．若，则的长为
A．B．C．D．
5．已知的半径为5，点到弦的距离为3，则上到弦所在直线的距离为2的点有
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，则该拱门的半径为
A．B．C．D．
7．如图，在中，以直角边为直径的交线段于点，点是弧的中点，交于点，的半径是6，则的长度为
A．B．C．3D．
8．如图，在中，，连接，，则与的关系是
A．B．C．D．无法比较
二．填空题（共4小题）
9．运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于米，则跑道的宽度为 米．
10．大圆的半径是，小圆的半径是大圆半径的一半，则大圆面积比小圆面积大 ．
11．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”（例如圆的直径就是圆的“等分线段” ．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”长度的取值范围是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，若该圆向轴正方向滚动2022圈（滚动时在轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为 ．
三．解答题（共3小题）
13．在平面内，给定不在同一直线上的点，，，如图所示．点到点，，的距离均等于为常数），到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连接，．
求证：．
14．如图，的半径，为上一点，，，垂足分别为、，，求直径的长．
15．已知：如图，、是的高，为的中点．试说明点、、、在以点为圆心的同一个圆上．
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