高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式习题

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：一元二次不等式（不含参）的求解
重点题型二：一元二次不等式（含参）的求解
角度1：二次项系数不含参数
角度2：二次项系数含参
重点题型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
重点题型四：分式不等式的解法
重点题型五：不等式恒成立问题
重点题型六：一元二次不等式的实际问题
第五部分：高考（模拟）题体验







第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局








第二部分：知 识 点 精 准 记 忆


知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均为常数）
②（其中均为常数）
③（其中均为常数）
④（其中均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式



二次函数(的图象



一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集



()的解集



知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试

1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）的解集为（       ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
解：因为时，解得或，
所以的解集为或.
故选：B.
2．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二阶段练习）设集合，则（       ）
A．Ü B．Ü C． D．
【答案】C
由题意知，集合或，集合或，则.
故选：C.
3．（2022·广西·高二学业考试）不等式的解集为（        ）
A．R B． C． D．
【答案】B
由，得，
得，
所以不等式的解集为.
故选：B
4．（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（       ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
解：原式化为，即，故不等式的解集为.
故选:D
5．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，，所以
故选：D.
第四部分：典 型 例 题 剖 析


重点题型一：一元二次不等式（不含参）的求解
典型例题
例题1．解下列不等式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)或
(1)解：（1）∵，∴，解得，
故原不等式的解集为．
(2)∵，∴，解得或，
故原不等式的解集为或．
例题2．求下列不等式的解.
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
(1)由，得，解得，
所以不等式的解集为
(2)由，得，，
所以，且，解得
所以原不等式的解集为
同类题型演练
1．解下列不等式:
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1)； (2)；
(3)； (4).
(1)，可得，
∴不等式解集为.
(2)原不等式等价于，
∴，可得.
∴不等式解集为.
(3)，可得，
∴不等式解集为.
(4)原不等式等价于，即，显然无解，
∴不等式的解集为.
2．求下列不等式的解集：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)或(3)
(1)依题意：，解集为.
(2)依题意：或，或，解集为或.
(3)依题意：,,,,解集为.
3．求下列方程或不等式的解集．
(1)解方程；
(2)解不等式．
【答案】(1)；
(2)或.
(1)，
∴或，即或，解得，，，．
∴方程的解集为．
(2)，即，
∴或，故不等式的解集为或．
4．解下列不等式:
(1)；
(2)
【答案】(1){或}(2)
(1)解：由得：，
解得：或，
所以不等式的解集为：{或}；
(2)解：由，得，
令，可知，
则对应抛物线开口向上，
所以的解集为：.
重点题型二：一元二次不等式（含参）的求解
角度1：二次项系数不含参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：；
（不等式可化为.
①当时，，解集为，或；
②当时，，解集为；
③当时，，解集为，或.
综上所述，
当时，原不等式的解集为，或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为，或.
例题2．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二期末）在①，
②，
③
这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数的取值范围.
已知，_________，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】答案见解析.
由命题，得到，规定集合.设q对应的x的范围即为集合B.
因为p是q的必要不充分条件，所以BÜA.
选条件①.
由可解得：.
因为BÜA，只需解得：，
当时，，有BÜA；
当时，，有BÜA；
即实数a的取值范围为.
选条件②，
由可解得：.
因为BÜA，只需解得：，
当时，，有BÜA；
当时，，有BÜA；
即实数a的取值范围为.
选条件③.
由可解得：.
因为BÜA，只需解得：，
当时，，有BÜA；
即实数a的取值范围为
同类题型演练
1．（2022·山西运城·高二期末）已知函数，
(1)当时，求不等式的解集.
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)(2)答案见解析
(1)当时，，
解得为，所以解集为
(2)由可得，
①当，即时，不等式解集为；
②当，即时，不等式可化为，此时解集为；
③当，即时，不等式解集为
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
2．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知函数．
(1)求关于x的不等式的解集；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)解：由已知易得即为：，
令可得与，
所以，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
(2)解：由可得，
由，得，
所以可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以的取值范围是.
3．（2022·广东茂名·高一期末）解关于的不等式.
原不等式可化为，即，
①当，即时，；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，.
综上知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时原不等式的解集为.

角度2：二次项系数含参
典型例题
例题1．解下列关于的不等式：（）.
【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为
当时，原不等式，解的；
当时，原不等式，又
所以解集为；
当时，因为
所以解集为.
综上有，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为.
例题2．解关于的不等式．
解：（1）当时，原不等式，解得，
不等式解集为；
（2）当时，，
开口向上，由图象得：
若时，，
的两个零点为，，
不等式的解集为；
若时，，不等式解集为；
（3）当时，，
的两个零点为，
开口向下，
由图象得不等式解集为
综上可知，当时不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
同类题型演练
1．解关于x的不等式
解：关于x的不等式
可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
2．设函数.
(1)若，解不等式；
(2)若，解关于x的不等式
【答案】(1)或；(2)详见解析.
(1)当时，由，解得或，
故当时，不等式的解集为或.
(2)由可得，
当时，方程的两根分别为，.
当时，，解原不等式可得；
当时，原不等式即为，该不等式的解集为；
当时，，解原不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
3．求关于x的不等式 （其中）的解集.
【答案】时，不等式的解集为，时，解集为．
不等式可化为，
时，或，
时，，
时，或．
综上，时，不等式的解集为，时，解集为．
重点题型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
典型例题
例题1．（2022·河南·郑州市第七中学高二期末（理））已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
由题意知：且，得，
从而可化为，等价于，解得或.
故选：A.
例题2．（2022·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）已知不等式的解集是，则不等的解集是（      ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为不等式的解集是,
故且2,3为的两根.
根据韦达定理有 ,故,
故可写成,
因为，所以
解得，即
故选：C.

同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是，则的解集是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为不等式的解集是，
所以方程的两根为，
所以由韦达定理得，，即，
所以，解不等式得解集为
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（        ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【答案】B
解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
3．（2022·全国·高一期末）若的解集是，则等于（       ）
A．-14 B．-6 C．6 D．14
【答案】A
∵的解集为，
∴-5和2为方程的两根，
∴有，解得，
∴.
故选：A.
4．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（       ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】D
由已知可得－2，3是方程的两根，
则由根与系数的关系可得且，解得，所以A正确；
对于B，化简为，解得，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，化简为：，解得，D错误．
故选：D.
5．（2022·江苏省镇江中学高一期中）若关于x不等式的解集为，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
解：化为，
因为其解为，
所以a＜0，且－1和是方程的两根，
根据韦达定理得，
①，
②，
∴①÷②得，
∵a＜0，，
∴b＞0，c＞0，
∴化为，即，解得x＞4或x＜－1．
故选：D
重点题型四：分式不等式的解法
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））解下列不等式：
.
【答案】
，
解得，解集为
例题2．（2022·北京市第九中学高一期中）解下列关于的不等式：
；
【答案】(1)；
由得：，解得：，不等式的解集为；
同类题型演练
1．（2022·浙江·高一期中）求下列不等式的解集.

【答案】
原不等式转化为：
且
所以，
所以，原不等式的解集为.
2．（2021·北京市第三中学高一期中）解下列关于x的不等式．

【答案】；
由题意，，不等式的解集为.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）解关于的不等式：

【答案】.
由得：，，解得：，
不等式的解集为.
4．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）解下列不等式：
．
【答案】
将不等式变形为，
即且，
解得，
所以不等式的解集为．
重点题型五：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，
等价于．
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
例题2．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（     ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
当时显然恒成立，
当时要使命题为真，则：
可得；而时不可能恒成立，
综上，k的取值范围是.
故选：B
同类题型演练
1．（2022·天津·耀华中学模拟预测）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
当时，不等式为恒成立，故满足要求；
当时，要满足：
，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故选：D
2．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）对任意的，恒成立，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
当时，由得：，
（当且仅当，即时取等号），，解得：，
即的取值范围为.
故选：D.
3．（2022·河北保定·高二期末）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.
【答案】
由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.
故答案为：.
4．（2022·江苏南京·高二期末），则的取值范围为__________．
【答案】
由题设，可得.
故答案为：
5．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
由题意得，“，”是真命题，
则对恒成立，
在区间上，的最小值为，
所以，
即a的取值范围是.
故答案为：
重点题型六：一元二次不等式的实际问题
1．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
【答案】（1），；（2）．
（1）利用年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量列出表达式即可，要注意根据实际意义注明函数的定义域；（2）通过解一元二次不等式得到所求增加比例的范围．
试题解析：（1）由题意得：，，
整理得：，
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须，
即，．
解得，所以投入成本增加的比例应在范围内．
2．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，
（1）为使日利润有所增加，求x的取值范围；
（2）当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润.
【答案】（1）；（2）当，最大日利润是元.
（1）由题意得：日利润为： ，
，
若日利润有所增加，则 ，
即 ，
解得 ，
所以x的取值范围是；
（2）由（1）知日利润为，
，
当时，日利润最大，最大日利润是元.
3．某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个.
（1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？
（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元.公司计划投入万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？
【答案】（1）90元；（2）20万，30元.
（1）设每件零售价为元，由题意可得即，
，∴.
故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元.
（2）当时，有解，
当时，有解，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，因此，该削笔器的年销售量至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元.
4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）设他每月获得的利润为w（单位：元），写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系．
（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利润不少于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
【答案】（1）；（2）元
（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件，
所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为．
（2）由每月获得的利润不小于3000元，得．
化简，得．解得．又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以．
设政府每个月为他承担的总差价为元，则．
由，得．故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元．
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验


1．已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（       ）
A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立
【答案】B
当且 时，
的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.
当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.
故选：B
2．已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：因为集合，，
所以，
故选：D.
3．“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
解：由题知，
因为，
所以，当时，，解得，
当时，或，解得，
综上，实数a的取值范围是或
故选：D
5．已知不等式的解集中恰有五个整数，则实数a的取值范围为___________.
【答案】或
，
当时，原不等式化为，显然，不符合题意；
当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，
若五个整数是时，可得，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集；
当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，
若五个整数是时，可得，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
五个整数是时，，此时解集为空集，
故答案为：或