专题19旋转模型之奔驰型-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

专题19 旋转模型之奔驰型

1．如图，是等边三角形外一点，，，，求的度数．

【解答】解：为等边三角形，

，，

可将绕点顺时针旋转得，

连，如图，

，，，，

为等边三角形，

，

在中，，，，

，

为直角三角形，且，

，

．

2．已知，如图，为等边三角形内一点，，，，求的面积．

【解答】解：为等边三角形，

，

可将绕点逆时针旋转得，

连，且延长，作于点．如图，

，，，

为等边三角形，

，，

在中，，，，

，

为直角三角形，且，

．

，

在直角中，，．

在直角中，．

则的面积是．

3．是等边内一点，，，，求的长．

【解答】解：为等边三角形，

，，

把绕点逆时针旋转得到，如图，连接，

，，，

为等边三角形，

，，

，

，

在中，，，

，

．

4．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到．

（1）求点与点之间的距离．

（2）求的度数．

【解答】解：（1）连接，由题意可知

则，，

是等边三角形，

，

，

故为等边三角形，

所以；

（2），

，，

又，，利用勾股定理的逆定理可知：

，

则为直角三角形，且，

为等边三角形，

，

5．如图①，在等腰中，，，点，分别是边，上的点，且，连接，如图②，将绕点顺时针旋转一定角度，使，连接，．

（1）求证：；

（2）若，，求的面积．

【解答】（1）证明：在等腰中，，，，分别是边，上的点，且，，

，

在和中，

；

（2）解：，，

，，

，

，

根据（1）可知，

，

，

．

6．已知为等边三角形，，分别是边，上的点，且，将绕点旋转至如图所示的位置，连接，交于点．

（1）求证：；

（2）连接，求证：是的平分线．

【解答】证明：（1）为等边三角形，，分别是边，上的点，且，

，为等边三角形，

，

，

；

（2）如图，过分别作于点，于点，

，

，，

，

在的平分线上，

即是的平分线．

7．如图①，和中，，点、分别在边、上，．

（1）如图②，将绕点逆时针旋转到如图位置，若，求的度数；

（2）如图②，将绕点逆时针旋转过程中，当旋转角度　或　时，直线与垂直；

（3）如图③，绕点在平面内自由旋转，连接，且，，求的最大值和最小值．

【解答】解：（1），，

．

（2）①垂足在线段上时，

，，

，

，

，即旋转角度；

②垂足在线段延长线上时，

，，

，

，

旋转角度；

故答案为：或．

（3）当旋转到射线的延长线上时，最大，此时．

当旋转到线段上时，最小，此时．

的最大值是14，最小值是6．

8．（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数．

要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作使，连接，，则是等边三角形．

　　，

是等边三角形

，

，　　

在中，，，，

（2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数．

【解答】解：（1）如图2，作使，连接，，则是等边三角形．

，，

是等边三角形，

，，

，

，

，

在中，，，，

故答案为：，，，90．

（2）解：，，

把绕点逆时针旋转得到，如图，

，，，

为等腰直角三角形，

，，

在中，，，，

，

，

为直角三角形，

，

．

9．如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接．

（1）观察并猜想与之间的大小关系，并说明理由．

（2）若，，，连接，判断的形状并说明理由．

【解答】解：（1）．理由如下：

，且，

为等边三角形，

，，

，

在和中，

，

，

；

（2）等边和等边中，

，，

，，

为直角三角形（勾股定理逆定理）．

10．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求度数．

小明发现，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图．

请回答：图1中的度数等于　　，图2中的度数等于　　．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系中，点坐标为，，连接．如果点是轴上的一动点，以为边作等边三角形．当在第一象限内时，求与之间的函数表达式．

【解答】解：阅读材料：把绕点逆时针旋转得到，

由旋转的性质，，，，

是等边三角形，

，，

，，

，

，

；

故；

故答案为：；；

如图3，在轴上截取，作轴于，轴于，连接和，

点的坐标为，，

，

，，

．

是等边三角形，

又是等边三角形，

，，

，

．

，又，

．

．

且点在第一象限内，

，

．

11．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．

（1）探究发现

如图（1），是等边内一点，，，．求的度数．

解：将绕点旋转到的位置，连接，则是　等边　三角形．

，，，

为　　三角形．的度数为　　．

（2）类比延伸

在正方形内部有一点，连接、、，若，，，求的长；

（3）拓展迁移

如图（3），在四边形中，线段与不平行，，与交于点，且，比较与的大小关系，并说明理由．

【解答】解：将绕点旋转到的位置，连接，则是等边三角形．

，，，

，

为直角三角形，

的度数为

故答案为：等边；直角；

（2）如图1，把绕点顺时针旋转得到，

则，，

旋转角是，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

，

在△中，由勾股定理得，；

（3），理由如下：

如图2所示，以为边向左做等边三角形，连接，

则，，

，

，

四边形是平行四边形，

，

在中，可得：，即．

12．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．

如图1，已知中，，，是内的一点，且，，，求的度数．

小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置（即过作，且使，连接、．你知道小强是怎么解决的吗？

（2）请根据（1）的思想解决以下问题：

如图2所示，设是等边内一点，，，，求的度数．

【解答】解：（1）如图1，由题意得：

；；

由勾股定理得：；

，，

，

，

，

．

（2）如图2，将绕点逆时针旋转到的位置，连接；

则，，；

为等边三角形，，；

，，

，

，，

．

13．如图，是等腰内一点，，连接，，．

（1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形；

（2）在（1）中，若，，，求的大小；

（3）当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案）

【解答】解：（1）如图1所示，△即为所求；

（2）如图2，连接．

将绕点顺时针旋转，与△重合，

△，，

，，，

是等腰直角三角形，

，．

在中，，，，

，

△是直角三角形，，

；

（3）如图3①，将绕点逆时针旋转得到△，连接，

△，

，，，

是等边三角形，

，

，，，

，

△是直角三角形，，

，，

；

△，

；

如图3②，同理可求：和的面积的和，

和的面积的和，

的面积，

的面积的面积与的面积的和．

故答案为．

14．（1）如图①，是正方形内一点，连接，，．

①画出将绕点顺时针旋转得到的△；

②若，，，求的长．

（2）如图②，设是等边三角形内的一点，，，，则的度数是 　　．

【解答】解：（1）①如图，△为所作；

②连接，如图，

绕点顺时针旋转得到的△，

，，，，

为等腰直角三角形，

，，

，

在△中，．

（2）为等边三角形，

，

可将绕点逆时针旋转得，

如图②，连接，

，，，

为等边三角形，

，，

在中，，，，

，

为直角三角形，且，

．

故答案为．

15．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为 　　，正方形的边长为 　　．

（变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由．

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3，在四边形中，，，，则的长度为 　　．

【解答】解：（1）绕点顺时针旋转得到的△，

，，，，

为等腰直角三角形，

，，

，

在△中，由勾股定理得：，

过点作交的延长线于，如图1所示：

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

在中，由勾股定理得：，

故答案为：，；

（2）的度数为，理由如下：

是等边三角形，

，，

将绕点逆时针旋转，得到△，连接，如图2所示：

则是等边三角形，

，，

，，

，

为直角三角形，

，

；

（3），

是等腰直角三角形，

，，

将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图3所示：

由旋转的性质得：，，，

是等腰直角三角形，

，，

，

是直角三角形，

，

，

故答案为：．

16．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．

（1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．

解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．

，，，

．

为　直角　三角形．

的度数为　　．

（2）类比延伸

如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）如图1，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．

，，，

．

为直角三角形．

的度数为．

故答案为：直角；；

（2）．理由如下：

如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接．

则，，，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

，

在△中，由勾股定理得，，

．

17．问题提出

（1）如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．

问题探究

（2）在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．

问题解决

（3）如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？

若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，连接点、，与直线交于点，点 即为所求．

（2）如图2，把绕点逆时针旋转得到△，

由旋转的性质，，，，

是等边三角形，

，，

，，

，

，

；

故；

（3）如图连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，

由旋转的性质，，，，，，，

△、是等边三角形，

，

，

根据两点间线段距离最短，可知当时最短，

是等边三角形，

以为一边作等边三角形，

最小值为的长，

此时点在线段上，

点为、的交点．

若点与点重合，即在对角线 上，

则点为与的交点，此时点（E）与点重合，

显然不符合题意，故点不在对角线上，

即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小．

18．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

（1）请你回答：图1中的度数等于　　．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（2）如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数和正方形的边长．

【解答】解：（1）如图2，把绕点逆时针旋转得到，

由旋转的性质，，，，

是等边三角形，

，，

，，

，

，

；

故；

故答案为．

（2）如图3，把绕点逆时针旋转得到，

由旋转的性质，，，，

是等腰直角三角形，

，，

，，

，

，

，

故，

，

点、、三点共线，

过点作于，

则，

，

在中，．