初中数学人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试导学案
展开第2讲 有理数的加减
中考内容
中考要求
A
B
C
有理数加法
会进行有理数的加法运算,
有利于运算律或者技巧简化运算
有理数减法
会进行有理数的减法运算,
知识网络图
1有理数的加法
知识概述
1.定义:把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法.
2.法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;
(3)一个数同0相加,仍得这个数.
3.运算律:
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加,交换加数的位置,和不变
符号语言
a+b=b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变
符号语言
(a+b)+c=a+(b+c)
小试牛刀
【例】(2017春•黄梅县校级月考)计算题
(1)﹣(﹣8)+(﹣32)+(﹣|﹣16|)+(+28)
(2)0.36+(﹣7.4)+0.3+(﹣0.6)+0.64;
(3)(﹣3.5)+(﹣)+(﹣)+(+)+0.75+(﹣)
(4)(+17)+(﹣9)+(﹣2.25)+(﹣17.5)+(﹣10)
(5)1+(﹣2)+3+(﹣4)…+2009+(﹣2010)+2011+(﹣2012)
【解答】解:(1)﹣(﹣8)+(﹣32)+(﹣|﹣16|)+(+28)
=8﹣32﹣16+28
=36﹣48
=﹣12;
(2)0.36+(﹣7.4)+0.3+(﹣0.6)+0.64
=(0.36+0.64)+(﹣7.4﹣0.6)+0.3
=1﹣8+0.3
=﹣6.7;
(3)(﹣3.5)+(﹣)+(﹣)+(+)+0.75+(﹣)
=(﹣3.5+)+(﹣﹣)+(﹣+0.75)
=0﹣3+0
=﹣3;
(4)(+17)+(﹣9)+(﹣2.25)+(﹣17.5)+(﹣10)
=(+17﹣2.25﹣17.5)+(﹣9﹣10)
=﹣2﹣20
=﹣22;
(5)1+(﹣2)+3+(﹣4)…+2009+(﹣2010)+2011+(﹣2012)
=(1﹣2)+(3﹣4)…+(2009﹣2010)+(2011﹣2012)
=﹣1×1006
=﹣1006.
再接再厉
【例】(2017秋•高港区校级月考)若三个有理数a,b,c满足a+b+c=0,且a>b>c,则一定有( )
A.a>0,b=0,c<0 B.a>0,b>0,c<0 C.a>0,b<0,c<0 D.a>0,c<0
【解答】解:∵实数a、b、c满足a+b+c=0,且a>b>c,
∴a>0,c<0,
故选:D.
2 有理数的减法
知识概述
1.定义: 已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法,例如:(-5)+?=7,求?,减法是加法的逆运算.
注意:(1)任意两个数都可以进行减法运算.
(2) 几个有理数相减,差仍为有理数,差由两部分组成:①性质符号;②数字即数的绝对值.
2.法则:减去一个数,等于加这个数的相反数,即有:.
注意: 将减法转化为加法时,注意同时进行的两变,一变是减法变加法;二变是把减数变为它的相反数”.如:
小试牛刀
【例】(2017秋•银海区期末)(﹣38)﹣(﹣24)﹣(+65)=_____
【解答】解:(﹣38)﹣(﹣24)﹣(+65)
=﹣38+24﹣65
=(﹣38﹣65)+24
=﹣103+24
=﹣79
故答案为:﹣79
【例】(2017秋•东莞市期末)计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+2009﹣2010的结果是( )
A.﹣1005 B.﹣2010 C.0 D.﹣1
【解答】解:这从1到2010一共2010个数,相邻两个数之差都为﹣1,
所以1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+2009﹣2010的结果是﹣1005.
故选:A.
再接再厉
【例】(2017春•东莞市校级月考)计算:﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8…﹣95+96﹣97+98﹣99+100=_____.
【解答】解:﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8…﹣95+96﹣97+98﹣99+100
=(﹣1﹣99)+100+(2+98)+(﹣3﹣97)+(4+96)+(﹣5﹣95)+…+(48+52)+(﹣49﹣51)+50
=50;
故答案为50.
满分冲刺
【练习】(2017秋•芦溪县期中)设[x]表示不超过x的整数中最大的整数,如:[1.99]=1,[﹣1.02]=﹣2,根据此规律计算:[﹣3.4]﹣[﹣0.6]=______.
【解答】解:[﹣3.4]﹣[﹣0.6]
=﹣4﹣(﹣1)
=﹣4+1
=﹣3.
故答案为:﹣3.
【练习】 (2016秋•化德县校级期末)已知a1+a2=1,a2+a3=2,a3+a4=3,…,a99+a100=99,a100+a1=100,那么a1+a2+a3+…a100=_______.
【解答】解:∵a1+a2=1,a2+a3=2,a3+a4=3,…,a99+a100=99,a100+a1=100,
∴a1+a2+a2+a3+a3+a4…+a99+a100+a100+a1=1+2+3+…+100=5050,
∴a1+a2+a3+a4+a99+a100=5050÷2=2525,.
故答案为:2525.
总述
3 有理数的加减混合运算
知识概述
将加减法统一成加法运算,适当应用加法运算律简化计算.
小试牛刀
中考大纲
【例】(2017秋•潮阳区期中)1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016的结果不可能是( )
A.奇数 B.偶数 C.负数 D.整数
【解答】解:1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016
=﹣1﹣1﹣…﹣1
=﹣1×1008
=﹣1008.
故选:A.
【练习】计算:1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+97+98﹣99﹣100= _______.
【解答】解:1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+97+98﹣99﹣100
=(1+2﹣3﹣4)+(5+6﹣7﹣8)+…+(97+98﹣99﹣100)
=﹣4×
=﹣4×25
=﹣100.
故应填﹣100.
【巩固】计算1+2﹣3+4+5﹣6+7+8﹣9+…+1999+2000﹣2001+2002+2003=_______.
【解答】解:原式=(1+2﹣3)+(4+5﹣6)+(7+8﹣9)+…+(1999+2000﹣2001)+2002+2003
=0+3+6+…+1998+2002+2003
=(3+1998)×+4005
=666333+4005
=670338.
【例】计算:2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣218﹣219+220.
【解答】解:2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣218﹣219+220
=(2+220)﹣(22+23+…+219),
令S=22+23+…+219,
则2S=23+…+219+220,
所以S=2S﹣S=220﹣22,
所以原式=(2+220)﹣(220﹣22),
=2+22,
=6.
再接再厉
【练习】(2017秋•汶上县期中)阅读下面的计算过程,体会“拆项法”
计算:﹣5+(﹣9)+17+(﹣3)
解:原式=[(﹣5)+(﹣)]+[(﹣9)+(﹣)]+(17+)+[(﹣3)+(﹣)]
=[(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)]+(﹣)+(﹣)++(﹣)]
=0+(﹣1)
=﹣1
启发应用
用上面的方法完成下列计算:
(1)(﹣3)+(﹣1)+2﹣(﹣2);
(2)(﹣2000)+(﹣1999)+4000+(﹣1).
【解答】解:(1)(﹣3)+(﹣1)+2﹣(﹣2)
=(﹣3﹣)+(﹣1﹣)+(2+)+(2+)
=(﹣3﹣1+2+2)+(﹣﹣++)
=0+
=;
(2)(﹣2000)+(﹣1999)+4000+(﹣1)
=(﹣2000﹣)+(﹣1999﹣)+(4000+)+(﹣1﹣)
=(﹣2000﹣1999+4000﹣1)+(﹣﹣+﹣)
=0﹣1
=﹣1.
【巩固】(2017秋•元宝山区校级月考)计算:
(1)﹣3﹣4+19﹣11
(2)﹣8+12﹣16﹣23
(3)(﹣13)﹣(13)
(4)﹣9+(﹣3)+3
(5)﹣+(﹣)﹣(﹣)﹣(+)
(6)[1.4﹣(﹣3.6+5.2)﹣4.3]﹣(﹣1.5)
(7)8+(﹣)﹣5﹣(﹣0.25)
(8)0.75+(﹣)+0.125+(﹣)+(﹣4)
【解答】解:(1)原式=﹣18+19=1;
(2)原式=﹣47+12=﹣35;
(3)原式=﹣13﹣13=﹣27;
(4)原式=﹣9;
(5)原式=﹣﹣+﹣=﹣;
(6)原式=1.4+3.6﹣5.2﹣4.3+1.5=﹣3;
(7)原式=8﹣0.25﹣5+0.25=3;
(8)原式=﹣+﹣4﹣=﹣6.
【练习】(2017秋•天宁区校级月考)先阅读第(1)小题,再计算第(2)小题:
(1)计算:﹣1+(﹣5)+24+(﹣3)
解:原式=(﹣1﹣)+(﹣5﹣)+(24+)+(﹣3﹣)
=﹣1﹣﹣5﹣+24+﹣3﹣
=﹣1﹣5﹣3+24﹣﹣+﹣
=15﹣
=13
(2)计算(﹣15)+(﹣19)+14+(﹣1).
【解答】解:(﹣15)+(﹣19)+14+(﹣1)
=﹣15﹣﹣19﹣+14+﹣1﹣
=﹣15﹣19+14﹣1﹣﹣+﹣
=﹣21﹣
=﹣22
综合练习
一.选择题(共3小题)
1.计算:﹣1﹣的值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【解答】解:﹣1﹣=﹣1+(﹣)=﹣,
故选:D.
2.已知a=5,|b|=8,且满足a+b<0,则a﹣b的值为( )
A.3 B.﹣3 C.﹣13 D.13
【解答】解:∵|b|=8,
∴b=±8,
又∵a=5,a+b<0,
∴b=﹣8,
则a﹣b=5﹣(﹣8)=13,
故选:D.
3.下列计算结果等于4的是( )
A.|(﹣9)+(+5)| B.|(+9)﹣(﹣5)| C.|﹣9|+|+5| D.|+9|+|﹣5|
【解答】解:A.|(﹣9)+(+5)|=|﹣4|=4,此选项符合题意;
B.|(+9)﹣(﹣5)|=|9+5|=14,此选项不符合题意;
C.|﹣9|+|+5|=9+5=14,此选项不符合题意;
D.|+9|+|﹣5|=9+5=14,此选项不符合题意;
故选:A.
二.填空题(共1小题)
4.如图,方格中的格子填上数,使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等,则x的值为 ﹣1 .
【解答】解:6+1+2﹣1﹣5=3,
6+1+2﹣6﹣3=0,
6+1+2﹣0﹣5=4.
根据题意得:6+1+2=6+x+4,
解得:x=﹣1.
故答案为:﹣1.
三.解答题(共3小题)
5.定义:对于确定位置的三个数:a,b,c,计算a﹣b,,,将这三个数的最小值称为a,b,c的“分差”,例如,对于1,﹣2,3,因为1﹣(﹣2)=3,=﹣1,=﹣,所以1,﹣2,3的“分差”为﹣.
(1)﹣2,﹣4,1的“分差”为 ;
(2)调整“﹣2,﹣4,1”这三个数的位置,得到不同的“分差”,那么这些不同“分差”中的最大值是 ;
(3)调整﹣1,6,x这三个数的位置,得到不同的“分差”,若其中的一个“分差”为2,求x的值.
【解答】解:(1)∵a=﹣2,b=﹣4,c=1
∴a﹣b=﹣2﹣(﹣4)=2,=,=,
∴﹣2,﹣4,1的“分差”为
故答案为:
(2)①若a=﹣2,b=1,c=﹣4
则a﹣b=﹣2﹣1=﹣3,==1,=,
∴﹣2,1,﹣4的“分差”为﹣3
②若a=﹣4,b=﹣2,c=1
则a﹣b=﹣4﹣(﹣2)=﹣2,=,=
∴﹣4,﹣2,1的“分差”为
③若a=﹣4,b=1,c=﹣2
则a﹣b=﹣4﹣1=﹣5,=,=
∴﹣4,1,﹣2的“分差”为﹣5
④若a=1,b=﹣4,c=﹣2
则a﹣b=1﹣(﹣4)=5,=,=
∴1,﹣4,﹣2的“分差”为
⑤若a=1,b=﹣2,c=﹣4
则a﹣b=1﹣(﹣2)=3,=,=
∴1,﹣2,﹣4的“分差”为
综上所述,这些不同“分差”中的最大值为
故答案为:
(3)∵“分差”为2,﹣1﹣6=﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1,6,x和﹣1,x,6和x,﹣1,6
①a=6,b=x,c=﹣1,
∴a﹣b=6﹣x,=,=
若6﹣x=2,得x=4,<2,不符合
若,得x=5,6﹣x=1<2,不符合
②a=6,b=﹣1,c=x,
∴a﹣b=6﹣(﹣1)=7,=,=
若,得x=2,<2,不符合
若,得x=﹣7,>2,符合
③a=x,b=6,c=﹣1
∴a﹣b=x﹣6,=,=
若x﹣6=2,得x=8,>2,符合
若,得x=3,x﹣6=﹣3<2,不符合
综上所述,x的值为﹣7或8.
6.(﹣1)﹣1+(﹣2)﹣(﹣3)﹣(﹣1)+4.
【解答】解:(﹣1)﹣1+(﹣2)﹣(﹣3)﹣(﹣1)+4
=﹣﹣﹣+++4
=﹣4++4
=.
7.下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况,这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米(正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降).
星期
一
二
三
四
五
六
水位
变化(米)
+0.2
+0.8
﹣0.4
+0.2
+0.3
﹣0.2
(1)本周哪一天长江的水位最高?位于警戒水位之上还是之下?
(2)与上周周末相比,本周周末长江的水位是上升了还是下降了?并通过计算说明理由.
【解答】解:(1)正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降,由此计算出每天的实际水位即可求值.
本周水位最高的为周五,
周一:+0.2,
周二:+0.2+0.8=+1,
周三:+1﹣0.4=+0.6,
周四:+0.6+0.2=+0.8,
周五:+0.8+0.3=1.1m,
故本周五水位最高高于警戒水位1.1m;
(2)通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2=0.9m,
故与上周周末相比,本周周末长江的水位是上升了0.9m.
2020-2021学年第一章 有理数综合与测试学案: 这是一份2020-2021学年第一章 有理数综合与测试学案,共24页。
人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案: 这是一份人教版七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案,共21页。
数学七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案: 这是一份数学七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案,共23页。