第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学上学期同步精讲精练（人教A版2019必修第一册）

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第一章 集合与常用逻辑用语 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的基本概念
重点题型二：集合间的基本关系
重点题型三：集合的基本运算
重点题型四：简易逻辑用语
第三部分：数学思想与方法
①分类与整合思想②等价转换思想③数形结合的思想
第一部分：本 章 知 识 框 架


第二部分：典 型 例 题 剖 析


重点题型一：集合的基本概念
典型例题
1．集合中的元素个数是（       ）
A．0 B．4 C．5 D．6
【答案】B
，
所以集合中的元素个数有4个，
故选：B.
2．若集合中的元素都是非零实数，定义，若，且中有4个元素，则的值为（       ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
解：
根据定义，且中有4个元素，
，，，，，，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，满足条件，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，满足条件，
当时，解得，不满足条件，
故选：.
3．用表示非空集合中元素个数，定义，若，，且，则实数的取值范围是（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
集合中的方程，其
所以
因为定义，且，
所以或，
即集合中的方程，有个根或者个根，
而当时，方程一定有根，
所以集合中的方程，有个不同的根，
则需方程以及必须各有两不同的根，
从而得到，
所以或.
故选：D.
4．已知集合P满足，则集合P的个数有__________个；
【答案】8
由题意，集合中一定包含元素，元素是否在集合中分别有2种可能
由分步计数原理，集合P的个数有个
故答案为：8
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
【答案】3
由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，
故m＝3.
答案：3
6．若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
【答案】0或1
当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；
当k≠0时，方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,
故答案为：0或1.
7．集合是单元素集合，则实数________
【答案】0，2或18
当时，，符合题意；
当时，令，即，解得或
故答案为：0，2或18
8．用表示费控集合A的元素个数，若，，且，记满足条件的实数a组成的集合为S，则____________.
【答案】
当时，
则，解得；
当时，，

则，即；
实数a组成的集合为
故答案为：
9．已知集合.
（1）若A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A；
（2）若A至多有两个子集，试求实数k的取值范围.
【答案】（1），；，；（2）或
（1）①当时，方程化为：，解得，
此时集合，满足题意；
②当时，方程有一个根，
，
解得：，
此时方程为，解得，
集合，符合题意，
综上所述，时集合；时集合；
（2）至多有两个子集，集合中元素个数最多1个，
①当时，一元二次方程最多有1个实数根，
，
解得，
②当时，由（1）可知，集合符合题意，
综上所述，实数的取值范围为：或
10．已知关于的不等式的解集为.
（1）当时，求集合；
（2）当且时，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或
（1）当时，，
所以或；
（2）因为，所以，得或，
又因为，所以不成立，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围或
重点题型二：集合间的基本关系
典型例题
1．已知，，则的子集个数为（     ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
，表示函数图象上的点集，
，表示函数图象上的点集，
中的元素为和图象的交点，
联立得到，，所以有2个交点，
所以的元素个数为2，其子集个数为个，
故选:C.
2．集合的真子集的个数为15个，则实数的范围（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
由，可得，
又因为，故：
假设集合A中有n个元素，因此集合A有个真子集，即，
故,所以
故选：C
3．若集合，，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为，所以，所以或，
所以或，
当时，不成立，所以，所以满足，
当时，因为，所以，
又因为，所以，所以，
当时，因为，所以，
又因为，所以，所以，
综上可知：.
故选：A.
4．已知，，则B的真子集个数为（        ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】A
由题：当时，集合B中元素最小为2，当时，集合B中元素最大为6，
又当时，集合B中元素为3，当时，集合B中元素为4，
当时，集合B中元素为5，所以集合，
其子集个数为个，所以真子集31个.
故选：A
5．已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
解：分两种情况考虑：
①若B不为空集，可得：，
解得：，
，
且，
解得：，
②若B为空集，符合题意，可得：，
解得：.
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
6．已知，且，则实数的值为______.
【答案】或或
因为，所以或，所以，
当时，，此时满足，
当时，因为，所以，
又因为，所以或，所以或.
所以的取值为：或或.
故答案为：或或.
7．集合，，．
(1)求；
(2)请从①，②，③Ü这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)，解得：，∴
，解得：，∴，
∴．
(2)选①：∵，∴
当，即时，满足题意；
当，即时，；满足，
∴综上：或
选②：当，即时，满足题意；
当，即时，或，解得或．
所以：或，
综上：．或
选③：由题知：Ü，
当，即时，满足题意；
当，即时，；满足，
∴综上：或
8．已知，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．或
（1）当时，
，
故；
（2）由知
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，实数的取值范围为．或
重点题型三：集合的基本运算
典型例题
1．已知不等式的解集为，关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
且，故
∵，∴，由题意可得：在上恒成立
即在上恒成立，故只需
，当即时，，故，
故选：B．
2．已知，，若，则a值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D


当a=0时，，满足条件；
当时，，
则：或
则：或
故a的值为：.
故选：D
3．设集合，．若，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
由，解得，因为，
所以或，解得或，即实数的取值范围是，
故选：C.
4．对于集合，，定义，，设，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
因为，， ,,
所以
故选C．
5．设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________.
【答案】
由“长度”的定义可知：集合的长度为，集合的长度为；
若集合的“长度”最小，则与分别位于集合的左右两端，
的“长度”的最小值为
若集合的“长度”最大，则与分别重合的部分最多，
的“长度”的最大值为
则集合的“长度”的取值范围为
故答案为：
6．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域.有下列命题：
①整数集是数域； ②若有理数集，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；                            ④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是_________．（把你认为正确的命题的序号填填上）
【答案】③④
利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，关键把握数域是对加减乘除四则运算封闭．解：要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如①对除法如∉Z不满足，所以排除；对②当有理数集Q中多一个元素i则会出现1+i∉该集合，所以它也不是一个数域；③④成立．故答案为③④．
7．集合，．若“”是“”的充分条件， 则实数的取值范围是________．
【答案】
“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，，由得或，即或，所以的范围是.
8．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
（1），
或，
又∵，
；
（2），.
①当时，满足，此时，得；   
②当时，要，则，解得；
由①②可得，,
所以实数a的取值范围是.
9．设集合.
（1）若，求的值.
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.或
（1），
由，知
根据韦达定理得到 解得
（2），
当时，，即；
当时，利用韦达定理得到解得；
当时，利用韦达定理得到无解；
当时，由（1）知：；
综上，实数a的取值范围是：或

重点题型四：简易逻辑用语
典型例题
1．“”是“为真命题”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
因为为真命题，又对恒成立，
所以为真命题等价于，
所以“”不能推出“”，反之，“”能推出“”，
所以“”是“为真命题”的必要不充分条件.
故选：B
2．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为“存在，使得”为真命题，
所以，
因此上述命题得个充分不必要条件是.
故选：B.
3．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是(　　)
A． B．或
C．或 D．[－1,1]
【答案】D
依题意可知，当时，恒成立，所以，解得
，故选D．
4．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】B
解：由得，由得，
若“”是“”的充分而不必要条件，
则，得.
故选B．
5．已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题：命题P是假命题，其否定:为真命题，
即，解得.
故选：B
6．命题“ax2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数的取值范围是
A．a < 0或a ≥3 B．a 0或a ≥3 C．a < 0或a >3 D．0 【答案】A
命题“恒成立”是假命题，即命题“，”是真命题.
当时，不成立；
当时，合乎题意；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：A.
7．已知：，：.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】
对于：即
对于：，即
即
是的充分不必要条件：则，解得：
所以实数的取值范围：.
8． 已知：，，，且是的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】
因为；

又因为是的充分不必要条件，所以，
即，又
所以的取值范围为
9．（1）命题:“”，命题:“”，若“且”为假命题，求实数的取值范围．
（2）已知，，若是的必要而不充分必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
（1）若是真命题．则，因为，所以；若为真命题，则方程有实根，所以，即或，真也真时 ，所以或，若“且”为假命题 ，即或
（2）由得．
所以“”：．
由得，
所以“”：．
由是的充分而不必要条件知
故的取值范围为.
第三部分：数 学 思 想 与 方 法


分类与整合思想
1．（2021·河南·濮阳一高高一期中）已知集合，且，则实数的值为___________.
【答案】或0.
若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去
若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为：或0.
2．（2021·江苏扬州·高一期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．
【答案】##
因为集合，且
所以或
（1）当时，此时，符合题意.
（2）当时，解得或
当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当时，符合题意.
综上可知实数的值构成的集合为
故答案为：
3．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式的解集为A，集合，若Ü，则实数的取值范围为___________.
【答案】
解：原不等式可变形为，
当，即时，，满足题意；
当，即时，，所以，解得，所以；
当，即时，，所以，解得.
综上可得；
故答案为：
4．（2018·安徽工业大学附属中学高二开学考试（理））若集合，且，则实数的取值集合为____．
【答案】
由，得，解得或，
所以，
当时，满足，此时
当时，即，则，
因为，所以，
所以或，
解得或，
综上，，或，或，
所以实数的取值集合为，
故答案为：
5．（2022·全国·高一专题练习）设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________.
【答案】
因不等式的解集为A，且，
则当时，，解得：，此时满足，即，
当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根，
于是有，解得或，解得：，
则有，综合得：，
所以a的取值范围为.
故答案为：
6．（2022·江苏·高一）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______.
【答案】或
由题可得，集合，当时，，满足；
当时，，若，则，且，即
综上可得，实数a的取值范围是或
故答案为：或
等价转换思想
1．（2022·全国·高一专题练习）设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】
因为是的充分条件，
所以AB，又，
所以．
故的取值范围为：.
2．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：由，即，解得，
，，
当，，所以.
(2)解： 因为““是“”的必要不充分条件，所以Ü，
所以，解得， 故的取值范围为.
3．（2022·河北·保定市第二十八中学高二阶段练习）已知集合，非空集合．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)∵，，
当，，所以.
(2)因为““是“”的必要不充分条件，所以B⫋A，
因为，所以，即.
因为B⫋A，所以，解得，
故的取值范围为.
4．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知命题：“使成立”是真命题.
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设不等式的解集为B，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)(2)或
(1)由p为真命题可知，，
∴或，
所以
(2)，若是的充分不必要条件，即
若，则，，，解得，
所以
若，则，，，解得，
所以
综上m的取值范围是或
5．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】
因“”是“”的充分不必要条件，于是得AÜB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以实数a的取值范围为.
数形结合的思想
1．（2022·全国·高一）某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.
【答案】
设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：

由图可知：，解得，
所以同时参加数学和化学小组有人.
故答案为：.
2．（2022·甘肃·二模（文））建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________.

【答案】              
由题意得：，解得：.
故答案为：；；.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.
【答案】
以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：

设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，由图可得，解得.
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
故答案为：3
5．（2022·全国·高一专题练习）某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有___________人．
【答案】26
由题意作出Venn图，从而求解人数．
解：作Venn图如图，
，
，
；
故．
故答案为：26．