2022-2023学年广东省梅州市平远县河头中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市平远县河头中学八年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式从左到右的变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知，要得到结论，不能添加的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在直角坐标系中，点的坐标为，直线轴且交轴于点，则点关于直线的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知等边，，点在上，点在的延长线上，，于，于，交于点，则下列结论：
；≌；；中，
一定正确的个数是个．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列运算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，为的直径，点，在上．若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，中，，点在边上，连接，现将沿着对折，得到，与交于点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  因式分解：______．

12.  点关于轴的对称点的坐标是______．

13.  如图，在中，是延长线上一点，，，则______．

14.  如图，在的内接五边形中，，，则______

15.  把多项式分解因式的结果是        ．

16.  在中，若，，则中线的最小整数值是______．

17.  如图，已知反比例函数的图象经过点，若在该图象上有一点，使得，则点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
某足球特色学校在商场购买甲、乙两种品牌的足球．已知乙种足球比甲种足球每只贵元，该校分别花费元、元购买甲、乙两种足球，这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球数量的倍，求甲、乙两种足球的单价各是多少元？

19.  本小题分
如图所示，在中，，，，点为三条角平分线的交点，则点到边的距离是多少？

20.  本小题分
如图，已知，求证：．

21.  本小题分
已知：如图，，，，，是垂足，求证：．

22.  本小题分
已知：如图，是上一点，，，求证：．

23.  本小题分
如图，已知，，，求的值．

24.  本小题分
新定义：对角互补的四边形称为对补四边形．
如图，四边形为对补四边形，，求的度数．
在等边三角形上，，完成以下问题：
如图，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间．
如图，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止连结，，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间．
 

25.  本小题分
如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，已知与的面积满足：：．
求的面积和的值；
求直线的表达式；
过点的直线分别交轴和轴于，两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
题目考查了分式的基本性质，分式分子分母同乘或除以一个不为的数，分式的值不变．在变形过程中，需要注意运算的正确性．
A错误，将分式分子分母同乘，应该每一项都乘以；B错误，属于符号提取错误；C错误，将分式分子分母同除，应该每一项都除以；D正确．
【解答】

解：A正确变形应该为：，
B正确变形应该为：，
C正确变形应该为：，
变形正确．
故选D．

 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：设多边形有条边，
则，
解得，
故选：．
根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值．
本题考查了多边形的对角线，熟记边形从一个顶点出发可引出条对角线是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题要判定，已知，，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：，，
A、添加，不能判定，故错误；符合题意；
B、添加，可根据判定，故不符合题意；
C、添加，可根据判定，故不符合题意；
D、添加，可根据判定，故不符合题意．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：作点关于直线的对称点，连接交于．

由题意，
点到轴的距离为，
，
故选：．
作点关于直线的对称点，连接交于利用对称性解决问题即可．
本题考查坐标与图形的性质，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点为，
，
点关于轴的对称点为，
，
，
故选：．
首先根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得点坐标，再根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得坐标，再根据算术平方根计算出答案即可．
此题主要考查了关于原点和轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

7.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，
，
，
于，于，
，
在和中，
，
≌，
；所以正确；
，
在和中，
，
≌，所以正确；
，
只有当时，，所以错误；
≌，
，
，
，
，所以正确．
故选：．
利用等边三角形的性质得到，则，则可根据“”判定≌，所以；于是可对进行判断；利用可判断≌，则可对进行判断；由于只有当时，，则可对进行判断；利用≌得到，加上，所以，从而得到，于是可对进行．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用零指数幂的性质、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则、分式的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、分式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

为的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，由为的直径，得，又，即得，从而．
本题考查圆周角定理及应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆心角是圆周角的倍．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

，
，
由折叠的性质得，≌，
，
，
，
又，
≌，
，
，
，
设，则，，，
在和中，
，，
∽，
，
，
在中，，
即，
，，
时，，不合题意，
，
，
，
故选：．
过点作于点，则，根据折叠的性质得到≌，根据全等三角形的性质得到，利用证明≌，则，设，则，，，根据相似三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，不合题意，据此求解即可．
此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，是的外角，
．
故答案为：．
利用三角形外角的性质解答即可．
本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，
四边形内接于，
，



，
故答案为：．
连接，由，得出，由四边形内接于得出，即可求出答案．
本题考查了圆周角定理，掌握圆连接四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了因式分解运用公式法，正确运用平方差公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接，

是的中线，
，
在与中，
，
≌，
，
根据三角形的三边关系得：，
，
，
，
中线的最小整数值是，
故答案为：．
延长到，使，连接，证≌，推出，根据三角形的三边关系求出即可．
本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于，将线段绕点顺时针旋转得到，作轴于，
则≌，可得，，即．
反比例函数的图象经过点，
，
，
的中点，
直线的解析式为，
由，解得或，
点在第一象限，
，
故答案为
作轴于，将线段绕点顺时针旋转得到，作轴于，则≌，可得，，即，求出线段的中垂线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
 

18.【答案】解：设购买一个甲种足球需要元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
所以元，
答：购买一个甲种足球需元，一个乙种足球需元． 

【解析】本题考查分式方程的应用，关键是根据等量关系列出方程．
设购买一个甲品牌的足球需元，则购买一个乙品牌的足球需元，根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的倍列出方程解答即可．
 

19.【答案】解：连接，，，过点作于，于，于，

在中，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
点为的三条角平分线的交点，
，
设，
，
   ，
，
解得：，
，
点到的距离等于． 

【解析】连接，，，过点作于，于，于，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用角平分线的性质可得，再利用面积法，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】证明：在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据推出和全等，再根据全等三角形的性质得出即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定的运用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

21.【答案】证明：，
．
，，
．
在和中，
，
≌，
． 

【解析】欲证明，只要证明≌即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：因为，
所以．
在和中，
，
所以．
所以． 

【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出是证明三角形全等的关键．
根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
 

23.【答案】解：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．
 

24.【答案】解：如图中，

四边形是对补四边形，
，
，
；

如图中，设运动时间为．

是等边三角形，
，
四边形是对补四边形，
，
，
，
，
．
当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为；

如图中，设运动时间为．

是等边三角形，
，，
四边形是对补四边形，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为． 

【解析】利用等角的补角相等证明即可；
如图中，设运动时间为根据，构建方程，可得结论；
如图中，设运动时间为可以全等三角形的性质证明，由此构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会鹿野茶事构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：一次函数与轴交于，
，
，
，
：：．
，
点在反比例函数上，
；
点在反比例函数上，
，
，
将代入一次函数得，
，
，
一次函数；
设，当点在轴正半轴上时，
作轴于，

，
∽，
，
，
，
，，
，
，
点为的平分线上一点，，
点到轴和轴的距离相等为，
，
当点在轴负半轴上时，如图，

同理可得，，，
，
点为的平分线上一点，，
点到轴和轴的距离相等为，
，
当点在轴负半轴上时，不合题意，舍去．
综上：或 

【解析】首先可知的坐标，从而得出的面积，再根据：：得，可得的值；
由点在反比例函数上，可得，再将点的坐标代入反比例解析式即可；
设，分点在轴正半轴上或点在轴负半轴两种情形，分别根据相似三角形的判定与性质求出和的长，从而得出的长，即可得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识，表示出和的长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．