2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面的四个图形中，与是对顶角的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如果点在直角坐标系的轴上，那么点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4. “的倍与的和是非负数”列成不等式为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，不能判断≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 方程组的解为正数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为：，则这个正多边形是(    )

A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形

8. 甲乙两地相距千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用小时，逆水行船用小时，若设船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，则下列方程组中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知和是两个全等的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，，两线交于点，交于点，交于点，则下列结论正确的有个．(    )
    ≌；；≌；是等边三角形．

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 化简：          ．
12. 如果是方程的解，则______．
13. 如图，直线、相交于点，若，则等于______．

14. 和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为______．
15. 已知关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
16. 如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则______度．

三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程组；
    解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18. 本小题分
    已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
    求，，的值；
    求的平方根．
19. 本小题分
    某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． 
    
    这次被调查的同学共有______名；
    把条形统计图补充完整；
    校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供人用一餐．据此估算，该校 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
20. 本小题分
    如图，点、、、在同一直线上，，，．
    求证：≌；
    若，，求的度数．

21. 本小题分
    小明同学在、两家超市发现他看中的随身听和书包的单价都相同，随身听和书包单价之和是元，且随身听的单价比书包单价的倍少元．
    求小明看中的随身听和书包单价各是多少元？
    假日期间商家开展促销活动，超市所有商品打八折销售，超市全场购物满元返购物券元销售购物满元返购物券元，购物满元返购物券元，以此类推；不足元不返券，购物券可通用小明只有元钱，他能买到一只随身听和一个书包吗？若能，选择在哪一家购买更省钱．
22. 本小题分
    在中，，，于．
    如图，已知于，求证：；
    如图，是线段上任意一点不与、重合，过作于，于，求证：；
    在图中，若是延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出、、之间的关系．

23. 本小题分
    如图，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“字型”．
    求证：；
    如图，若和的平分线和相交于点，且与、分别相交于点、．
    以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个；
    若，，求的度数；
    若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系，并证明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是，
故选：．
本题考查了算术平方根，平方运算是求平方根的关键．根据平方运算，可得平方根、算术平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据对顶角的定义可知：只有图中的与是对顶角，其它都不是．
故选：．
根据对顶角的定义作出判断即可．
本题考查对顶角的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：点在直角坐标系的轴上，
，
解得，
所以，，
点的坐标为．
故选：．
根据轴上的点的纵坐标为列式求出的值，即可得解．
本题考查了点的坐标，熟记轴上的点的纵坐标为是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得：．
故选：．
直接利用的倍为，非负数即大于等于，进而得出不等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
又，
当时，不能判断≌，故选项A符合题意；
当时，≌，故选项B不符合题意；
当时，≌，故选项C不符合题意；
当时，≌，故选项D不符合题意；
故选：．
根据题意可以得到，，然后再分别对各个选项中的条件，写出能否判断≌，能判断的写出依据即可．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：，得，，解得，
代入得，，
此方程组的解为正数，即，
，解得．
故选：．
把当作已知表示出、的值，再根据、为正数求出的取值范围即可．
本题考查的是解二元一次方程组的方法，在解此方程组时要把当作已知表示出另外两个未知数，再根据题目中所给的条件列出不等式组，求出的取值范围即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为：，
设这个外角是，则内角是，
根据题意得：，
解得：，
边，
故选：．
设这个外角是，则内角是，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是即可求解．
本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
考查用二元一次方程组解决行程问题；得到顺水路程及逆水路程的等量关系是解决本题的关键，用到的知识点为：顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度．两个等量关系为：顺水时间顺水速度；逆水时间逆水速度，把相关数值代入即可求解．

【解答】
解：根据题意可得，顺水速度，逆水速度，
根据所走的路程可列方程组为，
故选A．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
利用三角形的内角和定理可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：和是两个全等的等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，故正确；
≌，
，
，故正确；
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，故正确；
≌，
，
，
为等边三角形；故正确，
结论正确的有，共个，
故选：．
根据等边三角形的性质得，，，则，利用“”可判断≌；
由≌得到，然后根据三角形外角定义可以判断正确；
由≌得到，然后根据“”判断≌；
根据有一个角是度的等腰三角形是等边三角形即可进行判断．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
二次根式的性质：，根据二次根式的性质可以对上式化简．
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
 

12.【答案】 

【解析】解：把，代入方程，得
，
移项，得，
合并同类项，系数化为，得．
将，代入方程，把未知数转化为已知数，然后解关于未知系数的方程．
本题的关键是将方程的解代入原方程，把关于、的方程转化为关于系数的方程，再求出即可．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对顶角相等，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
根据对顶角相等可得，再求出，然后根据邻补角的定义列式计算即可得解．
【解答】
解：由对顶角相等可得，，
，
，
．
故答案为：．  

14.【答案】或 

【解析】解：如图所示：

、分别为、边上的高，
和均为直角三角形．
在和中，
，
≌．
．
如图所示：

、分别为、边上的高，
和均为直角三角形．
在和中，
，
≌．
．
．
故答案为：或．
分别画出两个三角形，、都在三角形内部，根据直角三角形全等的判定定理可得出≌，从而可得出；、有一个在三角形的外部，可证明≌，可求得，然后可求得的度数．
本题考查全等三角形的判定及性质，需要掌握三角形的判定定理包括：，，，，直角三角形的判定，注意，不能判定全等，分类画出图形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
关于的不等式组有个整数解，
这个整数解是，，，，，，，，，
，
故答案为：．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据关于的不等式组有个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可．
本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，
，
同理可得，
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出．
本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出和之间的规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
解得，
则方程组的解为；
由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
，，
是的整数部分，
．
将，，代入得：，
的平方根是． 

【解析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值；
将、、的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
 

19.【答案】
剩少量的人数是；，
补图如下；

人．
答：该校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐． 

【解析】

解：这次被调查的同学共有名；
故答案为：；
见答案
见答案
【分析】
用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；
用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供人用一餐，再根据全校的总人数是人，列式计算即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
． 

【解析】利用平行线的性质得，再利用证明≌；
利用全等三角形的性质得，再利用三角形外角的性质可得答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：设书包的单价为元，随身听的单价为元
根据题意，得，
解这个方程组，得，
答：该同学看中的随身听单价为元，书包单价为元；

在超市购买随身听与书包各一件需花费现金：元
，
可以选择超市购买，
在超市可先花费现金元购买随身听，再利用得到的元返券，
加上元现金购买书包，总计共花费现金：元，
，
也可以选择在超市购买．
，
在超市购买更省钱． 

【解析】设书包的单价为元，随身听的单价为元，根据随身听和书包单价之和是元可以列出方程，根据随身听的单价比书包单价的倍少元可以列出方程，联立两个方程组成方程组即可解决问题；
分别根据销售、两个超市的销售方案计算出所需要的钱即可作出判断．
数学来源于生活，又服务于生活，本题就是数学服务于生活的实例．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，，
，
；

证明：如图，连接，则，
，
，，
，
，
故；

解：，理由如下：
如图，连接，则，
即，
，，
，
即． 

【解析】分别以、边为底边，利用的面积的两种不同表示列式整理即可得证；
连接，根据的面积等于和的面积的和，然后列式整理即可得证；
作出图形，连接，然后根据的面积等于的面积和的面积的和，列式整理即可得解．
本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．
 

23.【答案】证明见解析；
，；
 ；
，理由见解析． 

【解析】证明：在图中，有，，
，
；
解：；；
故答案为：，；
以为交点“字型”中，有，
以为交点“字型”中，有，
，
、分别平分和，
，，
，
，，
；
，其理由是：
，，
，，
以为交点“字型”中，有，
以为交点“字型”中，有
，
．
，
．
根据三角形的内角和即可得到结论；
以线段为边的“字型”有个，以点为交点的“字型”有个；
根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相减得到，即，然后把，代入计算即可；
与的证明方法一样得到．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是也考查了角平分线的定义．