人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆达标测试

3.1.1椭圆及其标准方程（精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2022·江苏·高二）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（     ）

A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】A

解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，

由椭圆的定义可得,

又，故.

故选：A.

2．（2022·山东济南·三模）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的(       )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

方程表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解得0＜a＜，

故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充要条件．

故选：C．

3．（2022·全国·高二专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（       ）

A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线

【答案】C

解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，

当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；

当 时，，此时动点 的轨迹是线段．

故选：C．

4．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（            ）

A．10 B．15 C．20 D．25

【答案】C

由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知

∴

故选：C

5．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（       ）

A．3 B．5 C． D．13

【答案】B

因为椭圆，

所以，，

则椭圆的右焦点为，

由椭圆的定义得：，

当点P在点处，取等号，

所以的最大值为5，

故选：B.

6．（2022·陕西·西安中学一模（文））已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（       ）

A． B． C．5 D．6

【答案】B

解：设圆的圆心为，则，

设，则，

所以

，当且仅当时取得最大值，

所以．

故选：B．

7．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

因为，所以三点共线，且，

因为分别为和的中点，

所以，所以，

设，，，

由，可得，

求得，，所以，

因为点在椭圆上，所以，求得，，

所以椭圆的方程为.

故选：B.

8．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

根据椭圆的定义可知，，即，

因为，，

所以，

当且仅当，时等号成立.

故选：A

二、多选题

9．（2022·江苏·高二）点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

设椭圆方程为，

设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，

则需，

，

即，，，

则，所以选项AC满足.

故选：AC.

10．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（       ）

A．的周长与点的位置无关

B．当时，的面积取到最大值

C．的外接圆半径最小为

D．的内切圆半径最大为

【答案】ACD

由椭圆定义知，的周长为，故A正确；显然当位于短轴端点时的面积最大，由知此时，故B错误；由正弦定理知外接圆直径，由知最大为钝角，故时取最小值，故的最小值为，故C正确；设内切圆半径为，由知，越大则越大，，故，

故选：ACD

三、填空题

11．（2022·青海青海·高二期末（文））已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．

【答案】10

解：椭圆的方程为，∴，，，

连接，，则由椭圆的中心对称性可得

的周长，

当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，

．

故答案为：10

12．（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.

【答案】

由，且，

在中，∠

.

故答案为：

四、解答题

13．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知命题p：关于x的二次不等式有解；命题q：方程表示椭圆方程.若为真命题，求实数m的取值范围.

【答案】或.

二次不等式有解，当时，不等式有解，

当时，，解得，则，

因此，命题p：，

方程表示椭圆方程，则，且，即命题q：，且，

因为真命题，则命题都为真命题，于是得或，

所以实数m的取值范围是或.

14．（2022·全国·高二课时练习）写出适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出图形：

(1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4；

(2)经过点，；

(3)经过点，焦点坐标分别为，；

(4)经过点，焦距为．

【答案】(1)，图形见解析

(2)，图形见解析

(3)，图形见解析

(4)或，图形见解析

(1)由题知：焦点在轴上，，，即，，，

则标准方程为：。

如图所示：

(2)由题知：焦点在轴上，，，标准方程为：。

(3)由题知：焦点在轴，且，

设椭圆标准方程为，

所以，解得或（舍去）。

即标准方程为

如图所示：

(4)由题知：，

当焦点在轴时，设标准方程为：，

所以，解得或（舍去）。

即标准方程为。

如图所示：

当焦点在轴时，设标准方程为：，

所以，解得或（舍去）。

即标准方程为。

如图所示：

B能力提升

1．（2022·辽宁大连·高二期末）阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

由题意可知，解得，即椭圆C的方程为.

故选：D

2．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））阿基米德是古希腊著名的数学家，物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C：的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

根据题意，可得出，即，

因为两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，所以，

又因为，

所以联立，组成方程组可解得，所以椭圆C的标准方程是.

故选：C.

3．（2022·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

由题意椭圆方程是方程为，排除BD，

矩形的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，．

在椭圆中，，, 不满足题意，

在椭圆中，, 满足题意．

故选：C．

4．（2022·广东·模拟预测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（       ）

A．无解 B．的解为

C．的最小值为2 D．的最大值为2

【答案】BC

解：，

设，，，

则，

若，则，

则的轨迹是以，为焦点的椭圆，

此时，，即，，

即椭圆方程为，当时，得，得，得，故A错误，B正确，

关于对称点为，

则，当三点共线时，最小，此时，无最大值，

故C正确，D错误，

故选：BC.

C综合素养

1．（2022·江苏·高二课时练习）设k为实数，若椭圆的方程为，求满足下列条件的k的取值范围：

(1)椭圆的焦点在x轴上；

(2)椭圆的焦点在y轴上．

【答案】(1)；

(2).

(1)∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的方程为，

∴，解得，

∴k的取值范围为；

(2)∵椭圆的焦点在y轴上，椭圆的方程为，

∴，解得，

∴k的取值范围为.

2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为、，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和等于；

(2)经过点，且与椭圆有共同的焦点．

【答案】(1)

(2)

(1)解：因为椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，

由椭圆的定义可得，则，故，

因此，椭圆的标准方程为.

(2)解：椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点为、，

设所求椭圆的标准方程为，

由椭圆的定义可得

，则，.

因此，所求椭圆的标准方程为.