23.1 比例线段 华东师大版九年级数学上册同步能力达标测评(含答案)

2021-2022学年华师大版九年级数学上册

23.1比例线段同步能力达标测评

一．选择题（共10小题，满分40分）

1．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）

A． B． C． D．

2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F．若，DE＝4，则DF的长为（　　）

A．10 B． C．12 D．14

3．若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　）

A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 

C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形

4．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（　　）

A． B． C．﹣1 D．﹣1

5．如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

7．已知△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

8．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

9．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　）

A．3 B． C．2 D．

10．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（　　）

A．2 B． C．3 D．

二．填空题（共5小题，满分30分）

11．若，则＝　              　．

12．在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 　        　．

13．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　    　．

14．黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若EM＝4，则AB＝　              　．

15．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为　              　．

三．解答题（共5小题，满分50分）

16．已知线段x，y满足＝，求的值．

17．已知a：b＝2：3，b：c＝3：4，且2a+b﹣c＝6，求a、b、c的值．

18．若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．

19．若x、y、z满足＝＝＝k，求k的值．

20．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．

角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是　                　．

参考答案

一．选择题（共10小题，满分40分）

1．解：设CF＝x，

∵EF∥AC，

∴＝，

∴＝，

解得x＝，

∴CF＝，

∵EF∥DB，

∴＝＝＝．

故选：A．

2．解：∵l1∥l2∥l3，

∴＝＝，

∵DE＝4，

∴EF＝10，

∴DF＝DE+EF＝4+10＝14，

故选：D．

3．解：∵三条线段a、b、c的长满足，

设a＝（+1）k，b＝2k，

则c＝（﹣1）k，

∵，

∴不能围成三角形，

故选：D．

4．解：在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝1，OA＝2，由勾股定理得：OB＝＝，

∵BC＝AB，AB＝1，

∴BC＝1，

∴OC＝OB﹣BC＝﹣1，

即OP＝﹣1，

∵OP的中点是D，

∴OD＝OP＝×（﹣1）＝，

即点D表示的数是，

故选：A．

5．解：∵EF∥BC，

∴＝，＝，＝＝，

∴选项A，C，D正确，

故选：B．

6．解：∵l1∥l2∥l3，

∴，，，，

故选：D．

7．解：∵DE∥BC，DH∥AC，

∴四边形DECH是平行四边形，

∴DH＝CE，DE＝CH，

∵DE∥BC，

∴＝＝，故选项A正确，不符合题意，

∵DH∥CG，

∴＝＝，故C正确，不符合题意，

∵DE∥BC，

∴＝，

∴＝，故D正确，不符合题意，

故选：B．

8．解：∵一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，

∴她下半身的长度为92cm，

设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，

根据题意得≈0.618，

解得x≈8.3（cm）．

经检验x＝8.3为原方程的解，

所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．

故选：C．

9．解：连接BD，如图所示：

由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，

设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，

∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，

∴BD＝a．

∵OD∥AB，

∴＝＝＝，

故选：B．

10．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC，

∵DF＝BC，

∴DA＝DF，

∴AH＝FH，

∵AF⊥BE，

∴DG∥BE，

∴AG＝BG＝，

∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，

∴四边形BEDG为平行四边形，

∴DE＝BG＝3，

∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．

故选：C．

二．填空题（共5小题，满分30分）

11．解：∵，

∴b＝3a，d＝3c，

∴＝＝＝．

故答案为：．

12．解：当△ABC为“黄金三角形”时，分三种情况：

①AB＝AC时，∠ACB＝∠ABC＝2∠BAC，

∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝×180°＝36°，

∴∠OAC＝∠OAB﹣∠BAC＝100°﹣36°＝64°；

②BA＝BC时，∠BAC＝∠BCA＝2∠ABC，

∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝×180°＝72°，

∴∠OAC＝∠OAB﹣∠BAC＝100°﹣72°＝28°；

③CA＝CB时，∠BAC＝∠ABC＝2∠ACB，

∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝×180°＝72°，

∴∠OAC＝∠OAB﹣∠BAC＝100°﹣72°＝28°；

综上所述，∠OAC的度数等于64°或28°，

故答案为：64°或28°．

13．解：∵点O是线段AG的中点，

∴OA＝OG＝AG，

∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，

∴＝＝＝，＝＝，

∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，

∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，

故答案为：2：1．

14．解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴AB＝DE，正五边形内角和（5﹣2）×180°＝540°，

∴∠EDC＝∠AED＝∠BCD＝108°，

∴∠DEN＝∠EDM＝∠MDN＝∠CDN＝∠DCN＝36°，

∴EM＝DM，∠EDN＝∠END＝∠CMD＝72°，

∴DN＝DM＝EM＝4，△EDN为黄金三角形，

∵黄金三角形的底与腰之比为，

∴＝，

∴DE＝＝＝2+2，

∴AB＝2+2，

故答案为：2+2．

15．解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，

∵EH∥CD，

∴＝，

∵BE＝3EC，

∴＝＝，

∵D是AC的中点，

∴AD＝CD，

∴＝，

∵EH∥AD，

∴＝＝．

故答案为．

三．解答题（共5小题，满分50分）

16．解：∵＝，

∴y（2x+y）＝x（x﹣y），

则x2﹣3xy﹣y2＝0，

解得x1＝y，x2＝y（负值舍去）．

故的值为．

17．解：∵a：b＝2：3，b：c＝3：4，

∴设a＝2k，b＝3k，c＝4k（k≠0），

∵2a+b﹣c＝6，

∴4k+3k﹣4k＝6，

∴k＝2，

∴a＝2k＝2×2＝4，

b＝3k＝3×2＝6，

c＝4k＝4×2＝8．

18．解：设＝＝＝k，

则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，

所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，

解得k＝2，

所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，

所以a：b：c＝4：8：7．

19．解：①当x+y+z＝0时，y+z＝﹣x，

∴k＝＝＝﹣1；

②x+y+z≠0时，

等比性质得k＝＝＝2．

20．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，

∵CE∥AD，

∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，

∵∠1＝∠2，

∴∠ACE＝∠E，

∴AE＝AC，

∴＝；

（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，

∴AC＝5，

∵AD平分∠BAC，

∴＝，即＝，

∴BD＝BC＝，

∴AD＝＝＝，

∴△ABD的周长＝+3+＝．

故答案为．