人教A版 (2019)2.4 圆的方程精练

2.4.2圆的一般方程（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：圆的一般方程的理解

重点题型二：求圆的一般方程

重点题型三：圆的一般方程与标准方程转化

重点题型四：点与圆的位置关系

重点题型五：求动点的轨迹方程

重点题型六：关于点或直线对称的圆

第五部分：高考（模拟）题体验

知识点一：圆的一般方程

对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.

①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；

②当时，方程表示一个点

③当时，方程不表示任何图形

说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.

知识点二：圆的一般方程与圆的标准方程的特点

知识点三：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系

已知点和圆的一般式方程：（），

则点与圆的位置关系：

①点在外

②点在上

③点在内

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误

（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(        )

（2）二元二次方程一定是某个圆的方程．(        )

（3）方程表示圆．(        )

【答案】     √     ×     √

（1）圆的一般方程可以通过配方法转化为标准形式，正确；

（2）满足，表示的才是圆，错误；

（3）方程，即，由于，所以表示的是圆，正确.

2．（2022·全国·高二课时练习）若圆的直径为3，则m的值为_________．

【答案】

该圆的标准方程为

所以由题可知：       

故答案为：

3．（2022·全国·高二课时练习）圆的圆心坐标是(        )

A．          B．            C．          D．

【答案】D

该圆标准形式为，所以圆心为

故选：D

4．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示圆，则k的取值范围是(        )

A．          B．          C．          D．

【答案】A

由题可知：

故选：A

重点题型一：圆的一般方程的理解

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

若方程表示圆，则，解得：；

∵，，，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B.

例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知圆方程的圆心为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

解：因为，即，

所以圆心坐标为；

故选：C

例题3．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知实数满足，则的最大值是（  ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

可化为：，

所以，解得：，

即的最大值是4.

故选：D

同类题型归类练

1．（2022·北京平谷·高二期末）已知实数，满足，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

由可化为，所以，解得，因此的最小值是．

故选：A．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于直线对称，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

解：由题得圆心的坐标为，

因为已知圆关于直线对称，

所以.

故选：C

3．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））若方程表示圆，则的取值范围为（       ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

依题意，

即，

解得或，

所以的取值范围是.

故选：C

重点题型二：求圆的一般方程

典型例题

例题1．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知圆经过点，，.

(1)求圆的方程；

【答案】(1)；(2)

(1)设圆的一般方程为，把三个点代入得

，得

所以圆的方程为   

即.

例题2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一阶段练习）已知三个顶点坐标分别为：，直线经过点．

(1)求外接圆的方程；

(2)若直线与相切，求直线的方程；

【答案】(1)；

(2)或.

(1)设⊙M的方程为，

则由题意可得：，解得，

故所求圆方程为，即.

(2)当直线斜率不存在时，的方程为，显然不满足题意；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于2，

即，解得或，

故所求直线方程为或.

同类题型归类练

1．（2022·天津天津·高二期末）已知圆C经过，，三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.

【答案】

解：设圆的方程为，则，

，，，

，即,

令，可得，解得、，所以、，或、，

，

2．（2022·江苏·高二课时练习）已知的顶点为，，，求的外接圆的方程．

【答案】

设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∵A、B、C三点在圆上，将三点的坐标代入圆的方程，

得，解得，

∴△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－4x-2y－20＝0.

3．（2022·江苏·高二课时练习）求过三点，，的圆的方程．

【答案】

设圆的方程为经过，

所以，解得：，

所以圆的方程为.

4．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆过三点，，，求圆的方程．

【答案】

设圆的一般方程为

则 ，

解得,

∴所求圆的方程为．

重点题型三：圆的一般方程与标准方程转化

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.

故选：D.

例题2．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）若方程表示圆，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

方程化为标准式得

，则.

故选：D.

例题3．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）圆的圆心坐标及半径分别为（       ）

A．与5 B．与5

C．与 D．与

【答案】D

已知圆，可化为，故圆心坐标为，半径为.

故选：D.

同类题型归类练

1．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）已知实数满足方程，则的最大值为（       ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

将方程变形为，则圆心坐标为，半径，

则圆上的点的横坐标的范围为：

则x的最大值是

故选：D.

2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，它的半径是___________.

【答案】

由，则半径为

故答案为：

3．（2022·广西·鹿寨县鹿寨中学高二阶段练习（文））圆的圆心到直线的距离为2，则______________.

【答案】##0.75

将

化为，

所以该圆的圆心为，

因为圆心到直线的距离为2，

所以，解得.

故答案为：.

4．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示圆，则实数的取值范围是________.

【答案】

方程可化为：

，

因为方程表示圆，

所以 ，

解得 ，

故答案为：

重点题型四：点与圆的位置关系

典型例题

例题1．（2022·四川省内江市第六中学高二开学考试（理））点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） 

A． B． C． D．

【答案】B

因为 ，所以 ，由于点 在圆 内

所以，所以，所以

故选：B

例题2．（2022·全国·高三专题练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（   ）

A．1 B．2 C．2或1 D．或

【答案】A

因圆过原点，于是得，解得：或，

当时，原方程为，它是一个点，不是圆，当时，原方程为，它是以为圆心，为半径的圆，

所以实数的值为1.

故选：A

例题3．（2022·辽宁丹东·一模）“”是“点在圆外”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

将化为标准方程，得

当点在圆外时，有，解得

∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.

故选：B.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

由题意，表示圆

故，即或

点A（1，2）在圆C：外

故，即

故实数m的取值范围为或

即

故选：A

2．（2022·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部（不含边界），则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

圆，即，圆心，半径，

因为点在圆的外部，

所以点到圆心的距离大于半径，

即，解得，

故选：B.

3．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知点是圆C:外一点，则m的取值范围为___________.

【答案】

由题设，圆的标准方程为，又在圆外，

所以，解得.

故答案为：.

重点题型五：求动点的轨迹方程

典型例题

例题．（2022·全国·高二课时练习）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点的轨迹方程是___________．

【答案】

设，即，整理得：即．

故答案为：．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆上一定点，为圆上的动点，则线段中点的轨迹方程为______________．

【答案】

设线段中点的坐标为，且点，

又由，可得，解得，

又由，可得，即.

故答案为：.

例题3．（2022·全国·高三专题练习）直线与圆相交于，两点，为圆心，当变化时，求弦的中点的轨迹方程．

【答案】

设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．

∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．

解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．

同类题型归类练

1．（2022·全国·高三专题练习（理））若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

设，则，即，化简得，

所以点的轨迹为以为圆心，的圆，

则圆心到直线的距离，

所以点C到直线的距离的最小值为；

故选：A.

2．（2022·安徽滁州·二模（文））已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

圆即,半径

因为,所以

又是的中点,所以

所以点的轨迹方程为

故选：B

3．（2022·广东茂名·高三阶段练习）已知圆C：，点是圆上的动点，与圆相切，且，则点的轨迹方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

解：因为圆C：，所以圆心，半径，因为点是圆上的动点，所以，又与圆相切，且，则，设，则，即，所以点的轨迹方程为；

故选：B

4．（2022·吉林省实验中学高二期末）动点M在圆上移动，则M与定点连线的中点P的轨迹方程为___________.

【答案】##

设，中点，则，即，

因为在圆上，代入得．

故答案为：.

5．（2022·浙江·高三专题练习）已知点，P为圆上的动点，则线段AP中点的轨迹方程为___________.

【答案】.

设AP的中点为，，所以，而，所以，即AP中点的轨迹方程为：.

故答案为：.

6．（2022·上海·高三专题练习）自圆上点引此圆的弦，则弦的中点的轨迹方程为______．

【答案】.

解：设中点为,

由中点坐标公式可知,B点坐标为．

点在圆上,．

故线段中点的轨迹方程为．不包括A点,

则弦的中点的轨迹方程为

故答案为：．

7．（2022·江苏·高二）已知圆过三个点.

(1)求圆的方程；

(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.

【答案】(1)

(2)

(1)解：设圆的方程为，

因为圆过三个点，

可得，解得，

所以圆的方程为，即.

(2)解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，

以为直径的圆的方程为，

联立方程组，解得或，

所以点的轨迹方程为.

重点题型六：关于点或直线对称的圆

典型例题

例题1．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（   ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称，

所以直线过圆心，

所以，又，

所以即当取最大值为，

故选：A.

例题2．（2022·江苏·高二）求圆关于点对称的圆的方程为___________.

【答案】

圆化为标准方程为：.所以，半径.

故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D.

由中点坐标公式求得: ,

所以对称圆的方程为：.

故答案为：

例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上一动点，关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，则的取值范围是___________.

【答案】

解：由题知：圆，圆心为，半径，

设，则，所以，

而，所以，

所以的取值范围是，

故答案为：.

同类题型归类练

1．（2022·河北·高三期中）若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．8

【答案】B

由题可知圆的圆心为，若圆上存在两点关于对称，则说明直线过圆心，即，即，变形可得

故

当且仅当，即时取得等号，故最小值为4.

故选：B

2．（2022·全国·高三专题练习）若直线始终平分圆，则（       ）

A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6

【答案】A

解：由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．

故选：A.

3．（2022·江苏·高三专题练习）若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为（        ）

A．1 B．5

C．4 D．3＋2

【答案】D

由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，

∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，

∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，

当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．

∴＋的最小值为3＋2.

故选：D

4．（2022·广东清远·高二期末）圆：关于直线：对称的圆的标准方程为_____________.

【答案】.

解：由圆：得其标准方程为，圆心的坐标为，半径.

设圆心关于直线的对称点为，则，解得 ，

所以所求圆的方程为.

故答案为：.

1．（2022·北京·一模）已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，

将圆的一般方程转变为标准方程： ，

圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ，

， ，

函数是开口向下，以   为对称轴的抛物线，

所以 ，

故选：A.

2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

因为点在圆：的外部，

所以，

解得，

又方程表示圆，

所以，

解得，

故实数a的取值范围为．

故选：C

3．（2022·陕西西安·二模（理））已知，方程表示圆，则圆心坐标是______．

【答案】

方程表示圆，

所以，解得或，

当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；

当时，方程，即，此时，方程不表示圆．

综上所述，圆心坐标是．

故答案为：．

4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）过点作圆的切线有两条，则的取值范围是________

【答案】

表示一个圆，

，

又由过点作圆的切线有两条，得：P在圆外，

所以，解得：或.

综上所述：.

所以的取值范围是.

故答案为: .

5．（2022·天津·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为，则__________．

【答案】

详解：的标准方程为，

则圆心为，圆心到直线的距离为

，解得，故答案为0.