2021-2022学年福建省泉州市泉港区八年级（下）期末数学试卷-（Word解析版）

2021-2022学年福建省泉州市泉港区八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 化简分式，结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 点关于轴的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列图形中，不属于中心对称图形的是(    )

A. 等边三角形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形

5. 下列命题中，正确的是(    )

A. 四边形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直
C. 平行四边形的对角线相等 D. 矩形的对角线互相垂直

6. 淘气统计一组数据，，，，，，得到它们的方差为奇思将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，，，，，，计算得出这组新数据的方差为则与的关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 将直线沿轴向左平移个单位得到直线，则直线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代数学专著九章算术中有一名题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”其大意是：已知甲、乙二人同时从一地出发，甲的速度为，乙的速度为乙向东行走，甲先向南行走步时偏离原方向，朝北偏东的方向直行走一段后与乙相遇．问：甲、乙各行走了多少步？设、分别为甲、乙走的路程单位：步，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. 函数与、为常数，且在同坐标系内的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知双曲线过点、、、，且下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 函数，自变量的取值范围为______．
12. 计算：______．
13. 如果一组数据，，，，的众数为，那么这组数据的中位数为______．
14. 若，是方程的两根，则______．
15. 如图，菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连结，则______度．

16. 如图，在平行四边形中，点是的中点，经过点分别与、相交于点、下列四个结论：；；、、三点共线；若，则其中正确的结论有______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    如图，是▱的对角线，点、在上，．
    求证：．

19. 本小题分
    疫情期间，某地开展“抗击疫情教科研在行动”中，鼓励名师率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播课．据统计，第一天公益课受益学生万人次，第三天公益课受益学生万人次．
    设第二天，第三天公益课受益学生人次的增长率相同，请求出这个增长率；
    若中的增长率保持不变，预计第四天公益课受益学生将达到多少万人次？
20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    当时，试求出该方程的解；
    求证：不论取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．
21. 本小题分
    如图，在中，的角平分线交于点，．
    在上求作一点，使得；请保留尺规作图痕迹，不写作法
    四边形是菱形吗？请说明理由．

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：、、，反比例函数的图象恰好经过的中点．
    设直线与轴的交点为点，试求出的长度；
    已知点与点关于点对称．试判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
23. 本小题分
    为了解同学的体能情况，乐乐将全班同学的月份体育测试成绩绘制成下表单位：分设测试成绩为分，当时记为等级，时记为等级，时记为等级，时记为等级．请根据表格信息，解答问题：

试求出月份体育测试成绩的等级同学的平均成绩；
全班同学积极响应学校号召，经过一个多月的强化训练，并参加对比式体育测试．乐乐再次统计成绩后，发现等级的同学平均成绩提高分，等级的同学平均成绩提高分，等级的同学平均成绩提高分，等级的同学平均成绩提高分．请求出强化训练后该班学生平均成绩所提高的分数．

24. 本小题分
    冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商场准备购进“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具共个．已知：每个“冰墩墩”的进价比“雪容融”的进价多元，用元购进“冰墩墩”的数量与用元购进“雪容融”的数量相同．
    请求出“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价；
    若该商场分别以元、元的单价出售“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，并将这两款毛绒玩具的总利润拟定在不少于元，且不超过元之间．问该商场共有几种进货方案？利润售价一进价
    在的条件下，商场准备对“冰墩墩”毛绒玩具进行优惠促销活动，决定对“冰墩墩”毛绒玩具每个优惠元出售，“雪容融”毛绒玩具价格不变．那么该商场要获得最大利润应如何进货？
25. 本小题分
    如图，在矩形中，连结，将绕点逆时针旋转得，其中、的对应点分别是、，连结．
    若，求证：四边形为平行四边形；
    延长交于，连结．
    若，，求的长；
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选B．
把分子进行因式分解，进而约分即可．
本题考查了约分的定义及方法，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
 

2.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标为．
故选：．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得出答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由原方程，得
，
在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
，即，
配方，得
；
故选：．
先把常数项移到等式的右边；然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项正确；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
结合选项根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形的对角线不一定相等，故A错误，不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，故B正确，符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，故C错误，不符合题意；
矩形的对角线互相相等，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形的性质逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形的性质定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：一组数据中的每一个数据都加上或都减去同一个常数后，它的平均数都加上或都减去这一个常数，方差不变，
．
故选：．
根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
本题考查方差的意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
 

7.【答案】 

【解析】解：将直线沿轴向左平移个单位得到直线，则直线的解析式是：．
故选：．
利用一次函数“左加右减”的平移规律即可得出答案．
此题主要考查了一次函图象与平移变换，正确记忆平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设经秒二人在处相遇，这时乙共行，
甲共行，
，
，
又，
，
，
舍去或，
，
，
即，，
故选：．
设甲、乙二人出发后相遇的时间为，然后利用勾股定理列出方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，尤其本题中的文言文更不容易理解．
 

9.【答案】 

【解析】解：、由一次函数图象可知，；即，与反比例函数、为常数，且的图象可知，矛盾，故此选项错误；
B、由一次函数图象可知，；即，与反比例函数、为常数，且的图象可知，矛盾，故此选项错误；
C、由一次函数图象可知，，；与反比例函数、为常数，且的图象可知，一致，故此选项正确；
D、由一次函数图象可知，；即，与反比例函数、为常数，且的图象可知，矛盾，故此选项错误；
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判、为常数，且的图象是否正确，进而比较可得答案．
此题主要考查了一次函数图象和反比例函数的图形，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：双曲线过点、，且．
点在第二象限，在第四象限，
，
在每个象限，随的增大而增大，
，
，，
，
故选：．
根据反比例函数的增减性，可确定，然后根据反比例函数的性质得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：；
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
，
．
故答案为：．
根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算．
本题考查了二次根式的乘法，应用平方差公式可以简化计算．
 

13.【答案】 

【解析】解：这组数据众数为，
，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数为：．
故答案为：．
根据众数为可得，然后根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是方程的两根，
，，
，
故答案为：．
由一元二次方程根与系数的关系，可得，，整体代入可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示，

四边形是菱形．
，．
．
．
．
垂直平分．
．
．
．
在与中，
．
≌．
．
故答案为：．
连接，先根据与菱形的性质求出，再利用垂直平分，进一步得到，利用三角形外角得到，再通过≌，得出．
本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形为平行四边形，点是的中点，
，，，互相平分，即，
，，三点共线，故正确；
，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，
，
设的边上的高为，则的边上的高为，
，
，
，故正确；
在上的位置不确定，
不一定等于，故错误．
故答案为：．
连接，由平行四边形的性质可证明，，三点共线，即可判定；再证明≌可得，即可判定；利用三角形面积，结合平行四边形的性质可判定，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解；原式

． 

【解析】先算乘方和开方及零指数幂，再算乘除，最后算加减．
本题考查实数的混合计算，掌握计算法则，确定计算顺序是求解本题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用平行四边形的性质可以判定三角形和三角形全等，再利用全等三角形的性质得出．
本题考查了平行四边形及全等三角形，熟练利用平行四边形的性质来判定全等三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：设增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：这个增长率为．
万人次．
答：预计第四批公益课受益学生将达到万人次． 

【解析】根据“第二天，第三天公益课受益学生人次的增长率相同”列出等式计算即可．
利用预计第四批公益课受益学生人次数第三批公益课受益学生人次数增长率，即可预计出第四批公益课受益学生人次数．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：当时，原方程为，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
证明：方程，
，
，
，
不论取任何值，该方程总有两个不相等的实数根． 

【解析】把代入方程计算即可求出解；
表示出根的判别式，判断其值大于即可得证．
此题考查了根的判别式，以及解一元二次方程因式分解法，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

21.【答案】解：如图，点为所作；

四边形是菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形． 

【解析】利用基本作图作，则根据平行线的判定可得到；
先证明四边形是平行四边形，再证明得到，则可判断四边形是菱形．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定．
 

22.【答案】解：设直线的解析式为，
把、的坐标代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，；
；
、，为的中点，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数表达式为，
点关于点对称点为，
当时，，
在反比例函数的图象上． 

【解析】根据待定系数法求得直线，然后根据轴上点的坐标特征求得的坐标，即可求得的长度；
求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，代入解析式即可判断．
本题主要考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转，求得解析式是解题的关键．
 

23.【答案】解：等级的有人，成绩为：、、、、，
分，
答：等级同学的平均成绩为分；
由表中数据可知，名同学中，等级的有人，等级的有人，等级的有人，等级的有人．依题意得，分，
答：强化训练后，该班学生的平均成绩提高分． 

【解析】根据的平均数的计算方法求解可得；
根据加权平均数的定义求解可得．
本题主要考查平均数、加权平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每个“雪容融”毛绒玩具的进价为元，则每个“冰墩墩”毛绒玩具进阶为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价分别为元和元．
设购进“冰墩墩”个，则购进“雪容融”为个，
依题意得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
是正整数，
，
答：该商场进货方案共有种．
设总利润为元，
则，
当时，，随的增大而增大，
当时，有最大值，
此时，；
当时，，，获利都一样；
当时，，随的增大而减小，
当时，有最大值，
此时，；
综上所述，当时，购进“冰墩墩”个、“雪容融”个，获得利润最大；
当时，中所有方案获利都一样；
当时，购进“冰墩墩”个、“雪容融”个，获得利润最大． 

【解析】设每个“雪容融”毛绒玩具的进价为元，则每个“冰墩墩”毛绒玩具进阶为元，由题意：用元购进“冰墩墩”的数量与用元购进“雪容融”的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购进“冰墩墩”个，则购进“雪容融”为个，由题意：两款毛绒玩具的总利润拟定在不少于元，且不超过元之间．列出一元一次不等式组，解不等式组即可；
设总利润为元，由题意：冰墩墩”毛绒玩具每个优惠元出售，“雪容融”毛绒玩具价格不变，得，再分情况讨论即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出赊了个账，正确列出一元一次不等式组；正确求出一次函数关系式，分情况讨论．
 

25.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
解：由旋转性质得，≌，
，，
在中，设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是的外角，
，
在中，，
；

证明：过点作于，于，过点作于，过点作于，

，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
平分，
，
，
，
，，
中，，中，．
，，

，
≌，
，
，
．
即． 

【解析】证出，由平行四边形的判定可得出结论；
设，则，由勾股定理得出，求出，由直角三角形的性质可得出答案；
过点作于，于，过点作于，过点作于，证明≌，由全等三角形的性质可得出，证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．