2021-2022学年新疆乌苏市第一中学高二3月月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年新疆乌苏市第一中学高二3月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合A，B，根据交集计算即可.

【详解】由已知可得，，

所以.

故选：C

2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（       ）

A．2 B．6 C．14 D．30

【答案】C

【分析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.

【详解】运行程序框图，，，；，，；，，；，输出.

故选：C

3．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，成立，是充分的，但时，，不满足，必要性不满足，因此是充分不必要条件．

故选：A．

4．设实数满足约束条件，则的最小值为

A．-5 B．-8 C．5 D．8

【答案】A

【详解】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.

【解析】线性规划.

5．设函数在上可导，则等于（       ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】C

【分析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.

【详解】.

故选：C

6．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】C

【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对四个选项逐个分析可得答案.

【详解】对于A，若，，，则或或与相交但不垂直.故A不正确；

对于B，若，，则或.故B不正确；

对于C，若，，则，又，则.故C正确；

对于D，若，，，则或或与相交但不垂直.故D不正确.

故选：C

7．已知向量，，且与互相平行，则（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据空间向量加减法的坐标表示，先求解出向量和 ，再根据向量平行求解参数的值即可.

【详解】根据题意，

根据两向量平行得，，解得 .

故选：B.

8．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.

【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：B

9．（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合几何意义求得定积分.

【详解】，

.

，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.

在圆上，所以，

所以.

所以.

故选：C

10．设的内角的对边分别为的面积，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有，再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.

【详解】由，

∴，在中，，

∴，解得.

故选：A.

11．曲线在处的切线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，再由导数的几何意义即可得切线斜率，进而得解.

【详解】因，则，当时，，

由导数的几何意义知，曲线在处的切线斜率为1，其倾斜角为，

所以切线的倾斜角为.

故选：C

12．已知等差数列的前n项和为，且，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列下标的性质、等差数列通项公式进行求解即可.

【详解】设等差数列的公差为，

，

，

故选：B

13．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．

【详解】圆，即，圆心为，半径，

圆，即，圆心为，半径，

设点关于直线对称的点为

则 ，解得：，

圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，

设圆上的点与圆上点对称，则有，

原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，

连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，

此时，即的最小值为，

故选：A．

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.

二、填空题

14．已知向量，满足，，且，则与的夹角等于________．

【答案】

【分析】由，得，进而利用向量夹角公式即得.

【详解】由条件，

可得，

即，

得到，

所以，又，

所以．

故答案为：.

15．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手.若从中任选2人，则选出火炬手编号相连的概率为______.

【答案】

【分析】先求出基本事件总数，再求出选出的火炬手的编号相连包含的基本事件个数，由此能求出选出的火炬手的编号相连的概率．

【详解】有编号为的名火炬手，从中任选人，基本事件有，共10个；

选出的火炬手的编号相连包含的基本事件有，共个；

所以选出的火炬手的编号相连的概率．

故答案为：．

16．已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．

【答案】[0，4]

【分析】命题P为假命题，则为真命题，进而求出a的范围.

【详解】根据题意，恒成立，所以.

故答案为：.

17．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为__________.

【答案】

【分析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.

【详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，

因为平面，所以，，

于是有，

底面为矩形，所以有，

，因为平面，所以，

于是有：，

由余弦定理可知：，

所以，

因此，

，

因为，

所以，

故答案为：

18．若指数函数（且）与五次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】依题意方程有两个不同的解，两边取对数可得，从而可转化为与在图象上有两个不同的交点，利用导数说明函数的单调性，即可求出的最值，从而得到，即可求出参数的取值范围；

【详解】解：指数函数（且）与五次函数的图象恰好有两个不同的交点，等价于方程有两个不同的解．对方程两边同时取对数，得，即．因为，所以，从而可转化为与在图象上有两个不同的交点，．当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取到极大值，也是最大值，且最大值为．又因为当时，；当时，，所以．解得，即．

故答案为：

三、解答题

19．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.若，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据题意列出方程可求出公差与公比，即可求出等差数列与等比数列的通项公式;

（2）根据等差数列与等比数列的求和公式计算即可.

【详解】（1）由,，

则，

设等差数列的公差为，则，

所以，

所以

设等比数列的公比为

由，

，

解得，

所以，

（2），

数列的前项和

【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n项和公式即可，属于中档题.

20．设函数，曲线在处的切线与直线垂直．

(1)求的解析式；

(2)设曲线在处的切线为，求与两直线和所围成的三角形的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先求导，根据两直线垂直，斜率之积为求出在处的切线的斜率，进而列出关于的方程，即可求出；

（2）求出直线，求出直线与轴和直线的交点，再利用三角形面积公式求出答案．

【详解】(1)解：，

因为在处的切线与直线垂直，

所以在处的切线斜率为，

所以，解得，

所以．

(2)解：由得，，

所以，切点为，

所以直线，

与轴交点，

与交点，

所以与两直线和所围成的三角形的面积．

21．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是的中点.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.

【详解】(1)因为四棱锥中，底面是矩形，平面，，

分别是的中点，

以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，

，

，故，因为，

所以平面.

(2)是平面的一个法向量，

是平面的一个法向量，

设平面与平面所成角为，

则,

由于，所以.

22．已知函数

(1)求函数单调区间；

(2)若时，函数恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）利用导数即可求出单调区间；

（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可.

【详解】(1)   

，

当时，；当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

(2)由于，恒成立，即恒成立

构造函数，

则求导可得，

当时，恒成立.

所以在上单调递增，则，

所以.

23．已知关于x，y的方程C：

（1）当m为何值时，方程C表示圆；

（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值.

【答案】（1）m＜5；（2）m＝4

【解析】（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；

（2）利用半径，弦长，弦心距的关系列方程求解即可．

【详解】解：（1）方程C可化为，

显然只要5−m＞0，

即m＜5时，方程C表示圆；

（2）因为圆C的方程为，其中m＜5，

所以圆心C（1，2），半径，

则圆心C（1，2）到直线l：x＋2y−4＝0的距离为，

因为|MN|＝，所以|MN|＝，

所以，

解得m＝4．

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键．

24．某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，：从中随机抽取50人进行统计（已知这50个男生的身高介于155cm到195cm之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5∶2.

(1)根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数：

(2)用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在内的概率.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据频率分布直方图中频数、频率的计算方法求得第六组和第七组的频数以及频率，再求中位数即可；

（2）先根据分层抽样求得抽取5人所在的组，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】(1)根据题意，第六组和第七组的男生人数之和为：

，

又第六组和第七组人数的比为5∶2，故第六组和第七组分别为人和2人；

设男生身高的中位数为，

则，解得.

故这50位男生身高的中位数为.

(2)根据频率分布直方图可得：身高在中的男生有：人，

身高在中的男生有：人，

若从这两组中抽取15人，则从抽取人，记作

从抽取人，记作

则从5人中抽取人，共有如下10种情况：

，

，

，

两位男生身高都在的有如下3种：

，

故这两位男生身高都在内的概率.

25．已知等边的边长为4，是边上的高，E，F分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角.

(1)求直线与平面的夹角的正弦值；

(2)在线段上是否存在一点，使?证明你的结论.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标，利用向量法证明即可；

（2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标，设，利用向量法证明即可

【详解】(1)

以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

则，

设平面的法向量为

则，即

取

设直线与平面的夹角为

又，

(2)假设在线段上存在一点，使得

令，即

则，于是

因为，所以

整理得，解得，符合题意.

故线段上存在一点，使得

26．已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】（1）由，得到，，再用导数法论证即可；

（2）求导，令，则，再分，讨论求解.

【详解】（1）证明：当时，

，.

当时，；

当时，.

故在上单调递减，

在上单调递增，

，

∴.

（2），

令，

则.

①当，即时，

在上，，单调递增，

，即，

∴在上为增函数，

∴，

∴当时满足条件.

②当，即时，

令，解得，

在上，，单调递减，

∴当时，有，

即，

∴在区间上为减函数，

∴，不合题意.

综上，实数的取值范围为

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.